内力公式三角函数三角函数公式表

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常见三角函数

在平面直角坐标系
x
O< br>y
中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为
θ
，设OP=
r
，P点的
坐标为(
x
,
y
)。
在这个直角三角形中 ，
y
是
θ
的对边，
x
是
θ
的邻边，
r
是斜边，则可定义以下六
种运算方法：

基本函数
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
正割函数
余割函数
英文
Sine
Cosine
Tangent
Cotangent
Secant
Cosecant
表达式
sin θ=yr
cos θ=xr
tan θ=yx
cot θ=xy
sec θ=rx
csc θ=ry
语言描述
角α的对边比斜边
角α的邻边比斜边
角α的对边比邻边
角α的邻边比对边
角α的斜边比邻边
角α的斜边比对边
注：tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。
非常见三角函数
除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数，这些运算已趋于淘汰：

函数名
正矢函数
与常见函数转化关系
versin θ=1-cos θ
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余矢函数
半正矢函数
半余矢函数
外正割函数
外余割函数
covers θ=1-sin θ
havers θ=(1-cos θ)2
hacovers θ=(1-sin θ)2
exsec θ=sec θ-1
excsc θ=csc θ-1
单位圆定义
六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实
际计算上没 有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的
确允许三角函数对所有正数和负 数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 π2 弧度
之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，

三角函数
单位圆的方程是：x^2+y^2=1

图像中给出了 用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针
的度量是负角。设一个过原点的线，同
x
轴正半部分得到一个角
θ
，并与单位圆相
交。这个交点的
x
和
y
坐标分别等于 cos
θ
和 sin
θ
。图像中的三角形确保了
这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sin
θ
=
y
1 和 cos
θ
=
x
1。单
位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限
个三角形的方式。
对于大于 2π 或小于等于2π 的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式
下，正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数：对于任何角度
θ
和任何整数
k
。
周 期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。正弦、余弦、正割或余割
的基本周期是全圆，也就是 2π 弧度或 360°；正切或余切的基本周期是半圆，也
就是 π 弧度或 180°。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三
角函数的定义如图所示。
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其他四个三角函数的定义

在正切函数的图像中，在角
k
π 附近变化缓慢，而在接近角 (
k
+ 12)π 的时候变
化迅速。正切函数的图像在 θ = (
k
+ 12)π 有垂直渐近线。这是因为在 θ 从左
侧接进 (
k
+ 12)π 的时候函数接近正无穷，而从右侧接近 (
k
+ 12)π 的时候函
数接近负无穷。
另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为
O
的单位圆来定义，类似于历史
上使用的几何定义。特别

三角函数

是，对于这个圆的弦
AB
，这里的 θ 是对向角的一半，sin
θ
是
AC
（半弦），这
是印度的阿耶波多介入的定义。cos
θ
是水平距离
OC
，versin
θ
= 1-cos
θ
是
CD
。tan
θ
是通过
A
的切线的线段
AE
的长度，所以这个函数才叫正切。cot
θ
是
另一个切线段
AF
。 sec
θ
=
OE
和 csc
θ
=
OF
是割线（与圆相交于两点）的线
段，所以可以看作
OA
沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。
DE
是 exsec
θ

= sec
θ
-1（正割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在 θ
接近 π2的时候发散，而余割和余切在 θ 接近零的时候发散。
三角函数线
依据单位圆定义，

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三角函数线

我们可以做三个有向线段（向量）来表示正弦、余弦、正切的值。
如图所示，圆O是一个单位圆，P是
α
的终边与单位圆上的交点，M点是
P
在
x
轴的投影，
S
(1,0)是圆O与x轴正半轴的交点，过S点 做圆O的切线
l
。
那么向量MP对应的就是
α
的正弦值，向 量OM对应的就是余弦值。OP的延长线
（或反向延长线）与
l
的交点为T，则向量S T对应的就是正切值。向量的起止点不
能颠倒，因为其方向是有意义的。
借助线三角函数线，我们可以观察到第二象限角α的正弦值为正，余弦值为负，
正切值为负
特殊角的三角函数

角度
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
sin
0
12
√22
√32
1
0
-1
cos
1
√32
√22
12
0
-1
0
tan
0
√33
1
√3
无意义
0
无意义
cot
无意义
√3
1
√33
0
无意义
0
同角三角函数关系式

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平方关系 sin^2(α)+cos^2(α)=1
cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=1- 2sin^2(a)=2cos^2(a)-1
sin(2a)=2sin(a)cos(a)
tan^2(α)+1=1cos^2(α)
2sin^2(a)=1-cos(2a)
cot^2(α)+1=1sin^2(a)
积的关系 sinα=tanα×cosα
cosα=cotα×sinα
tanα=sinα×secα
cotα=cosα×cscα
secα=tanα×cscα
cscα=secα×cotα
倒数关系 tanα ·cotα＝1
sinα ·cscα＝1
cosα ·secα＝1
商的关系 sinαcosα＝tanα＝secαcscα
cosαsinα＝cotα＝cscαsecα


