三个公式平方差公式(一)

平方差公式(一)
一、教学目标
(一)知识目标
1.经历探索平方差公式的过程.
2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.
(二)能力目标
1.在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力.
2.培养学生观察、归纳、概括等能力.
(三)情感目标
在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美.
二、教学重难点
（一）教学重点
平方差公式的推导和应用.
（二）教学难点
用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式.
三、教具准备
投影片四张
第一张：做一做，记作(§1.7.1 A)
第二张：例1，记作(§1.7.1 B)
第三张：例2，记作(§1.7.1 C)
第四张：练一练，记作(§1.7.1 D)
四、教学过程
Ⅰ.创设情景，引入新课
［师］你能用简便方法计算下列各题吗？
(1)2001×1999；(2)99
2
－1
［生］可以.在(1)中2 001×1999=(2000+1)(2000－1)=2000
2
－2000+2000－ 1
×1=2000
2
－1
2
=4000000－1=3999999 ,在(2)中99
2
－1=(100－1)
2
－1=(100－1)(100
－1)－1=100
2
－100－100+1－1=10000－200=9800.
［师］很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将(1)(2)中的2001，
1999， 99化成为整千整百的运算，从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题，

2001和19 99，一个比2000大1，于是可写成2000与1的和，一个比2000小
1，于是可写成2000 与1的差，所以2001×1999就是2000与1这两个数的和
与差的积，即(2000+1)(2 000－1)；再观察利用多项式与多项式相乘的法则算出
来的结果为：2000
2
－ 1
2
，恰为这两个数2000与1的平方差.即
(2000+1)(2000－1)=2000
2
－1
2
.
那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢？
我们不妨看下面的做一做.
Ⅱ.使学生在计算的过程中，通过观察、归纳发现规律，并用自己的语言和
符号表示其规律
［师］出示投影片(§1.7.1 A)
做一做：计算下列各题：
(1)(x+2)(x－2);
(2)(1+3a)(1－3a);
(3)(x+5y)(x－5y);
(4)(y+3z)(y－3z).
观察以上算式，你发现什么规律？运算出结果，你又发现什么规律？再举
两例验证你的发现？
［生］上面四个算式都是多项式与多项式的乘法.
［生］上面四个算式每个因式都是两项.
［生］除上面两个同学说的以外，更重要的是：它们都是两个数的和与差
的积.例如：算式(1 )是“x”与“2”这两个数的和与差的积；算式(2)是“1”与
“3a”这两个数的和与差的积；算 式(3)是“x”与“5y”的和与差的积；算式(4)
是“y”与“3z”这两个数的和与差的积.
［师］我们观察出了算式的结构特点.像这样的多项式与多项式相乘，它们
的结果如何呢？只要 你肯动笔、动脑，相信你一定会探寻到答案.
［生］解：(1)(x+2)(x－2)
=x
2
－2x+2x－4=x
2
－4；
(2)(1+3a)(1－3a)
=1－3a+3a－9a
2
=1－9a
2
；
(3)(x+5y)(x－5y)

=x
2
－5xy+5xy－25y
2

=x
2
－25y
2
；
(4)(y+3z)(y－3z)
=y
2
－3yz+3zy－9z
2

=y
2
－9z
2

(如有必要的话可以让学生利用乘法分配 律将多项式与多项式相乘转化成单
项式与多项式相乘，进一步体会乘法分配律的重要作用以及转化的思想 )
［生］从刚才这位同学的运算，我发现：

即两个数的和与差的积等于这两个数的平方差.这和我们前面的一个简便运
算得出同样的结果.
即

［师］你还能举两个例子验证你的发现吗？
［生］可以.例如： < br>(1)101×99=(100+1)(100－1)=100
2
－100+100－1
2
=100
2
－1
2
=10000－
1=9999 ；
(2)(－x+y)(－x－y)=(－x)(－x)+xy－xy－y
2
=(－ x)
2
－y
2
=x
2
－y
2
.
即

上面两个例子，同样可以验证：两个数的和与差的积，等于它们的平方差.
［师］为什么会有这样的特点呢？

［生］因为利用多项式与多项式相乘的运算法则 展开后，中间两项是同类
项且系数互为相反数，所以相加后为零.只剩下这个数的平方差.
［师］很好！你能用一般形式表示上述规律，并对规律进行证明吗？
［生］可以.上述规律用符号表示为：
(a+b)(a－b)=a
2
－b
2





