密度计算-工作作风方面的表现
平方差公式
一、学习目标
熟练掌握平方差公式,完全平方公式,立方和与立方差公式,并能灵活地应用它们进行计算
二、学习要求
1、知道乘法公式是一种特殊形式的乘法,是通过多项式的乘法,把特殊多 项式相乘的结果写成公式形式并加以
运用。
2、理解五个乘法公式,掌握这五个公式的结构特征,并会用这五个公式进行运算。
3、会用这五个公式使计算简便,会简捷地计算某些数的积。
4、能够灵活运用公式进行计算,提高运算能力。
三、例题分析
第一阶梯
[例1]我们来计算(a+b)(a-b)=a-ab+ab-b=a-b,这就是说,两个数的和与这 两个数的差的积等于这两个数的平
方差,这个公式就叫做乘法的平方差公式,利用这个公式计算:
(1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(1+2a)(1-2a) (3)(2x+5y)(2x-5y) (4)(-a-b)(b-a)
32322222
2222
提示:
刚开始使用公式,运算格式 可分两步走,第一步先按公式特征写出一个框架,如(1)(2x+3y)(2x-3y) =( )
2
-( ),第二步分析哪项相当于公式中的a,哪项相当于公式中的b,并在框架中填数计算。
2
参考答案:
(1)(2x+3y)(2x-3y)=(2x)-(3y)=4x-9y
2222
(2)(1+2a)(1-2a) =12-(2a)=1-4a
22
(3)(2x+5y)(2x-5y)=(2x)-(5y)=4x-25y
3232322264
(4)(-a-b)(b-a)=(-a-b)(-a+b)=(-a)-(b)=a-b
22222222222244
说明:
平方差公式(a+b)(a-b)=a-b的特征是:
22
(1)左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数。
(2)右边是乘式中两项的平方差:即用相同项的平方减去相反项的平方,在学习平方差公式时还应
注意:
①公式中的a和b可以是具体数,也可以是单项式或多项式
②一定要认真仔细地对题 目进行观察研究,把不符合公式标准形式的题目加以调整,使它变化为符合公式标
准的形式,如第(4) 小题。
1
[例2]计算(a+b)和(a-b),可知(a+b)2
22
=(a+b)(a+b)=a+ab+ab+b=a+2ab+b(a-b)=(a -b)(a-b)=a-ab-ab+b=a-2ab+b,即(a±b)=a±2ab+b,这就是说,
222222222222
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或者减去)它们积的2 倍,这两个公式叫做乘法的完全平方
公式。利用这两个公式计算
(1)(x+5) (2)(2-y) (3)(3a+2b)
提示:
222
(5) (-a+2b)
2
在套用完全平方公式进行计算时,一定要先弄清题目中的哪个数或式是a,哪个数或式是b。
参考答案:
(1)(x+5)=x+2·x·5+5=x+10x+25
2222
(2)(2-y)=2-2·2·y+y=4-4y+y
2222
(3)(3a+2b)=(3a)+2·3a·2b+(2b)=9a+12ab+4b
22222
(5)(-a+2b)=(-a)+2·(-a)·2b+(2b)=a-4ab+4b
22222
说明:
1、(a+b)=a+2ab+b与(a -b)=a-2ab+b都叫做完全平方公式,为了区别,我们把前者叫做两数和的完全平
方公式,后者 叫做两数差的完全平方公式。
2、这两个公式的结构特征是:左边是两个相同的二项式相 乘,(即二项式的平方形式),右边是三项式,是左
边二项式中两项的平方和,加上(这两项相加时)或 减去(这两项相减时)这两项乘积的2倍。
3、公式中的字母a、b既可以表示具体的数,也可以表示单项式或多项式等代数式。
4 、只要符合这一公式的结构特征,就可以运用这一公式,在运用公式时,注意防止发生(a±b)=a±b这样< br>的错误。
[例3]计算(a+b)(a-ab+b)和(a-b)(a+ab+b),可知
2222
222
222222
(a+b)(a-ab+b)=a-ab+ab+ab-ab+b=a+b,
2222222333
(a-b)(a+ab+b)=a+ab+ab-ab- ab-b=a-b,即
2232222333
(a±b)(aab+b)=a± b,这就是说,两数和(或差)乘以它们的平方和与它们的积的差(或和),等于这
两个数的立方和(或 差),这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式,利用这两个公式计算:
2
2233
(1)(x+2)(x-2x+4); (2)(3-y)(9+3y+y) ;
22
(3)(3x-4y)(9x+12xy+16y);
(5)(3x-2y)(9x+6xy+4y)
224224
22
提示:
先弄清题目是用立方和公式还是用立方差公式计算,再弄清题目中哪个数 或式是a,哪个数或式是b,最后再代
入公式计算。
参考答案:
(1)(x+2)(x-2x+4)=(x+2)(x-x·2+2)=x+2=x+8
222333
