-
怎么教都“队”
“有趣的规律
-
等差数列”
一、教学设计理念：
以往学生所接触的数与量大部分是单一数值，例如：一个月的
零用钱、计算一个图形的
面积、周长等。
由此单元开始，学生面对的是“依
序排列的一串数”
，这一串数与单一数值所呈现的意义
截然不同
。
例如
：某个家庭在
2007
年的用电量
(<
/p>
单位：度
)
，如下表
月份
一
度数
110
二
120
三
90
四
80
五
62
六
110
七
130
八
115
九
100
十
80
十一
十二
90
110
我们该如何看出这些数字的分布？这时候就需要数学的
Sense
来引领着学生来看这串看
似
平凡，但却暗藏玄机的数值。
当我们将上列数据用趋势图表示时，我们会看到下图：
用電量
140
120
100
度
數
< br>80
60
40
20
0
0
5
月份
10
15
由上图，我们可知两项事情，一方面我们可以看出一个趋势，
比单一数值丰富得多，另
一方面亦可以看出“数列就是定义在自然数上的一个函数”
。假若我们欲求一年
12
个月的用
电总量，那也就是所谓的级数问题了。
因此，在此份教案中，笔者希望藉由一些有趣的方式与日常生
活常见之规律题材，引领
学习者走入生活数学化的殿堂。由直观的实例，提升到抽象的层
次，以深化学生数学能力，
培养学生的抽象思维能力。并将其数学课堂中所学，做一深入
了解后，活用于日常生活中，
以解决等差数列与级数之问题。
1
二、单元教学活动设计
教学科目
九年一贯数学领域
教学年级
教学名称
有趣的规律
教材来源
－等差数列
八年级
自制
教学者
学生人数
教学节数
35
人
共三节课
教学日期
教师：学习单
DIY
簿本、冰棒棍、花片数个、布题条、海报、
三条长度成等差的童
单元教具
军绳、磁条，
PPT
、自制之魔术影片、自行
DIY
之万年历、磁
铁。
学生：笔、纸、尺、自行组装完成之万年历
能力指标
一、数与量
N-4-13
能辨识数列的规则性。
N-4-14
能熟练等差数列、等差
级数的样
式、记法与公式，并解决相关问
题。
二、连结：
教
学
目
标
C-R-01
能察觉生活中与数学相关的情境。
C-R-02
能察觉数学与其他领域之间有所
连结。
C-T-01
能把情境中与问题相关的数、量、
形析出。
C-T-02
能把情境中数、量、形之关系以数
学语言表出。
C-S-01
能分解复杂的问题为一系列的子
题。
C-S-02
能选择使用合适的数学表征。
C-S-03
能熟悉解题的各种历程：搜集、观
察、臆测、检验、推演、验证、论
证等。
C-S-05
能了解一数学问题可有不同的解
法，并尝试不同的解法。
C-C-01
能了解数学语言（符号、用语、图
2
分年细目
8-n-04
能在日常生活中，观察有次序的数
列，并理解其规则性。
8-n-05
能观察出等差数列的规则性，并能
利用首项、公差计算出等差数列的
一般项。
8-n-06
能理解等差级数求和的公式，并能
解决生活中相关的问题。
表、非形式化演绎等）的内涵。
C-C-03
能用一般语言与数学语言说明情
境与问题。
C-C-04
能用数学的观点推测及说明解答
的属性。
C-C-06
能用一般语言及数学语言说明解
题的过程。
C-E-05
能将问题与解题一般化。
单元目标
教学活动目标
1.
能了解及辨别数列及等差数列的意义。
◎
第一节课：
1-1
能找出规律性。
活动一
寻找规律
1-2
能了解及辨别数列的意义。
活动二
数列及等差数列
1-3
能了解及辨别等差数列的意义。
2.
能
利用实例观察等差数列的规律
，
并形成求
◎
第二节课：
第ｎ项的公式。
2-1
能利用实例观察等差数列的规
律。
活动一
找出绳子规律性
2-2
能利用已观察之等差数列的规律
活动二
介绍等差数列的名词
来形成第ｎ项的公式。
3.
能
利用等差数列求第ｎ项的公式
，
解决日常
◎
第三节课：
生活中常见的问题。
3-1
能利用等差数列解决日常生活中
活动一
破解预言术
常见之问题。
4.