三角函数
直角三角
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三角函数
形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
·对称性
180度-α的终边和α的终边关于y轴对称。
-α的终边和α的终边关于x轴对称。
180度+α的终边和α的终边关于原点对称。
90度-α的终边和α的终边关于y=x对称。
诱导公式

公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等

k是整数

sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cos
α
tan（2kπ＋α）＝tan
α
cot（2kπ＋α）＝cot
α
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值
之间的关系
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cos
α
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三： sin（－α）＝－sinα
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任意角α与 -α的三角函数值之间的关系 cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值
之间的关系
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cos
α
tan（π－α）＝－tan
α
cot（π－α）＝－cot
α
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数
值之间的关系
sin（2π－α）＝－sin
α
cos（2π－α）＝cos
α
tan（2π－α）＝－ta
nα
cot（2π－α）＝－co
tα
公式六：
π2±α及3π2±α与α的三角函数值之间的关系
sin（π2＋α）＝cosα
cos（π2＋α）＝－s
inα
tan（π2＋α）＝－c
otα
cot（π2＋α）＝－t
anα
sin（π2－α）＝cos
α
cos（π2－α）＝sin
α
tan（π2－α）＝cot
α
cot（π2－α）＝tan
α
sin（3π2＋α）＝－c
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osα
cos（3π2＋α）＝si
nα
tan（3π2＋α）＝－c
otα
cot（3π2＋α）＝－t
anα
sin（3π2－α）＝－c
osα
cos（3π2－α）＝－s
inα
tan（3π2－α）＝co
tα
cot（3π2－α）＝ta
nα
诱导公式的表格以及推导方法（定名法则和定号法则）


