excel计数公式点到直线的距离公式三

北京市朝阳外国语学校教案 数学教研组
课题
课型
课时
教材分析
3.3.3点到直线的距离和3.3.4两平行线间的距离
新课
授课时间 2011-4
教案编号
授课班级
授课人
点到直线的距离是解析 几何的重要内容之一，它的应用十分广泛．点到直线
的距离是指由点向直线引垂线的垂线段的长．我们知 道，求点到点的距离，有“工
具”———两点间的距离公式可用，同样有必要创造出一套“工具”来方便 地解决点
到直线的距离问题，也就是说：已知点P（x
1
，y
1
）和 直线l：Ax＋By＋C＝0，（A，
B不全为0），目标是设法用已知的量x
1
，y
1
，A，B，C把点P到l的距离表示
出来，当作公式用．教材上公式的推导运用了两 点间的距离公式，具体做法是作
直线m过点P与l垂直，设垂足为P
o
（x
o
，y
o
），P
o
满足直线m的方程，也满足
直线l的方程， 将P
o
的坐标分别代入直线m和直线l的方程，通过恒等变形利用
两点间的距离公式， 推出点到直线的距离公式．这种方法思路清晰，学生易于接
受，但恒等变形较抽象，学生难于掌握，故教 学中应注意启发学生怎样想到这样
变形．这样既可以活跃学生的思维，又可以锻炼其发现问题、研究问题 、解决问
题的能力．公式的推导方法还有很多，对学有余力的同学可加以启发，展开讨论，
以培 养其数学思维能力．这节课的重点是理解和掌握点到直线的距离公式，并能
熟练地应用公式求点到直线的 距离，难点是点到直线的距离公式的推导．
学情分析
这节课是在学习了“两点间的距离公式 ”、“两条直线的位置关系”的基础上引入的，
通过复习两直线垂直、两直线相交及两点间的距离公式， 学生容易想到把点到直
线的距离问题转化为两点间的距离问题．为了利用两点间的距离公式，须要求垂< br>足的坐标．若利用垂线与已知直线相交解出垂足的坐标，想法自然，但求解较繁，
为了简化解题过 程，自然要想其他方法，教材采用了设而不求，整体代换来解决
问题，简单明了，但恒等变形较难，因此 ，通过分析两点间的距离公式与点到直
线距离的联系和区别，找到恒等变形的思路是解决问题的关键．本 课通过观察、
分析掌握两点间距离公式的特点，总结应用两点间距离公式的步骤；通过例题和
练 习使学生掌握并能应用两点间距离公式解决有关问题；通过探索和研究有关问
题培养学生的数学思维能力 ．
学法指导

1. 通过探索点到直线距离公式的思维过程，培养学生探索与研究问题能力．
教
知识
与技
能
过程
与方
法

2. 理解和掌握点到直线的距离公式，体会知识发生、发展、运用的过程，数形结
合、化归和 转化的数学思维，培养学生科学的思维方法和发现问题、解决问题的
能力．
学
目
情感
态度
与价
标
值观
教学重点

教学难点
教学资源

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教学方法

知识结构
板书计划










教学过程
教学环节
所需时间































教学内容
教师活动
一、问题情境
1. 某供电局计划年底解决本地区一 个村庄的用电问题，经过测量，
若按部门内部设计好的坐标图（以供电局为原点，正东方向为x轴
的正半轴，正北方向为ｙ轴的正半轴，长度单位为km），则这个村
庄的坐标是（15，20），它附 近只有一条线路通过，其方程为3x－
4y－10＝0．问：要完成任务，至少需要多长的电线？ 这实际上是一个求点到直线的距离问题，那么什么是点到直线的距
离，如何求村庄到线路的距离呢？
2. 在学生思考讨论的基础上，教师收集学生各种的求法，得常见求
法如下：
（1）设过点P（15，20）与l：3x－4y－10＝0垂直的直线为m，易
学生活动
设计意图
教学反馈

求m的方程为4x＋3y－120＝0．由
解得即m与l的交点
由两点间的距离公式，得

故要完成任务，至少需要9km长的电线．
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（2）设直线 l：3x－4y－10＝0与x轴的交点为Q，则Q（
直线l上任取一点M（0，－
与向量n＝ （3，－4）垂直．
），易让向量＝（
，0）．在
，）
设向量与向量n的夹 角为θ，点P到直线l的距离为d，由向量
的数量积的定义易知

（3）设过点P（ 15，20）与l：3x－4y－10＝0垂直的直线为ｍ，易
求ｍ的方程为4（x－15）＋3（y－ 20）＝0．
设垂足为P
o
（x
o
，y
o
），则 4（x
o
－15）＋3（y
o
－20）＝0， ①
又因为点Po
在l上，所以3x
o
－4y
o
－10＝0，即3x
o
－4y
o
＝10，
而3×15－4×20－10＝3×15－4×20－3 x
o
＋4y
o
＝－3（x
o
－15）＋4（y
o< br>－20），
即3（x
o
－15）－4（y
o
－20）＝45． ②
把等式①和等式②两边相加，得
25［（x
o
－15）2＋（y
o
－20）
2
］＝45
2
，
∴（x
o
－1 5）
2
＋（y
o
－20）
2
＝，