能够求等差数列的和。
活动二
介绍级数和
4-1
能够求出等差数列之和
3
教
教
学
材
研
分
究
析
与六大领域及六大议题的连结
六大领域
◎
语文
˙
B-2-1
能培养良好的聆听态度。
˙
C-2-1
能充分表达意见。
˙
C-2-4
能把握说话重点，充分沟通。
◎
社会
˙
5-2-3
举例说明在学习与工作中，可能和他人产生合
作或竞争的关系。
◎
艺术与人文
˙
1-2-3
纪录与表现自己所触及的事物与情感。
◎
自然与生活科技
˙
1-2-4-1
由实验的材料中整理出规则，提出结果。
◎
综合活动
˙
1-2-2
参与各式各类的活动
，
探索自己的兴趣与专长。
六大议题
◎
性别平等教育
˙
1-2-6
学习规划、组织的能力，不受性别的限制。
◎
人权教育
˙
1-2-1
欣赏个别差异并尊重自己与他人的权利。
◎
环境教育
˙
3-1-2
具有好奇心，思考存在环境中万物的意义与价
值。
数学内部连结
◎
A-4-12
< br>观
察
生
活周
遭或
其他
学
科领
< br>域中
的数
学
，
< br>认识数学的用
途
与数
学思
维的
特性。
本单元：等差数列
◎
能了解数列及等差数列
的意义。
◎
能利用实例观察等差数
列的规律
，
并形成求第ｎ
项的公式。
◎
能利用等差数列求第ｎ
项的公式
，
解决日常生活
中常见的问题。
◎
能够求等差数列的和。
4
单元
“连结”
与生活数学
◎
察觉
C-R-01
能察觉生活中与数学相
关的情境。
C-R-02
能察觉数学与其他领域
之间有所连结。
与十大基本能力的“连结”
◎
了解自我与发展潜能
?
了解自己在数量或形上的能力及思
考型态的倾向
◎
欣赏、表现与创新
?
领会数学本身的美
◎
生涯规划与终身学习
?
养成凡事都能尝试用数学的观点或
方法来切入的习惯
◎
表达、沟通与分享
?
与他人分享思考历程与成果
◎
尊重、关怀与团队合作
?
互相帮助解决问题
◎
文化学习与国际了解
?
连结数学发展与人类文化活动间的
互动
◎
主动探索与研究
?
形成问题、观察、一般化
◎
独立思考与解决问题
?
进行数学式思维
< br>?
以数、形、量的
概念与方法探讨并解决问题
◎
转化
C-T-01
能把情境中与问题相关的
数、量、形析出。
C-T-02
能把情境中数、量、形之
关系以数学语言表出。
◎
解题
C-S-01
能分解复杂的问题为一系
列的子题。
C-S-02
能选择使用合适的数学表
征。
C-S-03
能熟悉解题的各种历程：
搜集、观察、臆测、检验、推演、
验证、论证等。
C-S-05
能了解一数学问题可有不
同的解法，并尝试不同的解法。
◎
沟通
C-C-01
能了解数学语言（符号、
用语、图表、非形式化演绎等）
的内涵。
C-C-03
能用一般
语言与数学语
言说明情境与问题。
C-C-04
能用数学的观点推测及
说明解答的属性。
C-C-06
能
用一般语言及数学语
言说明解题的过程。
C-C-08
能尊重他人解决数学问
题的多元想法。
◎
评析
C-E-05
能将问题与解题一般化。
5
教
材
地
位
分
析
◎
第一册
˙整数、分数的运算。
˙负数与数线。
˙移项法解一元一次方程式。
◎
第二册
˙二元一次联立方程式
◎
本单元
?
能了解数列及等差数列的意义。
?
能利用实例观察等差数列的规律，并形成求第ｎ项的公式。
?
能利用等差数列求第ｎ项的公式，解决日常生活中常见的问题。
?
能够求等差数列的和。
◎
高中第一册
˙数列与级数。
˙等比数列与等差数列。
˙无穷等比级数
(1)
能在数在线操作简单的描点，如
-3
、
(-2)+5
等，并介绍两点在数在线的间隔。
学
(2)
能理解负数的特性并熟练数
(
含小数、分数
)
的四则运算。
生
(3)
能熟练符号的代数操作。
经
(4)
能利用移项法则来解一元一次方程式，并做验算。
验
(5)
能熟练使用消去法解二元一次联立方程式。
一、
CK(contact
knowledge)
数学知识：
（一）数学的重要性
“数学为各学科之母”
，这句话说明
了数学的重要性，也意喻着数学并不只是一们学
科，更应是一种态度与方法，也就是我们
平常所称的“数学化过程”
。
教
传统上
，
数学受到绝对主义典范
（
absolutist paradigm
）<
/p>
的主宰─认为数学为绝对真理，
学
不可能错、并且是客观的思考结构，并视数学为人类知识中最确定的部份，并且为所有
分
知识的基石。然而
20
世纪以来，受到批判主义影响，数学开始受到许多哲学家及数学家
析
的质疑与挑战，例如：
P
opper
、
Freudenthal
、
Von Glassersfeld
，并开始强调数学亦如其
他
知识体，是可争议与改变的，数学是可以在社会中发表、批判及讨论等所形成的产物与
意义。
6
（二）数学知识的定义
笔者将数学知识定义为一种“人类
思维活动中，能够运用理性，有效的解决问题之
后，所发展的一种综合结果”
。而此种结果包括了现实中的数量关系、空间形式
……
等各
种向度。
就如同美国数学家克莱因说：
“数学
是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最
完善的程度”
我们呈现给学生的数学知识并非一
个现成的的结果，也并非一种封闭的演绎系统。
而是一种动态，可由学生自我建构的知识
体系。
（三）本份教案所呈现的数学知识
笔者认为，探索数学问题的第一步就是要从中抽丝剥茧以得到
有意义的数据，或是
能反应问题本身的资料。而最简单的数据或资料的呈现方式当然是使
用数列来呈现。
因此，培养对数列的敏锐观察、高度透视与归纳的能力是解题重要的训练课题。除
等差数列与等差级数要有深刻的体认之外，对于较有规律的数列与级数的观察与归纳能
力的学习亦是相当重要的。因此笔者拟将此部分分类及分级说明如下：
1.