(2)(3-y)(9+3y+y)=(3-y)(3+3·y+y)=3-y=27-y
222333
(3)(3x-4y)(9x+12xy+16y)=(3x-4y)[(3 x)+3x·4y+(4y)]=(3x)-(4y)=27x-64y
22223333
(5)(3x-2y)(9x+6xy+4y)=(3x-2y)[(3x)+3x·2y+(2y)]
22422422222222
=(3x)-(2y)=27x-8y
232366
说明:
1、注意对公式的理解和记忆(1)项数特征:两项乘三项→积为二项,(2)符号特征:二项的因式若两项都为
,则三项的因式符号为+,-,+,积的符号与二项因式的符号相同,二项的因式符号若为,,则三项的
因式符号为+,+,+,积的符号与二项因式的符号相同,即是说公式在各种条件都相符的情况下,所得 的积是两数
的立方和还是两数的立方差,主要看乘积中第一个乘式是两数和,还是两数差。
2、公式中的字母a、b仍代表任意数或代数式。
第二阶梯
[例1]利用乘法公式计算:
(1)(x+3)(x-3)(x+9) (2) (a+b)(a-b)(a-b)
222
(3) (x-2)(x+2)(x+4x+16) (4) (a-b)(a+ab+b)(a+ab+b)
42226336
3
提示:
(1)小题可两次使用平方差公式;
(2)小题先使用平方差公式,再使用完全平方公式;
(3)小题先使用平方差公式,再使用立方差公式
(4)小题两次使用立方差公式。
参考答案:
(1)(x+3)(x-3)(x+9)=(x-9)(x+9)=(x)-9=x-81
2222224
(2)(a+b)(a-b)(a-b)=(a-b)(a-b)=(a- b)=(a)-2ab+(b)=a-2ab+b
2222222222222224224
(3)(x-2)(x+2)(x+4x+16 )=(x-4)(x+4x+16)=(x)-4=x-64
422422336
(4)(a-b)(a+ab+b)(a+ab+b)=(a-b)(a+ab+b)=(a)-(b)=a-b
226336336336333399
说明:
遇到多项式的乘法问题,首先应看看是否符合某个乘法公式,若有恰当的公式使用可大大简化运算过程。
[例2]运用乘法公式计算:
(1) (a+b+c)(a-b-c) (2) (a-2b+3c)(a+2b-3c)
(3) (x+2y+z) (4) (2x-3y-4z)
22
提示:
(1)(2)小题可利用平方差公式进行计算;(3)(4)小题可利用完全平方公式进行计算。
参考答案:
(1)(a+b+c)(a-b-c)=[a+(b+c)][a- (b+c)]=a-(b+c)=a-(b+2bc+c)
22222
=a-b-2bc-c
222
(2) (a-2b+3c)(a+2b-3c) =[a-(2b-3c)][a+(2b-3c)]=a-(2b-3c)
22
=a-(4b-12bc+9c)=a-4b-12bc-9c
222222
( 3)(x+2y+z)=[x+(2y+z)]=x+2x(2y+z)+(2y+z)=x+4xy+2xz+ 4y+4yz+z
2222222
(4) (2x-3y-4z)=[2x-( 3y+4z)]=(2x)-2·2x·(3y+4z)+(13y+4z)
2222
=4x-4x(3y+4z)+(19y+24 yz+16z)=4x-12xy-16xz+9y+24yz+16z
222222
4
说明:
进行多项式乘法运算时, 一定要认真仔细地对题目进行观察研究,把不符合公式标准形式的题目加以调整。适
当地添加括号,将有 利于应用乘法公式,添加括号方式的不同,可一题多解,如(4)小题还可添加括号为[(2x-3y)
-4z],但得出的结果均相同。
2
[例3]利用乘法公式计算:
(1)(x+1)(x-1)(x+x+1)(x-x+1)
22
(2)(a+b)(a-b)(a+ab+b)(a-ab+b)
2222
提示:
(1)小题前两个因式可利用平方差公式计算,后两个 因式也可利用平方差公式计算,也可以将第一个因式与第
四个因式结合利用立方和公式,第二个因式与第 三个因式结合利用立方差公式(2)小题类似。
参考答案:
(1)解法一:(x+1)(x-1)(x+x+1)(x-x+1)
22
= (x-1)[(x+1)-x]
2222
= (x-1)(x+2x+1-x)
2422
= (x-1)(x+x+1)
242
= (x-1)[(x)2+x-1+1]
2222
= (x)-1
233
= x-1
6
解法二:(x+1)(x-1)(x+x+1)(x-x+1)
22
= [(x+1)(x-x+1)[(x-1)(x+x+1)]
22
=(x+1)(x-1)
33
= (x)-1
322
= x-1
6
(2) 解法一:(a+b)(a-b)(a+ab+b)(a-ab+b)
2222
= (a-b)[(a+b)-(ab)]
222222
= (a-b)(a4+2ab+b-ab)
2222422
5
= (a-b)(a4+ab+b)
22224
= (a)-(b)
2323
= a-b
66
解法二:(a+b)(a-b)(a+ab+b)(a-ab+b)
2222
= [(a+b)(a-ab+b)][(a-b)(a+ab+b)]
