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三层魔方公式数列、极限、数学归纳法 等比数列前n项和的公式 教案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-09 09:42
tags:等比数列前n项和公式

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数列、极限、数学归纳法·等比数列前n项和的公式·教案
北京市五十五中 韩亦军
教学目标
1.掌握求等比数列前n项和的公式及其推导过程,培养学生创造性的思维.
2.初步掌握公式的应用,培养学生的解题能力.
教学重点与难点
等比数列前n项和公式的推导
教学过程设计


(复习一下旧知识,为下面推导出前n项和公式作准备,并提供了类比)
师:今天我们研究已 知等比数列的首项a1,公比q,项数n(或n项an),求它的前n项和Sn的计算公式.
(给足够的时间鼓励学生对问题自由思考,积极解决)
生:能不能像推导等比数列通项公式的方法,列出一些等式,然后迭乘或迭加?
师:可以试试.
生:a1=a1,
a2=a1q,
a3=a2q,
……
an-1=an-2q,
an=an-1q.
将上面n个等式的等号两边分别相加,得
a1+a2+a3+…+an-1+an=a1q+a2q+…+an-2q+an-1q
等号左边就是Sn,右边是……
(诱导一下)
师:可将右边适当变形,再观察它与Sn的关系,注意上式对n≥2时成立.
生:Sn=a1+q(a1+a2+…+an-2+an-1)
师:等号右边括号里是数列{an}若干项的和,可以用什么符号来表示?与Sn的关系又是什么?
(及时点拔,可加深学生对符号Sn的理解,最后一个问题也是推导公式的关键一步)
生:等号右边的括号里就是Sn-1,上面等式可以写成
Sn=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an).
以下只需解出Sn即可.
( “方程”在中学代数课程里占有重要的地位,方程思想是应用十分广泛的一种数学思想,利用方程思想,
在已知量和未知量之间搭起桥梁,使问题得到解决)

师:(纠错)能否在等号两端同除(1-q)?
生:应分q=1和q≠1讨论.
(分类讨论也是重要的数学思想方法)

师:因为S1=a1,所以此式对n=1也成立.(帮助学生完善证明过程)
生:当q=1时,数列{an}为常数列a1,a1,…,Sn=na1
(及时归纳小结)
师:我们根据等比数列的定义,用迭加的方法推导出了等比数列{an}的前n项和公式
(板书)

如果已知a1,n,q,则当q≠1时,Sn的公式是什么?
(学生演算、口答,教师板书)
生:将an=a1qn-1代入,得

生:老师,我还有一种证法.
师:你是如何证明的?(学生口述,教师板书.)


当q=1时,Sn=na1.
师:非常好!这位同学围绕等比数列的基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比定理,导出了公式.
(公式虽已导出,还可以再引导学生把思维发散开)
师:还有没有其他的推导方法?
(板书)
Sn=a1+a2+…+an-1+an=a1+a1q+…+a1qn-2+a1qn-1.
观察等号右端,若每一项乘以公比q,就得到它后面相邻的一项,能否设法消去一些项?同学们可以讨论
一下.
生:(学生口述,教师板书)
在等号两边乘以q,得
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn.
将两式的两端分别相减,就可消去这些共同项,
(1-q)Sn=a1-a1qn.得到前面的求和公式.
师:这种求和方法也很重要,由于 设法消去了一些中间项,使带有省略号的含任意有限项的式子变成仅含
有几项的式子,从而使问题得到解 决.
(用这种方法求和,对培养学生的观察、分析能力是有好处的)
这种求和方法称为“错位相减法”,是研究数列求和的一个重要方法.

(板书)
(这种求和的思路在解决某些求和问题时经常用到,应使学生掌握)
(以上三种推导方法,可 以看出利用“发散思维”进行教学,引导学生从多条途径,用多种方法推导公式,
从而培养学生的创造性 思维)
师:在求等比数列(q≠1)的前n项和时,如果已知首项a1,公



师:与等差数列相似,等比数列的前n项和公式(1)和(2),及通项公式an=a1qn -1,其中涉及a1,q,n,
an和Sn这五个量,而它们又通过通项公式及前n项和的公式联系着, 因此只要已知其中的任何三个量,即可
得到以其余两个量为未知数的方程组,从而可以求出其余两个量.
(类比的方法是认识事物的重要方法,提示学生在学习过程中,注意用类比的方法记忆知识、解决问题)
师:下面举例说明公式(1)、(2)的一些应用.
(利用投影片投影出例题)
例1 口答下列各题:

(2)已知等比数列{an}中,a1=2,q=3.求S3;
(3)请利用第(2)题的数据,自己编题,改为a1或求q,并求解.
(自己拟题能巩固和深化所学的知识)
生:(口答)

(3)生甲:已知:q=3,S3=26.求a1.

