-
第
2
课时
简单的三角恒等变换
考点一
三角函数式的化简
sin
?
180°
＋
2
α
?
cos
2
α
【例
1
】
(1)
·
等于
(
)
1
＋
cos2
α
cos
?
90°
＋
α
?
A
．－
sin
α
C
．
sin
α
sin
?
2
α
＋
β
?
(2)
化简：
－
2cos(
α
＋
β<
/p>
)
．
sin<
/p>
α
－
sin2
α
·
cos
2
α
【解析】
(1)
原式＝
2cos
2
α
?
－
sin
α
?
－
2sin
α
cos
α
·
cos
2
α
＝
＝
cos
α
.
2cos
2
α
?
－
sin
α
?
sin
?
2
α
＋
β
?
－
2sin
α
cos
?
α
＋
β
?
(2)
原式＝
sin
α
sin[
α
＋
?
α
＋
β
?
]
－
2sin
α
cos<
/p>
?
α
＋
β
?
＝
sin
α
sin
α
cos<
/p>
?
α
＋
β
?
＋
cos
α
sin
?
α
＋
β
?
＝
－
sin
α
2sin
α
cos
?
α
＋
β
?
sin
α
cos
α
sin
?
α
＋
β
?
－
sin
α
cos
?
α
＋
β
?
＝
sin
α
sin[<
/p>
?
α
＋
β
?
－
α
]
sin
β
＝
＝
.
sin
α
sin
α
【答案】
(1)D
(2)
见解析
方法技巧
1.
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
< br>B
．－
cos
α
D
．
cos
α
2
．
三角函数式化简的方法
(1)
弦切互化，异名化同名，异角
化同角，降幂或升幂．
(2)
在三角
函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，
根号中含有三角
函数式时，一般需要升次．
< br>sin2
α
－
2cos
2
α
1.
＝
2
2cos
α
.
π
?
?
sin
?
α
－
4
?
2sin
α
cos
α
－
2cos
2<
/p>
α
解析：
原式＝
＝
2
2cos
α
.
2
?
sin
α
－
cos
α
?
2
2cos
2
< br>α
－
1
2
．化简：
.
π
π
< br>?
?
?
?
2tan
?
4
－
α
?
cos
2
?
4
－
α
?
cos2
α
cos2
α
cos2
α
解：
原式＝
＝
＝
＝
1.
π
π
?
π
cos2
α
?
?
?
?
?
2sin
?
4
－
α
?
cos
?
4
－
α
?
sin
?
2
－
2
α
?
考点二
三角函数求值
命题方向
1
给角求值
cos10°
【例
2
】
求值：
(1)(tan10°
－
3)
；
sin50°
1
＋
cos20°
?
1
－
tan5°
?<
/p>
.
(2)
－
s
in10°
·
?
tan5°
?
2sin20°
【解析】
(1)
方法
1
：
cos10°
原式＝
(tan10°
－
tan60°
)
sin50°
sin10
°
sin60°
sin
?
－
50°
?
cos10°<
/p>
?
cos10°
－
＝
?
＝
·
＝
－
2.
?
cos10°
cos60°
?
sin50°
cos10°
cos60°
sin50°
sin10°
cos10°
－
3<
/p>
?
方法
2
：原式
＝
?
?
co
s10°
?
sin50°
1
3
?
2
?
sin10°
－
cos10°
2
?
2
?
－<
/p>
3cos10°
?
sin10°
?
cos10°
＝
?<
/p>
＝
?
sin5
0°
cos10°
?
?
sin50°
2sin
?
10
°
－
60°
?
＝
＝－
2.
sin50°
－
sin
2
5°
2cos10°
1
cos5°
< br>sin5°
cos
2
5°
2cos
2
10°
(
2)
因为
－
tan5°
＝
－
＝
＝
，所以原式＝
tan5°
sin5°
cos5°
sin5°
cos5°
s
in10°
4sin10°
cos10°
－
10°
?
cos10°
cos10°
－
3sin10°
< br>2cos10°
cos10°
sin20°
cos10°
sin
?
30
°
－
sin10°
·
< br>＝
－
＝
－
＝
－
＝
sin10°
2sin10°
sin10°
2sin10°
sin10°
2sin10°
2sin10°<
/p>
3sin10°
3
＝
.
2sin10°
2
【答案】
(1)
－
2
(2)
3
2
命题方向
2
给值求值
π
tan
α
2
2
α
＋
?
的值
是
________
．
【例
3
】
<
/p>
(2019·
江苏卷
)
< br>已知
＝－
，则
sin
?
4
?
?
π
3
α
＋
?
tan
?
?
4
?
tan
α
?