①

其中a,b可以表示任意的数，也可以表示代表数的单项式、多项式.
利用多项式与多项式相乘的运算法则可以对规律进行证明，即
(a+b)(a－b)=a2
－ab+ab－b
2
=a
2
－b
2
［师］同

.
你能给我们发现的规律(a+b)(a－b)=a
2
－b2
起一个名字吗？能形象直观地
反映出此规律的.
［生］我们可以把(a+b) (a－b)=a
2
－b
2
叫做平方差公式.
［师］大家同意吗？
［生］同意.
［师］好了！这节课我们主要就是学习讨论这个公式的.你能用语言描述这
个公式吗？
［生］可以.这个公式表示两数和与差的积，等于它们的平方差.
［师］平方差公式是多项式 乘法运算中一个重要的公式.用它直接运算会很
简单，但要注意必须符合公式的结构特点才能利用它进行 运算.
Ⅲ.体会平方差公式的应用，感受平方差公式给多项式乘法运算带来的方
便，进一步熟 悉平方差公式.
出示投影片(§1.7.1 B)
［例1］(1)下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( )
A.(x+1)(1+x)

2

2

B.(
1
a+b)(b－
1
a)
C.(－a+b)(a－b)
E.(－a－b)(a－b)










D.(x
2
－y)(x+y
2
)
F.(c
2< br>－
d
2
)(d
2
+c
2
)
(2)利用平方差公式计算：

(5+6x)(5－6x);(x－2y)(x+2y);
(－m+n)(－m－n). < br>［生］(1)中只有B、E、F能用平方差公式.因为B.(
1
a+b)(b－
1
a)利用加法
22
交换律可得(
1
a+b)(b－
1a)=(b+
1
a)(b－
1
a),表示b与
1
a这两 个数的和与差的
22222
积，符合平方差公式的特点；E.(－a－b)(a－b),同样可 利用加法交换律得(－a－
b)(a－b)=(－b－a)(－b+a),表示－b与a这两个数和与差 的积，也符合平方差公
式的特点；F.(c
2
－d
2
)(d
2
+c
2
)利用加法和乘法交换律得(c
2
－d
2
)(d
2
+c
2
)=(c
2
+d
2
)(c
2
－
d
2
)，表示c
2
与d
2
这 两个数和与差的积，同样符合平方差公式的特点.
［师］为什么A、C、D不能用平方差公式呢？
［生］A、C、D表示的不是两个数的和与差的积的形式.
［师］下面我们就来做第(2)题，首先分析它们分别是哪两个数和与差的积
的形式.
［生］(5+6x)(5－6x)是5与6x这两个数的和与差的形式；(x－2y)(x+2y)是x
与2y这两个数的和与差的形式；(－m+n)(－m－n)是－m与n这两个数的和与
差的形式.
［师］很好！下面我们就来用平方差公式计算上面各式.
［生］(5+6x)(5－6x)= 5
2
－(6x)
2
=25－36x
2
;
(x－2 y)(x+2y)=x
2
－(2y)
2
=x
2
－4y
2
;
(－m+n)(－m－n)=(－m)
2
－n
2
= m
2
－n
2
.
［师］这位同学的思路非常清楚.下面我们再来看一个例题.
出示投影片(记作§1.7.1 C)
［例2］利用平方差公式计算：
(1)(－
1
x－y)(－
1
x+y);
44
(2)(ab+8)(ab－8);
(3)(m+n)(m－n)+3n
2
.
［师］同学们可先交流、讨论，然后各小组派一代表到黑板上演示.然后再
派一位同学讲评.
［生］解：(1)(－
1
x－y)(－
1
x+y)——(－
1
x)与y的和与差的积
444

