图形公式大全等差数列前n项和公式教案

《等差数列前n项和公式》教学案例

一、

教材分析
“等差数列前n项和公式”这节课是人教版高中数学（必修）第一册（上）中的第三 章第三节
第一课时的内容，是上一节“等差数列”的后继内容。主要内容：等差数列前n项和公式的推导
及运用。
（一）地位及作用
数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容 （函数、三角、不等式等）有着密切
的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位 。
数列是培养学生数学能力的良好题材。学习数列，要经常观察、分析、归纳、猜想，还要综
合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有助于学生数学能力的提高。
（二）教学目标 根据“等差数列前n项和公式”这一节的教学大纲及它在高中数学中的地位和作用，确定了
如下教学 目标：
1、知识与技能：
① 掌握等差数列前n项和公式的推导方法和公式的简单运用。
② 通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解
决问题的能力。
2、过程与方法：
经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从 特殊到一般的研究方法，学会观察、
归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。
3、情感、态度价值观：
① 公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。
② 通过生动具 体的现实问题，令人着迷的历史素材和数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树
立学生求真的勇气和自信 心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。
（三）教学重点与难点：
重点：等差数列前n项和的公式；依据：公式是解题的工具。
难点：获得推导等差数列前n项和公式的思路及公式的灵活运用。
依据：公式探究过程中蕴含 着重要的数学思想方法，由于学生认识水平的限制，第一次接触到这
些公式，往往意识不到其作用，即使 教师给予揭示，学生也多半拿着公式而无用武之地，因此我
把它作为这一节的难点。
二、学生情况
本届学生是实行课程改革后升入高一年，课堂比较活跃，乐于表现自已，表达能 力强。本节
是学生已经掌握了等差数列的通项公式、有关性质等知识后进一步学习的，但初中是新课程下 的
实验教材，现高一年是旧教材，存在知识脱节，学生的运算能力和逻辑思维能力比较低。
三、教法
根据以上对教材和学生的分析，并针对学校实际情况，采用启发引导式及多媒体辅助教学方
法。
由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。所以我采用
“问 题情景---建立模型---求解---解释---应用”的教学模式，启发引导学生通过对问题的亲身
动手探求、体验，获得不仅是知识，更重要的是掌握了在今后的发展中用这种手段去获取更多的
知识的方 法。这是“教师教给学生寻找水的方法或给学生一杯水，使学生能找到一桶水乃至更多
活水”的求知方式 。多媒体可以使教学内容生动、形象、鲜明地得到展示。
四、学法

引导学生自主探索，创造机会让学生合作、探究，交流。
理论依据：建构主义学习理论认为， 学习是学生积极主动的建构知识的过程，学习应该与学
生熟悉的背景相联系。在教学中，让学生在问题情 境中，经历知识的形成和发展，让学生在观察、
操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与的活动中学习 ，认识和理解数学知识，学会学习，发
展能力。
五、教学活动过程
教学
内容
环节1 活动 活动 意图
学生 教师 设计
创
设
问
题
情
景
，
引
入
新
课
泰姬陵坐 落于印度古都阿格，是十
七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其
爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大 理石砌
建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为
世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，
图 案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以
相同大小的圆宝石镶饰而成， 共有100
层（见课件），奢靡之程度，可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
感受情
景，体
验数学
知识.
引导
学生
观赏
课件
环节1：落实了情感、态
度价值观目标。
该素材源于历史，富
人文气息。图 中算数，激
发学生探究的兴趣和欲
望，起到承上启下的作
用，探讨高斯算法。



教学
环节2
内容
学生
活动
问题化归：即求

=？（高斯10岁时的算法）. 叙述高
斯解

法.
教师
活动
展示幻
灯，提
问.

设计
意图
问题1：图案中，第1层到第21层一共有
多少颗宝石？
即求

=？在教师的引导下，学生发现了：
方法1：原式=

.
探
究
发
现
方法2：原式=

.
方法3：原式=


方法4：原式

学生发现：高斯“首尾配对”
的算法还得分“奇、偶”个项的情况求和。
进而教师提出质疑：有无更简单的方法？
启发1：

，即先求

，是否更方便？
启发2：情景提示，借助几何图形之直观性，
引导学生使用熟悉的几 何方法：把“全等三
角形”倒置，与原图补成平行四边形。
独立思
考，小
组讨论
交流.