360°k+
α
90°-α
90°+α
180°-α
180°+α
270°-α
270°+α
360°-α
﹣α
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sinβ
sinα
cosβ
cosα
tanβ
tanα
cotβ
cotα
secβ
secα
cscβ
cscα
cosα
cosα
sinα
-sinα
-cosα
-cosα
-sinα
-sinα
sinα
-sinα
-cosα
-cosα
-sinα
sinα
cosα
cosα
cotα
-cotα
-tanα
tanα
cotα
-cotα
-tanα
-tanα
tanα
-tanα
-cotα
cotα
tanα
-tanα
-cotα
-cotα
cscα
-cscα
-secα
-secα
-cscα
cscα
secα
secα
secα
secα
cscα
-cscα
-secα
-secα
-cscα
-cscα
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定名法则
90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。90°
的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。也就是“奇余偶同，奇变偶不
变”
定号法则
将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符 号。也
就是“象限定号，符号看象限”.（或为“奇变偶不变，符号看象限”
2在K π中如果K为奇数时函数名不变，若为偶数时函数名变为相反的函数名。
正负号看原函数中α所在象限的 正负号。关于正负号有可口诀；一全二正弦，三切四
余弦，即第一象限全部为正，第二象限角正弦为正， 第三为正切、余切为正，第四象
限余弦为正。）
比如:90°+α。定名：90°是9 0°的奇数倍，所以应取余函数；定号：将α看做
锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正 弦为正，余弦为负。所以sin(90°
+α)=cosα , cos(90°+α)＝-sinα 这个非常神奇，屡试不爽~
还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：sin(90° +α)，90°的终边
在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，将α看做锐角，那么90° +α是
第二象限角，第二象限角的正弦为正，所以sin(90°+α)=cosα
两角和与差的三角函数
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)(1+tanα·tanβ)
和差化积公式
sinα+sinβ=2sin[(α+β)2]cos[(α-β)2]
sinα- sinβ=2cos[(α+β)2]sin[(α-β)2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)2]cos[(α-β)2]
cosα- cosβ=-2sin[(α+β)2]sin[(α-β)2]
积化和差公式
sinα·cosβ=(12)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(12)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(12)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(12)[cos(α+β)-cos(α-β)]
倍角公式
sin(2α)=2sinα·cosα=2(tanα+cotα)
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cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2
tan(2α)=2tanα(1-tan^2α)
cot(2α)=(cot^2α-1)(2cotα)
sec(2α)=sec^2α(1-tan^2α)
csc(2α)=12*secα·cscα
三倍角公式
sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)
cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)
tan(3α) = (3tanα-tan^3α)(1-3tan^2α) = tanαtan(π3+α)tan(π3-
α)
cot(3α)=(cot^3α-3cotα)(3cot^2α-1)
n倍角公式
sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C (n,5)cos^(n-5)
α·sin^5α-…
cos(nα)=cos^nα -C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…
半角公式
sin(α2)=±√((1-cosα)2)
cos(α2)=±√((1+cosα)2)
tan(α2)=±√((1-cosα)(1 +cosα))=sinα(1+cosα)=(1-cosα)sinα
cot(α2)=± √((1+cosα)(1-cosα))=(1+cosα)sinα=sinα(1-cosα)
sec(α2)=±√((2secα(secα+1))
csc(α2)=±√((2secα(secα-1))
辅助角公式
Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=BA）
Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=AB）
万能公式
sin(a)= (2tan(a2))(1+tan^2(a2))
cos(a)= (1-tan^2(a2))(1+tan^2(a2))
tan(a)= (2tan(a2))(1-tan^2(a2))
降幂公式
sin^2α=(1-cos(2α))2=versin(2α)2
cos^2α=(1+cos(2α))2=covers(2α)2
tan^2α=(1-cos(2α))(1+cos(2α))
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三角和的三角函数
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα· sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sin
γ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ- sinα·cosβ·sin
γ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ- tanα·tanβ·tanγ)(1-tanα·tanβ
-tanβ·tanγ- tanγ·tanα)
其它公式
1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2))^2 1-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2))^2
csc(a)=1sin(a) sec(a)=1cos(a)
cos30=sin60
sin30=cos60
推导公式
tanα+cotα=2sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos^2α
1-cos2α=2sin^2α
1+sinα=[sin(α2)+cos(α2)]^2
其他及证明
sinα+sin(α+2πn)+sin(α+2π*2n)+sin(α +2π*3n)+……+sin[α+2π
*(n-1)n]=0
cosα+cos( α+2πn)+cos(α+2π*2n)+cos(α+2π*3n)+……+cos[α+2π
*( n-1)n]=0
以及
sin^2(α)+sin^2(α-2π3)+sin^2(α+2π3)=32
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]2sinx
证明：
左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)2sinx
=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+
sinnx- sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]2sinx （积化和差）
=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]2sinx=右边
等式得证
sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx- cosx-1]2sinx
证明:
左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx](-2sinx)
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=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx- cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x](-2sinx)
=- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]2sinx=右边
等式得证
三倍角公式推导
sin3a
=sin(2a+a)
=sin2acosa+cos2asina
=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina
=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a=3sina-4sin^3a
=4sina(34-sin^2a)
=4sina[(√32)^2-sin^2a]
=4sina(sin^260°-sin^2a)
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2si n[(60+a)2]cos[(60°-a)2]*2sin[(60°-a)2]cos[(60°+a)2 ]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos^2a-34)
=4cosa[cos^2a-(√32)^2]
=4cosa(cos^2a-cos^230°)
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

=4cosa *2cos[(a+30°)2]cos[(a-30°)2]*{-2sin[(a+30°)2]sin[( a-30°)2]}
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述两式相比可得
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)
三角形与三角函数
1、正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即
asinA=bsinB=csin C=2R ．(其中R为外接圆的半径)
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2、第一余弦定理：三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积
的和，即a=c cosB + b cosC
3、第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方 之和减去这两
边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bc·cosA
4、正切定理(napier比拟)：三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和
的 正切比值，即（a-b）(a+b)=tan[(A-B)2]tan[(A+B)2]=tan[(A-B)2 ]cot(C2)
5、三角形中的恒等式：
对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证明:
已知(A+B)=(π-C)
所以tan(A+B)=tan(π-C)
则(tanA+tanB)(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)(1+tanπtanC)
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
类似地,我们同样也可以求证:当α+β+γ=nπ(n∈Z)时，总有tanα+tanβ+ta n
γ=tanαtanβtanγ


三角函数图像
三角函数图像：
定义域和值域
sin(x),cos(x)的定义域为R,值域为〔-1,1〕
tan(x)的定义域为x不等于π2+kπ,值域为R
cot(x)的定义域为x不等于kπ,值域为R

