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强势股公式(完整版)一元二次方程求根公式

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-09 19:50
tags:求根公式

东华大学为什么不出名-教师必读的教育名著


主讲:黄冈中学高级教师
一、一周知识概述
1、一元二次方程的求根公式
将一元二次方程ax
2
+bx+c=0(a≠0)进行配方,当b
2-4ac≥0时的根为

该式称为一元二次方程的求根公式,用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公
式法,简称公式法.
说明:(1)一元二次方程的公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次
方程a x
2
+bx+c=0(a≠0);
(2)由求根公式可知,一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的;
(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程,但应用时必须先将其化为一
般形式.
2、一元二次方程的根的判别式
(1)当b
2
-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;
(2)当b
2
-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;
(3)当b
2
-4ac<0时,方程没有实数根.
二、重难点知识
1、对于一元二次方程的各种解法是重点,难点是对各种方法的选择,突破这一难点的
关键是在对四种 方法都会使用的基础上,熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目,如果用“公式
法”就显得多余的了。
(2)“因式分解法”是一种常用的方法,一般是首先考虑的方法。
(3) “配方法”是一种非 常重要的方法,一般不使用,但若能恰当地使用,往往能
起到简化作用,思考于“因式分解法”之后,“ 公式法”之前。如方程;
用因式分解,则6391这个数太大,不易分解;用公式法,也太繁;若配方, 则方程化为
,就易解,若一次项系数中有偶因数,一般也应考虑运用。
(4)“公式法” 是一般方法,只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项,若方
程有实根,就一定可以用求根公式求出 根,但因为要代入
求值,所以对某些特殊方程,解法又显得复杂了。
2、在运用b
2
-4ac的符号判断方程的根的情况时,应注意以下三点:
(≥0)
(1)b
2
-4ac是一元二次方程的判别式,即只有确认方程 为一元二次方程时,才能
确定a、b、c,求出b
2
-4ac;
(2)在运用上述结论时,必须先将方程化为一般形式,以便确认a、b、c;
(3)根的判别式是指b
2
-4ac,而不是
三、典型例题讲解
例1、解下列方程:

(1);
(2);
(3).
分析:用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值,再代入公式计算,
解:(1)因为a=1,,c=10

所以
所以
(2)原方程可化为
因为a=1,,c=2

所以
所以.
(3)原方程可化为
因为a=1,,c=-1
所以
所以;
所以.
总结:
(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式;如果二次项系数为 负
数,通常将其化为正数;如果方程的系数含有分母,通常先将其化为整数,求出的根要
化为最 简形式;
(2)用求根公式法解方程按步骤进行.
例2、用适当方法解下列方程:
① ②
③ ④
⑤ ⑥

分析:
要合理地选用适当的方法解一元二次方程,就必须熟悉各种 方法的优缺点,处理好
特殊方法和一般方法的关系。就直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四 种方
法而言,配方法、公式法是一般方法,而开平方法、因式分解法是特殊方法。
⑴ 公 式法是最一般的方法,只要明确了二次项系数、一次项系数和常数项,若方
程有实根,就一定可以用求根 公式求出根,但因为要代入一元二次方程的求根公式
求值,所以对某些方程,解法又显得复杂了。如①, 可以直接开平方,
就能马上得出解;若此时还用求根公式就显得繁琐了。
⑵ 配方法是一 种非常重要的方法,在解一元二次方程时,一般不使用,但并不是
一定不用,若能合理地使用,也能起到 简便的作用。若方程中的一次项系数有因数是偶
数,则可使用,计算量也不大。如②,因为224比较大 ,分解时较繁,此题中一次项系
数是-2。可以利用用配方法来解,经过配方之后得到
,显得很 简单。
⑶ 直接开平方法一般解符合型的方程,如第①小题。
⑷ 因式分解法是一 种常用的方法,它的特点是解法简单,故它是解题中首先考虑
的方法,若一元二次方程的一般式的左边不 能分解为整数系数因式或系数较大难以分解
时,应考虑变换方法。
解:①

两边开平方,得
所以

配方,得

所以
所以


配方,得

所以
所以

因为
所以 =4+20=24
所以
所以


配方:

所以
所以

整理,得

所以

移项,提公因式,得

所以
小结:

以上各题请同学们用其他方法做一做,再比较各种方法的优缺点, 体会如何选用合
适的方法,下面给出常规思考方法,仅作参考。

例3、已知关于x的方程ax
2
-3x+1=0有实根,求a的取值范围.

解:当a=0时,原方程有实根为
若a≠0时,当原方程有两个实根.
故,综上所述a的取值范围是.
小结:
此题要分方程ax
2
-3x+ 1=0为一元一次方程和一元二次方程时讨论,即分当a=0与
a≠0两种情况.
例4、已知一元二次方程x
2
-4x+k=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程x
2-4x+k=0与x
2
+mx-1=0有
一个相同的根,求此时m的值.
解:(1)因为方程x
2
-4x+k=0有两个不相等的实数根,
所以b
2
-4ac=16-4k>0,得k<4.
(2)满足k<4的最大整数,即k=3.
此时方程为x
2
-4x+3=0 ,解得x
1
=1,x
2
=3.
①当相同的根为x=1时,则1+m-1=0,得m=0;
②当相同的根为x=3时,则9+3m-1=0,得
所以m的值为0或
例5、设m为自然数,且3根求m的值及方程的根。
有两个整数
解:,

∵方程有整数根,
∴4(2m+1)是完全平方数。
∵3 ∴2m+1值可以为9,25,49
∴m的值可以为4,12,24。
当m=4时方程为 解得x=2或x=8
当m=12时方程为 解得x=26或x=16
当m=24时方程为 解得x=52或x=38
总结:
本题先由整数根确 定2m+1是完全平方数,再由3分别试验求x,是本题特点。

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