=(－
1
x)
2
－y
2
——利用平方差公式得(－
1
x)与y的平方差
44
=
1
2
x－y
2
——运算至最后结果
16
(2)(ab+8)(ab－8)——ab与8的和与差的积
=(ab)
2
－8
2
——利用平方差公式得ab与8的平方差
=a
2
b
2
－64——运算至最后结果
(3)(m+n)(m－n)+3n
2
——据运算顺序先计算m与n的和与差的积
=(m
2
－n
2
)+3n
2
——利用平方差公式
=m
2
－n
2
+3n
2
——去括号
=m
2
+2n
2
——合并同类项至最简结果
［生］刚才这 位同学的运算有条有理，有根有据，我觉得利用平方差公式
计算必须注意以下几点：
(1)公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即
整式.
(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.
(3)有些多项式与多项式的乘法表面上 不能应用公式，但通过加法或乘法的
交换律、结合律适当变形实质上能应用公式.
［生］还需注意最后的结果必须最简.
［师］同学们总结的很好！下面我们再来练习一组题.
投影片(§1.7.1 D)
1.计算：
(1)(a+2)(a－2);
(2)(3a+2b)(3a－2b);
(3)(－x+1)(－x－1);
(4)(－4k+3)(－4k－3).
2.把下图左框里的整式分别乘(a+b),所得的积写在右框相应的位置上.


解：1.(1)(a+2)(a－2)=a
2
－2
2
=a
2
－4;
(2)(3a+2b)(3a－2b)=(3a)
2
－(2b)2
=9a
2
－4b
2
;
(3)(－x+1)(－x－ 1)=(－x)
2
－1
2
=x
2
－1;
(4)( －4k+3)(－4k－3)=(－4k)
2
－3
2
=16k
2－9.
2.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a
2
+ab +ab+b
2
=a
2
+2ab+b
2
;
(a－b)(a+b)=a
2
－b
2
;
(－a+b)(a+b)=(b+a)(b－a)=b
2
－a
2
;
(－a－b)(a+b)=－a(a+b)－b(a+b)
=－a
2
－ab－ab－b
2

=－a
2
－2ab－b
2

(教师在让学生做练习，可巡视练习的情况，对确实有困难的学生要给以指
导)
Ⅳ.课时小结
［师］同学们有何体会和收获呢？
［生］今天我们学习了多项式乘法 运算中的一个重要公式——平方差公式
即(a+b)(a－b)=a
2
－b
2
.
［生］应用这个公式要明白公式的特征：
(1)左边为两个数的和与差的积；
(2)右边为两个数的平方差.
［生］公式中的a、b可以是数，也可以是代表数的整式.
［生］有些式子表面上不能用公式，但通过适当变形实质上能用公式.
［师］同学们总结的很 好！还记得刚上课的一个问题吗？计算99
2
－1，现
在想一想，能使它运算更简便吗 ？
［生］可以.99
2
－1可以看成99与1的平方差，从右往左用平方差公式可< br>得：
99
2
－1=99
2
－1
2
=(99 +1)(99－1)=100×98=9800.
［师］我们发现平方差公式的应用是很灵活的，只要 你准确地把握它的结
构特征，一定能使你的运算简捷明了.
Ⅴ.课后作业
课本P
30
，习题1.11，第1题.

Ⅵ.活动与探究
有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用x
1
,y
1
顺 次表示第
1号选手胜与负的场数，用x
2
,y
2
顺次表示第2号选手 胜与负的场数，……用
x
10
,y
10
顺次表示第10号选手胜与负 的场数.则10名选手胜的场数的平方和与他
们负的场数的平方和相等，即
x
12
+x
2
2
+…+x
10
2
=y
1< br>2
+y
2
2
+…+y
10
2
,为什么？ < br>经过：由于是单循环赛，每名运动员恰好参加9局比赛，即x
i
+y
i
=9(其中
i=1、2、3、…10)，在比赛中一人胜了，另一人自然败了，则x
1
+x
2
+…
+x
10
=y
1
+y
2
+…+y
10
,这两个隐含条件是解题的关键，从作差比较入手.
［结果］由题意 知x
i
+y
i
=9(i=1、2、3、…10)且x
1
+x
2
+…+x
10
=y
1
+y
2
+…+y< br>10