关注学生已有经验
是影响数学学习的
重要因素之一，数
学史的引入更能激
发学生主动探索的

热情.
教师到小小的变化,深藏
各小组着教师的大企划:
指导，针借此引入 种种求和
对学生方法,以此为铺垫.
五花八

门的解
法，给予

鼓励与
肯定.






层层递进的二个启
发,视学生具体情况而定,实际情景
的提供,唤醒了学
生记忆深处的东
西,并为“倒序相
加 求和法“的出现
提供了一个直接的
模型。



学获得“倒序相加
顾求和法”的思路。
数
性

问题2：如何求等差数列

的前

项和

？
公式1：

尝
试
推
导.
引导
生回
等差
列的
质.
问题3：是否可以用基本量

来表示

？
生1：把

代入公式1：

公式2：
生2：



公式2：

进
一
步
推
导





展示如
左的两
种解法，
并给予
鼓励。

进一步得到公式
2.
环节2：突出过程
与方法目标。
教学
内容
环节3
公
式
的
应

学生
活动
①“顺”用公式 独立思
考，小
例1：某长跑运动员7 天里每天的训练量（单
组讨
位：m）是7500，8000，8500，9000，9500，
论，探
10000，10500.

这位长跑运动员７天共跑了多
究解
少米？
法.


教师
活动
教师巡视，从
中选择两组
具有代表性
的解法， 请两
位同学用实
物投影仪展
示他们的解
法并让他们
设计
意图
让学生熟
悉公式的
要素与结
构.

用




针对学生对公式基本量的意义认识不足，又设
计了：
例2：求


解法1：（错解）
解法2：



通过这样的纠错教学，把学生隐蔽的思维障碍
挖掘出来，比直接讲授效果好得多.



②“变”用公式
★★例3:“今有女子善织布，逐日所织的布以< br>同数递增，初日织五尺，计织三十日，共织九
匹三丈，问日增几何？”（一匹为四丈，九匹
三丈为390尺）




在一旁讲解.




加深学生
对公式的
基本量意
义的认
识.
例1,例
2:落实了
知识与技
能目标.
教师巡视，从
中选择两组
辨析、
具有代表性
反省，
的解法.
总结.





教学
环节4
“变”用
公式可以
培养学生
思维的高
度灵活
★

例3:已知

，求

。
性.例3:
注：让学生选做，关注全体学生。“★★例3”
深化知识
比较难，但可转化为“★例3”。
与技能目
标.
③“活”用公式 学生练先用投影仪让学生掌
例4：等差数列

中，已知

求

习，探展示学生的握“知三
究交解法，然后师求二”的
变式拓展：等差数列

中，
流. 生共同完成思路. 例
解答. 4:拓展了
已知求.

知识与技


能目标.
学生 教师 设计
内容
活动 活动 意图
学生练先用投影仪
习，探展示学生的
究交流 解法，然后师
生共同完成
解答.
反
思
归
纳
总
结
①从本课的学习中你从中有何收获？ 学生
反思
②如何得出等差数列的前

项和公
式？
③应用公式要注意什么问题？

教师引导学生反学生的回答不
思,后自己反思与尽统一,但能
总结. 体现出学生的< br>个性发展,符
合新课标以学
生为主体、注
重学生个性发
展的思想.

六、作业布置

必做题：课本第118页，习题3.3 第2、3、4题
选做题： 已知函数,则_____.

设计意图：必做题是让学生巩固所学的知 识，熟练公式的应用。根据班级的特点，为了促进
数学成绩优秀学生的发展，培养他们分析问题解决问题 的能力，我设计了选做题，达到分层教学
的目的，同时又关注学习基础比较差的学生。

七、教学设计反思：

1．本节课如果直接介绍“倒序相加求和法”，无疑就像波利 亚所说的“帽子里跳出来的兔子”。
所以在教学中，我采用创设问题情景,以问题驱动、层层铺垫，从特 殊到一般启发学生获得公式
的推导方法。并借助多媒体展示“公式推导过程中的一些图形”，这样可以使 教学内容更生动、
更形象。
2．本节课的教学试图改进学生的学习方式，以小组合作的方式展 开，在合作中相互配合、动
手实践来完成公式的推导，通过“顺用公式”，“变用公式”，“活用公式” 三个层次来促进学
生新的认知结构的形成，并引导学生自己学会对学习的反思。