y=a·sin(x)+b·cos(x)+c 的值域为 [ c-√(a^2+b^2) , c+√(a^2+b^2）]
初等三角函数导数
y=sinx---y'=cosx
y=cosx---y'=-sinx
y=tanx---y'=1cos^2x =sec^2x
y=cotx---y'= -1sin^2x = - csc^2x
y=secx---y'=secxtanx
y=cscx--- y'=-cscxcotx
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y=arcsinx ---y'=1√(1-x^2)
y=arccosx---y'= -1√(1-x^2)
y=arctanx---y'=1(1+x^2)
y=arccotx--- y'= -1(1+x^2)
倍半角规律
如果角a的余弦值为12，那么a2的余弦值为√32
反三角函数
三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，
反正切Arctan x，反余切Arccot x等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割 、
余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π2≤y
≤π 2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos
x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π2函数y=arccot x的主值限在0 反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值
的要求，其 图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使
用了arc+函数名的形式表 示反三角函数，而不是f-1(x).
反三角函数主要是三个：
y=arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-π2,π2]，图象用红色线条；
y=arccos(x)，定义域[-1,1]，值域[0,π]，图象用兰色线条；
y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π2,π2)，图象用绿色线条；
sinarcsin(x)=x,定义域[-1,1],值域 【-π2,π2】
证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x ,将这两个式子代如上式即可得
其他几个用类似方法可得。
三角函数公式表

同角三角函数的基本关系式
倒数关系 商的关系 平方关系
tan
?
?cot
?
?1
sin
?
?csc
?
?1

cos
?
?sec
?
?1

诱导公式
s in
?
sec
?
?tan
?
?
cos
?< br>csc
?

cos
?
csc
?
?cot?
?
sin
?
sec
?
sin
?
?c os
?
?1
1?tan
?
?sec
?

1 ?cot
?
?csc
?
22
22
22
sin(?< br>?
)??sin
?


cos(?
?
)?cos
?

tan(?
?
)??tan
?

cot(?
?
)??cot
?

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sin(?
?
)?cos
?
2
co s(?
?
)?sin
?
2
tan(?
?
)?cot
?
2
cot(?
?
)?tan
?
2

?
?
?

?
sin(
?
?
?)?sin
?
sin(2
?
?
?
)??sin
?
3
?
sin(?
?
)??cos
?
cos(2< br>?
?
?
)?cos
?
cos(
?
?
?
)??cos
?
2

3
?
tan(
?
?
?
)??tan
?
tan(2
?
?
?< br>)??tan
?
cos(?
?
)??sin
?
2cot(
?
?
?
)??cot
?

cot(2
?
?
?
)??cot
?
3
?
(其中k∈Z)
tan(?
?
)?cot
?
2

3
?

cot(?
?
)?tan
?
2





sin(?
?
)?cos
?
2
3< br>?
?
?
)??cos
?
sin(2
?
??
)?sin
?
sin(
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2
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?
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2
2

3
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2
2

3
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?
cot(?
?
)??tan
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)??tan
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2
2
sin(
万能公式
?

两角和与差的三角函数公式
sin(
?
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?
sin
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tan
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?
?tan
?
tan
?
?tan
?
< br>1?tan
?
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sin
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2)

1?tan2(
?
2)
1?tan2(
?
2)

1?tan2(
?
2)
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?
2)

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?
2)
cos
?
?
tan
??
tan(
?
?
?
)?


半角的正弦、余弦和正切公式 三角函数的降幂公式
sin()??
2
co s()??
2
?
1?cos
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2
1?cos
?2

sin
?
?
?
1?cos2
?
2

2
1?cos2
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cos
?
?
2
2
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?
1?cos
?
sin
?
tan()?? ??
21?cos
?
sin
?
1?cos
?


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二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3
?
?3sin
?
?4si n3
?
sin2
?
?2sin
?
cos
?

cos3
?
?4cos3
?
?3cos
?
.

cos2
?
?cos2
?
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?
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?
3tan
?
?tan3< br>?
2tan
?
tan3
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??
1?3tan2
?
1?tan2
?


三角函数的和差化积公式 三角函数的积化和差公式
sin
?
?sin?
?2sin?cos
22
?
?
??
?
?sin
?
?sin
?
?2cos?sin
22

?
?
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?
?
cos
?
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??2cos?cos
22
?
?
??
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?
cos
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?cos
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??2sin?sin
22

?
?
??
?
?

1
?
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?
?
)?sin(
?
?
?
)
?< br>2
1
cos
?
?sin
?
?
?
si n(
?
?
?
)?sin(
?
?
?
)
?
2

1
cos
?
?cos
?
?
?
cos(
?
?
?
)?cos(
?
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)
?
2
1
sin
?
?sin
?
? ?
?
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?
?
?
)?cos(
?
?< br>?
)
?
2
sin
?
?cos
?
?< br>化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）
as inx?bcosx?a
2
?b
2
sin(x?
?
)

其中
?
角所在的象限由
a
、
b
的符号确定，< br>?
角的值由
tan
?
?

六边形记忆法：图形结构“ 上弦中切下
割，左正右余中间1”；记忆方法“对
角线上两个函数的积为1；阴影三角形
上两顶点的三角函数值的平方和等于
下顶点的三角函数值的平方；任意一顶
点的三角函数值等 于相邻两个顶点的
三角函数值的乘积。”


b
确定
a
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