2222
= (a+b)(a-b)
3333
= (a)-(b)
3232
=a-b
66
说明:
进行整式乘法运算时,要注意观察题目的特点,统观全局, 恰当地选用所学的乘法公式或用乘法法则进行计算,
以上两道小题的解法中,显然解法二先运用立方和, 立方差公式,再运用平方差公式,这样做既简便又不易出错。
第三阶梯
[例1](1)化简化求值:(x+2)(x-2x+4)+(x-1)(x+x+1),其中
(2)解方程:(2x+1)-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0
2
22
提示:
用乘法公式进行化简
参考答案:
(1)(x+2)(x-2x+4)+(x-1)(x+x+1)
22
= x+8+x-1
33
= 2x+7
3
当时,
6
(2)(2x+1)-(x+1)(x-1)-3x(x-1)=0
2
解:(4x+4x+1)-(x-1)-3x+3x=0
222
4x+4+1-x+1-3x+3x=0
222
7x=-2
说明:
在化简求值和解方程的过程中,如果遇到多项式的乘法,应先 观察能否运用乘法公式,如果能运用,很多乘法
就可直接应用公式写出结果,这充分简化了计算过程。< br>
[例2]已知a+b=3,ab=-8,求下列各式的值。
(1)a+b (2) a-ab+b (3) (a-b) (4) a+b
2222233
提示:
由完全平方公式(a+b)=a+2ab+b, 可知a+b=(a+b)-2ab,利用已知条件可求出a+b的值,再分别代入(2),
(3),(4 ),可求出(2),(3),(4)式的值。注意,第(4)小题应逆用立方和公式。
参考答案:
(1) a+b=(a+b)-2ab=3-2×(-8)=9+16=25
2222
22222222
(2) a-ab+b=a+b-ab=25-(-8)=25+8=33
2222
(3) (a-b)=a-2ab+b=a+b-2ab=25-2×(-8)=25+16=41
22222
(4) a+b=(a+b)(a-ab+b)=(a+b)(a+b-ab) =3×[25-(-8)]=3×33=99
332222
说明:
灵活运用公式变形和逆用公式,这些都是常用的解题技巧。
[例3]若两个连续自然数的平方差是17,求这两个自然数的和?
提示:
设一个自然数为x,另一个自然数为x+1,根据题意,列出方程,求出这两个自然数,进而求出它 们的和
参考答案:
7
解:设这两个连续自然数是x,x+1
根据题意得,
(x+1) -x =17
22
x+2x+1-x=17
22
2x+1=17
2x=16
x=8
∴x+1=8+1=9
∴x+(x+1)=8+9=17
答:这两个自然数的和是17。
说明:
解方程时还可逆用平方差公式(x+1)-x =(x+1+x)(x+1-x)=2x+1
22
四、检测题
A组
选择题
1.下列各式能用平方差公式进行计算的是( )
A.(a+2)(-a-2)
B.(-x-y)(y-x)
C.
D.(2x+y)(x-2y)
2.若16x+mxy+81y是一个完全平方式,则m的值为( )
22
A.36 B.72 C.-72 D.±72
3.a-27b的一个因式是 ( )
33
8
A.a+3ab+9b
22
B.a+3ab+9b
22
C.a-3ab+b
22
D.a-3ab+b
22
4.若x+y=9,xy=16,则 x+y=( )
22
A.81 B.17 C.49 D.145
填空题
1、(3x+2y)=( ) = 9x
2
-4y
2
2、(-1+2a)(-1-2a) =( )
3、(0.3x+y)
2
=( )
4、x
2
+x+( )=
5、9x
2
-( )+49y
2
=(3x-7y)
2
6、(2a+3b)(4a
2
-6ab+9b
2
) =( )
7、( )(m
4
-m
2
+1)=m
6
+1
8、a
2
+b
2
=(a+b)
2
- ( )
9、(a+b)
2
=(a-b)
2
+ ( )
10、(p
2
-q) ( )=p
6
-q
3
1、计算:(1)(x+2)(x-2)(x
2
+4)
(2)(x-y+1)(x+y-1)
(3)(a+b+c)
2
(4)(x+3)(x-3)(x2
-3x+9)(x
2
+3x+9)
(5)
B组
9
(6)202
2
2、化简求值:
3、解方程:4(x-3)2
-(2x+1)
2
=(3x+1)(1-3x)+9x
2
4、
答案:
A组答案:
选择题 1、B 2、D 3、A 4、C
填空题 1、3x-2y
;
2、1-4a
2
;
3、0.09x
2
+0.6xy+y
2
;
4、
;
5、42xy
;
2ab
;
9、4ab
;
10、p
4
+p
2
q+q
2
B组答案: 1、(1)x
4
-16 (2)x
2
-y
2
+2y-1 (3) a
2
+2ab+b
2
+c
2
+2ac+2bc
(4)x
6
-729 (6)40804
2、-39
;
3、
;
4、
10
、8a
3
+27b
3
;
、m2
+1
;
、 6 7 8
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