3. 教师展现学生们的求法，师生共同点评各种求法，得出：求垂线
与直线的交点坐标，再用两点间的距离公 式使问题得解，想法虽自
然，但计算量较大；不求垂足的坐标，设出垂足的坐标代入直线方
程， 进而通过等式变形，利用两点间的距离公式求得结果，想法既
巧妙，又简单明了．
二、建立模型
设坐标平面上（如图24-1），有点P（x
1
，y
1
）和直线l：Ax＋By＋
C＝0（A，B不全为0）．
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我们来寻求点到直线l距离的算法．
作直线m通过点P（x
1
， y
1
），并且与直线l垂直，设垂足为P
0
（x
0
，
y
0
）．容易求得直线m的方程为
B（x－x
1
）－A（y－y
1
）＝0．
由此得B（x< br>0
－x
1
）－A（y
0
－y
1
）＝0．①
由点P
0
在直线l上，可知Ax
0
＋By
0
＋C＝ 0，
即C＝－Ax
0
－By
0
．
所以Ax
1< br>＋By
1
＋C＝Ax
1
＋By
1
－Ax
0< br>－By
0
，
即A（x
1
－x
0
）＋B（y
1
－y
0
）＝Ax
1
＋By
1
＋C．②
把等式①和②两边平方后相加，整理可得
（A
2
＋B
2
） ［（x
1
－x
0
）
2
＋（y
1
－y
0
）
2
］＝（Ax
1
＋By
1
＋C）
2
，
即（x
1
－x
0
）
2
＋（y
1
－y
0
）
2
＝
容易看出，等式左边即为点P（x
1
，y
1
）到直线l距离的平方．由此
我们可以得到点P（x
1< br>，y
1
）到直线l的距离d的计算公式：

归纳求点P（x
1
，y
1
）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离的计算步骤如
下：
（1）给出点的坐标x
1
和y
1
赋值．
（2）给A，B，C赋值．
（3）计算
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注意：（1）在求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式．
（2）当直线与x轴或y轴平行时，公式也成立，但此时求距离一般
不用公式．
三、解释应用
［例 题］
1. 求点P（－1，2）到下列直线的距离：
l
1
：2x＋y＝5， l
2
：3x＝2．


注意：规范解题格式．
2. 求两平行直线l
1
：Ax＋By＋ C
1
＝0，l
2
：Ax＋By＋C
2
＝０，（C
1
≠C
2
）
之间的距离．
分析：求两条平行线间的距离，就是在其中一条直线上任取一点，
求该点到另一条直线的距离．
解：在l
1
上任取一点P（x
1
，y
1
），则Ax
1
＋By＝－C
1
，点P到l
2
的
距离
3. 建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任一点到两腰
的距离之和等于一腰上的高．
解：以等腰三角形底边所在的直线为x
轴，底边上的高所在的直线为ｙ轴，建立
直角坐标系（如 图24-2）．
不妨设底边｜AB｜＝2a，高｜OC｜＝b，
则直线AC：
即bx －ay＋ab＝0；

直线BC：
∴点B（a，0）．
，即bx＋ay－ab＝0，
在线段AB上任取一点D（m，0），
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则－a≤m≤a．

∴d
1
＋d
2
＝
离之和等于一腰上的高．
四、拓展延伸
，即等腰三角形底边上任一点到两腰的距
1. 点到直线的距离公式应用非常广泛，你能举例说明它在解决实际
问题中的应用吗？
2. 点到 直线的距离公式的推导方法有很多，对学有余力的同学可探
索其他推导方法，下面介绍两种常见的推导方 法．
（1）如图，已知点P
0
（x
0
，y
0
）， 直
线l：Ax＋By＋C＝0，求点P
0
到直线
l的距离．不妨设A≠0，B ≠0，这时l
和x轴、y轴都相交．过点P
0
作直线l
的垂线，交l于Q．令 ｜P
0
Q｜＝d，过
P
0
作x轴的平行线交l于R（x
1< br>，y
0
），
作y轴的平行线交l于S（x
0
，y
2< br>）．
由Ax
1
＋By
0
＋C＝0，Ax
0
＋By
2
＋C＝0
得

易证A＝0或B＝0，公式也成立．
（2）点到直线的距离公式也可用向量的知识求得，此法更能体现出
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代数与几何的联系，比其他方法更简单，直观，易懂．求法如下：
①如图24-4，证明向量n＝（A，B）与直线l垂直．
不妨设A≠0，直线l与x轴的交点是Q（－，0）．
如果P
1
（x
1
，y
1
）是直线l上不同于Q的点，则Ax
1
＋By
1
＋C＝0．
∴A（x
1
＋）＋B（y
1
－0）＝0，
即（A，B）·（x
1
＋，y
1
－0）＝0，
∴向量n＝（A，B），与向量
向量n与直线l垂直．
②求点P
0
到直线l的距离d．
＝（x
1
＋，y
1
－0）垂直，即
由数量积的定义，如果向量

与向量n的夹角为θ，那么
易证当A＝0或B＝0时，公式也成立．


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课堂小结 1. 求下列点到直线的距离．
（1）0（0，0），l
1
：3x＋4y－5＝0．
（2）A（1，0），l
2
：x＋y－＝0．
（3）B（1，2），l
3
：3x＋y＝0．
（4）C（－2，3），l
4
：y－7＝0．
2. 求两条平行直线2x＋3y－8＝0和2x＋3y＋18＝0之间的距离．
3. （1）求过点A（－1，2），且与原点的距离为的直线方程．
（2）若点P（x，y）在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求OP的最小值．
（3）若△ ABC的三顶点分别为A（7，8），B（0，4），C（2，－4），求△
ABC的面积．
（4）求点P（0，1）关于直线x－2y＋1＝0的对称点的坐标．
（5）求直线2x＋11y＋16＝0关于点P（0，1）对称的直线方程．
课堂检测
⑵学生掌握情况

教学效果 ⑴教学任务完成情况
自我评估：


分层作业
课后反思
改进设想













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