log 公式立体-体积公式

§5 立体图形

1.立体图形的体积、表面积、侧面积、几何重心

图形
[立方体]

体积、表面积、侧面积、几何重心
体积

表面积

侧面积


对角线
a为棱长，d为对角线



重心 G在对角线交点上
体积

[长方体]


表面积

侧面积


a,b,h分别为长,宽,高,d为对角线

[三棱柱]

对角线

重心 G在对角线交点上


体积 V=Fh (式中F为底面积)


表面积 S
=2
F
+
M (式中F为底面积)


侧面积 M=(a+b+c)h

重心


a,b,c分别为边长，h为高

（P,Q分别为上下底重心）

体积
[正六棱柱]

表面积


侧面积


a为底边长，h为高，d为对角线

对角线
重心


（P,Q分别为上下底重心）

体积
[正棱锥]

表面积


侧面积


n为棱数，a为底边长，h为高，g为斜高

(式中F为底面积,F'为一侧三角形面积)

重心


体积

[四面体]

（Q为底面的重心）


重心




a,b,c,p,q,r为棱长

PQ
(为顶点，为底面的


重心)

体积
[棱台]


式中
F
,
F'
分别为上下底面积）

（
重心


h为高


PQ

(，分别为上下底重心)
体积




[正棱台]

侧面积


表面积 S = M + F + F'


（
式中
F
,
F'
分别为上下底面积）



a'，a分别为上下底边长，n为棱数，h为高，g
为斜高

重心



PQ
(，分别为上下底重心)

体积

[截头方锥体]




重心



两底为矩形，a'，b'，a，b分别为上下底边长， h为
高，a
1
为截头棱长

PQ
(，分别为上下底重心)
[楔形]



体积

重心


底为矩形，a，b分别为其边长，h为高，a'

为上棱
长

[球体]

P
为上棱中点
Q
(，为下底面重心)

体积


表面积


r为半径，d为直径

重心 G与球心O重合

[半球体]

体积



表面积

侧面积



r为半径，O为球心

[球扇形（球状楔）]

重心
体积



表面积


侧面积

r为球半径，
α
为锥角（弧度），a为弓形底圆半径，
重心
h为拱高

体积



[球冠（球缺）]

表面积




侧面积



r为球半径，a为拱底圆半径，h为拱高


重心

体积



表面积


[球台]

侧面积



重心

r为球半径，a
',
a分别为上下底圆的半径，h为高





Q
（为下底圆心）
[圆环胎]


体积


表面积
重心 G在圆环的中心上



R为中心半径，D为中心直径，r为圆截面半径，d
为圆截面直径

[圆柱体]

体积

表面积

侧面积
重心



r为底面半径，h为高


（
P
,
Q
分别为上下底圆心）
体积


[中空圆柱体（管）]



表面积

侧面积



R为外半径，r为内半径，h为高

式中t为管壁厚，

为平均半径

重心

体积
[斜截圆柱体]


表面积




r为底圆半径，h,H分别为最小，最大高度，
α
为截
角，D为截头椭圆轴< br>
侧面积

截头椭圆轴



重心





（GQ为重心到底面距离，GK为重心到
轴线OO'

的距离）

[圆柱截段]

体积





侧面积

h为截段最大高度，b为底面拱高，2a为底面弦长，

r为底面半径，2
α
为弧所对应圆心角（弧度）

[椭球体]


体积



重心 G在椭球中心O上


a
，
b
，
c为半轴

体积
[圆锥体]


表面积

侧面积

母线


重心
r为底圆半径，h为高，l为母线

（Q为底圆中心，O为圆锥顶点）

体积


表面积
[圆台]

侧面积


母线

圆锥高（母线交点到底圆的距离)

r,R分别为上,下底圆半径，h为高，l为母线


重心

(P
,
Q分别为上下底圆心）

[拟棱台]

体积

[注]棱台、圆台、球台、圆锥、棱柱、

圆柱等

上下底平行，
F'
，
F
分别为上，下底面积，
F
0
为中都是拟棱台的特例

截面面积，
h
为高

母线为圆弧时：

[桶形体]

体积

母线为抛物线时：

体积



d为上，下底圆直径，D为中截面面积，h为高

重心

(P
,
Q分别为上下底圆心）

2.正多面体

[正四面体] [正八面体] [正十二面体] [正二十面体]
图形

面数
f

棱数
k

顶点
数
e

体积
V

表面
积
S

4

6

4

0.1179a
3

1.7321a
2

8

12

6

0.4714a
3

3.4641a
2


12

30

20

7.6631a
3

20.6457a
2


20

30

12

2.1817a
3

8.6603a
2


表中a为棱长

[欧拉公式]一个多面体的面数为f，棱数为k，顶点数为e，它们之间满足 e-k+f=2