(x
1
2
+x
2
2
+…+x
10
2
)－(y
1
2
+y
2
2
+ …+y
10
2
)
=(x
1
2
－y
12
)+(x
2
2
－y
2
2
)+…+(x
1
0
2
－y
10
2
)
=(x
1
+y
1
)(x
1
－y
1
)+(x
2
+y
2
)(x
2
－y
2
)+…+(x
10
+y
10
)(x
10
－y
10
)
=9［(x
1
－y
1
)+(x
2
－y
2
)+(x
3< br>－y
3
)+…+(x
10
－y
10
)］
= 9［(x
1
+x
2
+…+x
10
)－(y
1
+y
2
+…+y
10
)］
=0
所以，x
1< br>2
+x
2
2
+…+x
10
2
=y
1
2
+y
2
2
+…+y
10
2
.
五、板书设计
§1.7.1 平方差公式(一)
做一做
解：(1)( x+2)(x－2)=x
2
－2x+2x－4=x
2
－4;
(2) (1+3a)(1－3a)=1－3a+3a－9a
2
=1－9a
2
; (3)(x+5y)(x－5y)=x
2
－5xy+5xy－25y
2
= x
2
－25y
2
;
(4)(y+3z)(y－3z)=y
2
－3yz+3zy－9z
2
=y
2
－9z
2
.
归纳、猜想规律
(a+b)(a－b)=a
2
－b
2

两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.
用符号运算证明
(a+b)(a－b )=a
2
－ab+ab－b
2
=a
2
－b
2
.
应用、升华

例1.(抓住平方差公式的特征，准确地利用平方差公式计算)
例2.(对公式中a、b含义的理解，既可以是具体的数也可以是整数)
随堂练习(熟悉平方差公式).别想一下造出大海，必须先由小河川开始。
成功不是只有将来才有，而是从决定做的那一刻起，持续积累而成！
人若软弱就是自己最大的敌人，人若勇敢就是自己最好的朋友。
成功就是每天进步一点点！
如果要挖井，就要挖到水出为止。
即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步。
今天拼搏努力，他日谁与争锋。
在你不害怕的时候去斗牛，这不算什么；在你害怕的时候不去 斗牛，这没什么
了不起；只有在你害怕的时候还去斗牛才是真正的了不起。
行动不一定带来快乐，但无行动决无快乐。
只有一条路不能选择-- 那就是放弃之路；只有一条路不能拒绝--那就是成长之
路。
坚韧是成功的一大要素，只要在门上敲得够久够大声，终会把人唤醒的。
只要我努力过，尽力 过，哪怕我失败了，我也能拍着胸膛说：我问心无愧。
用今天的泪播种，收获明天的微笑。
人生重要的不是所站的位置，而是所朝的方向。
弱者只有千难万难，而勇者则能披荆斩棘；愚者只有声声哀叹，智者却有千路
万路。
坚持不懈，直到成功！
最淡的墨水也胜过最强的记忆。
凑合凑合，自己负责。
有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。
我中考，我自信！我尽力我无悔！

听从命运安排的是凡人；主宰自己命运的才是强者；没有主见的是盲从，三思
而行的是智者。
相信自己能突破重围。
努力造就实力，态度决定高度。
把自己当傻瓜，不懂就问，你会学的更多。
人的活动如果没有理想的鼓舞，就会变得空虚而渺小。
安乐给人予舒适，却又给人予早逝；劳作给人予磨砺，却能给人予长久。
眉毛上的汗水和眉毛下的泪水，你必须选择一样！
若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。
相信自己我能行！
任何业绩的质变都来自于量变的积累。
明天的希望，让我们忘了今天的痛苦。
世界上最重要的事情，不在于我们身在何处，而在于我们朝着什么方向走。
爱拼才会赢努力拼搏，青春无悔！
脚踏实地地学习。
失去金钱的人损失甚少，失去健康的人损失极多，失去勇气的人损失一切。
在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。
旁观者的姓名永远爬不到比赛的计分板上。
觉得自己做的到和不做的到，其实只在一念之间。
人的才华就如海绵的水，没有外力的挤压，它是绝对流不出来的。流出来后，
海绵才能吸收新的 源泉。
没有等出来的辉煌；只有走出来的美丽。
我成功，因为我志在成功！
记住！只有一个时间是最重要的，那就是现在。
回避现实的人，未来将更不理想。

昆仑纵有千丈雪，我亦誓把昆仑截。
如果我们想要更多的玫瑰花，就必须种植更多的玫瑰树。
没有热忱，世间将不会进步。
彩虹总在风雨后，阳光总在乌云后，成功总在失