1
－
tan
α
?
tan
α
2
1
【解析】
< br>解法
1
：
＝
＝－
，解得
tan
α
＝
2
或
tan
α
＝－
，当
tan
α
3
3
tan
α
＋
1
tan
α
＋
1
1
－
tan
α
cos
2
α
－
sin
2
α
1
－
tan
2
α
2sin
α
cos
α
2tan
α
4
3
＝
2
时，
sin2
α
＝
2
＝
＝
，
cos2
α
＝<
/p>
＝
＝－
，此时
s
in2
α
5
sin
α
＋
cos
2
α
tan
2
α
＋
1
5
sin
2
α
＋
cos
2
α
tan
2
α
＋
1
π
1
1
3
4
1<
/p>
2
α
＋
?
＋
cos2
α
＝
，
同理当
tan
α
＝－
时，
sin2
α
＝－
，
cos2
α
＝
，
此时
< br>sin2
α
＋
cos2
α
＝
，
所以
sin
?
4
?
?
5
3
5
5
5
＝
2
2
(sin2
α
＋
cos2
α
)
＝
.
2
10
π
α
＋
?
sin
α
cos
?
?
4
?
tan
α
2
解法
2
：
＝
＝－
，则
π
π
3
α
＋
?
cos
α
sin
?
α
＋
?
tan
?
?
4
?
?
4
?
π
π
2
α<
/p>
＋
?
＝－
cos
α
sin
?
α
＋
?
，
sin
α
cos
?
?
4
?
?
4
?
3
又
2
?
α
＋
π
?
－
α
< br>?
＝
sin
< br>?
?
?
4
?
?
2
π
π
α
＋
?
cos
α
－
cos
?
α
＋
?
sin
α
＝
sin
?
?
4
?
?
4
?
π
5
α
＋
?
cos
α
，
＝
sin
?
4
?
3
?
π
< br>3
2
α
＋
?
cos
α
＝
则
sin
?
，
?
4
?
1
0
π
π
2
α<
/p>
＋
?
＝
sin<
/p>
?
?
α
＋
?
＋
α
?
则
sin
?
4
?
?
?
?
4
?
?
π
π
α
＋
?
cos
α
＋
cos
?
α
＋
?
sin
α
＝
sin
?
?
4
?
?
4
?<
/p>
π
1
1
3
2
2
α
＋
?
cos
α
＝
×
＝
sin
?
＝
.
4
?
3
?
3
10
10
【答案】
2
10
命题
方向
3
给值求角
π
?
3π
5
10
，
π
，
β
∈<
/p>
?
π
，
?
，则
α
＋
β
的值是
，
sin(
β<
/p>
－
α
)
＝
，且
α
∈
?
2
?
?
4
?
?
5
10
【例
4
】
< br>若
sin2
α
＝
(
)
7π
9π
A.
B.
4<
/p>
4
5π
7π
5π
9π
C.
或
D.
或
<
/p>
4
4
4
4
π
?
5π
5π
π
5
1
，
π
，且
0
α<
/p>
＝
<
，所以
2<
/p>
α
∈
?
，
π
?
，所以
α
∈
?
，
?
，
【解析】
因为
α
∈
?
?
4
?
?
6
?
?
12
2
< br>?
5
2
3π
π
13π
2
5
π
，
?
，所以
β
－
α
∈
?
，
?
，
<
/p>
cos2
α
＝－
1
－
sin
2
2
α
＝－
.
因
为
β
∈
?
2<
/p>
?
?
?
2
12
?
5
又
sin(
β
－
α
)
＝
10
>0
，
10
π
?
所以
β
－
α
∈
?
?
2
，
π
?
，所以
cos(
β
－
α
)
3
10
＝－
1
－
sin
2
?
β
－
α
?
＝－
.
10
所以
cos(
α
＋
β
)
＝
cos[2
α
＋
(
β
－
α
)]
＝
cos2
α
cos(
β
－
α
)
－
sin2
α
si
n(
β
－
α
)
2
5
?
3
10
?
5
10
2
＝－
×
－
－
×
＝
.
5
10
2
?
10
?
5
5π
π
?
3π
，
，
β
∈
?
< br>π
，
?
，
又
α
∈
?
2
?
?
12<
/p>
2
?
?
17π<
/p>
7π
，
2π
?<
/p>
，所以
α
＋
β<
/p>
＝
.
故选
A.
所以
α
＋
β<
/p>
∈
?
?
12
?
4
【答案】
A
方法技巧
1.
“给角求值”一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系，利用三角变
换
转化为求特殊角的三角函数值问题
.
2.
“给值求值”即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在
于“变角”，使相关角相同或具有某种关系
.
3.
“给值求角”实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角函数值来求角
< br>?
注意角的范围
?
，在选取函数
时，遵循以下原则：
?
1
?
已知正切函数值，选正切函数
.
-
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