生乙:已知:a1=2,S3=26.求q.

师:这一题是利用Sn求q,为什么可以用公式(2)?
生:因为a1=2,若q=1,则S3=6,而已知S3=26,故q≠1.所以可以选用公式(2).
(这一追问为下一题做了铺垫)
例2 已知{an}为等比数列,且Sn=a,S2n=b,(ab≠0),求S3n.
师:要求S3n,需 知a1,q,而已知条件为Sn和S2n.能否进一步挖掘题目的条件,使已知和未知沟通起
来?





以下再化简即可.
师:这位同学处理问题很巧妙.他没有分别求得a1与q的值,而改

生乙:我认为第①式就有问题,他附加了条件q≠1.而对q=1情况没有考虑.
师:对!使用等比数列前n项和公式时,要特别注意适用条件,即
q=1时,Sn=na1;

(含字母已知数的等比数列求和题目,学生常忽略q=1情况,要引起足够重视,以培养学生 思维的严密性)
(学生演算习题,教师投影出正确答案)
解:设数列的公比为q.若q=1(此时数列为常数列),则Sn=na1=a,

若q≠1(即2a≠b),
由已知










师:(小结)这节课我们从已有的知识出发,用多种方 法(迭加法、运用等比性质、错位相减法)推导出了
等比数列的前n项和公式,并在应用中加深了对公式 的认识.
如已知a1,n,q,则选择

已知a1,q,an,则选择

对含字母的题目一般要分别考虑q=1和q≠1两种情况,不能附加


从a1,q,n,an,Sn五个量中,知道任意三个,可求其余两个.
布置作业
1.在等比数列{an}中,a1=1,an=-512,Sn=-341,求公比q和项数n.(q=-2,n =10)
2.在等比数列{an}中,(1)已知n,q,an,求a1与Sn;(2)已知n,q, Sn.求a1与an.((1)a1=anq1-n.若
q=1,Sn=na;

3.求和:




①-②得


(2)Sn=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn, ①
xSn=x2+3x3+5x4+…+(2n-1)xn+1. ②
①-②得
(1-x)Sn=x+2(x2+x3+…+xn)-(2n-1)xn+1.
则当x≠1时,

当x=1时,Sn=n2)
课堂教学设计说明
本课知识与前面的知识——等差数列求和公式,教学内容联系紧密,只要学生掌握好旧知识,再经过分析、综合、归纳、推理,就能导出所学内容.采用这种教学方法,学生学习积极性高,因而教学效率高、效果好,
同时,对完善学生的认知过程,提高他们分析问题、解决问题的能力大有裨益.
本节课教学过程可概括如下:
(1)复习旧知识,引出新课题;
(2)推导公式,弄清条件,认识新知识;
(3)运用公式,巩固新知识;
(4)小结,布置作业.
对全课作了如此设计,主要基于以下几点:
(1)对公式 的教学,要充分揭示公式之间的内在联系,掌握与理解公式的来龙去脉,掌握公式的导出方法,
理解公式 的成立条件.也就是让学生对本课要学习的新知识有一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推导和条
件, 直接记忆公式的结论是降低教学要求,违背教学规律的做法.
(2)本课采用启发引导,讲练结合的教 学方法,既发挥了教师的主导作用,又体现了学生的主体地位,学
生获取知识必须通过学生自己的一系列 思维活动来完成,课堂上教师的作用主要在于给学生设计好符合他们学
习心理过程的学习程序,通过设疑 、暗示、课堂讨论、自编习题等多种教学形式和方法,启发诱导学生,激发
学生的学习兴趣,使他们自始 至终处于一种积极进取的兴奋状态,使他们通过在教师引导下的独立活动,自然
而有效地获取知识、技能 和技巧.同时在数学教学的实践活动中形成、发展学生的数学能力.

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