数学化能力：
(1)
培养学生观察有次序的数列，并察觉其规律性。
(2)
能使用代数符号描述数列的项。
(3)
能写出等差数列的一般项公式。
(4)
能利用首项、公差，或其中某
两项的值，来计算出等差数列中的每一项。
(5)
能理解级数的意义，及数列与级数的差别。
(6)
能推演并导出等差级数的公式。
2.
生活化能力：
(1)
能观察出生活中，有规律的情境。
(2)
能将等差数列及等差级数活用于日常生活的次数学领域中。
(
二
)
PCK(Pedagogical contact
knowledge)
数学教学知识：
在数学教学过程中，共由两部份所
构成。第一是教学者，第二是学习者。笔者即以
此两点分别论述：在此教案中，我们所设
定之其地位。
1.
教学者：
数学教学者应扮演何项角色
？多年来，这一直困扰着数学教育家，也引起许多
的争辩。
笔者则是认为，教学者是一个扮演多重角色的个体，他应是
Vy
gotsky
鹰架学习理论
中，扮演协助者。也是
Socrates
产婆式教学法里的产婆，为学习者引导出知识，扮演着
引导者的角色。也应是
Bruner
发现学
习法中，为学习者创造情境的组织者。
因此教学者应组织数列学习情境，协助学习者了解及辨别数列
，并且引导学习者进
入等差数列的数学符号表示法，以达成前述之数学化，生活化的能力
。
2.
学习者：
根据
Piaget(1896-1980A.D.)
的认知发展理论
(cognitive development)
，国二学生正处于
第四阶段－形式运作期
，<
/p>
此阶段的发展特征为
，
运作
(Operation)
能完全脱离具体的内容，
并
以形式方式（
form
）表示，因此对于日常直观之物能够逐渐
转化为符号表示。
因此，笔者企求藉由有趣且多元的教学方法，藉由数列教学，引领学习者走入数学
化的殿堂，并希冀以数学化融入生活，实现数学生活化、生活数学化的教学目标。
7
(<
/p>
三
)
教学及评量注意事项：
1.
若只给一个数列前若干项，而未言明此数列
的规律，要学生填“未知的项”
，其
答案有
无限多（只要合乎函数的定义即可）
，因此必须避免此类的问题。
2.
数列的评量是以有规律的数列为主，如一次函数
(
等差数列
)
，而
二次以上的函
数并不适合。
3.
等差数列的评量以“等差级数的公式”为主，并重于下列
两种问题：
a.
已知首相及公差，求其他任一项。
b.
已知某两项，求其他任一项。
4.
命题不宜超出教材范围。
例如：
a.
费氏数列：
1
，
1
，
2
，
3
，
5<
/p>
，
8
，…
b.
递回数列：
c.
等比级数的一般项求法
5.
证明题不宜。
例如：
a.
设＜
＞之ㄧ般项公式为
=2n-1
，求证数列＜
＞成等差数列。
b.
证明
：等差数列前
n
项和是
n
的二次函数
c.
已知数列＜
＞前
n
项和为
教学
时间
，求
=
？
教学活动
教学相关知识
教师教学活动
-----
第一节课开始
-----
学生学习活动
情境设定：
已在预备钟时将三
张学习单发予小朋友。
8
一、
准备活动
教师准备：
学生准备：
海报×
< br>2(
花片
、
冰棒棍
)(
附件
笔、一颗轻松的心
一、二
)
、布题条×
< br>3
、学习单×
3
（寻找规律性、费波那西、用不
<
/p>
坏的月历
DIY
）
。
2min
s
二、
发展活动
引起动机
配合单元目标：
1-1
教学媒体
：
花片海报
(
附件
一
)
效果评量：形成性评量－
学生是否发现花片为一
规律性的排列。
数学知识：生活化能力－
能观察生活中有规律的
情境。
教学方法：发现教学法
开始上
课后，教师故布悬
学生开始与隔壁学生讨论，
疑，不发一言，于
黑板上放上规
究竟黑板上的磁铁有何规律
律性的花片，如图一<
/p>
(
附件一
)
。<
/p>
性？
学生可能讨论之一：
图一
老师排列的花片形状，全都
?
?
?
?
?
是正方形耶！
?
?
?
?
?
?
?
?
学生可能讨论之二：
?
→
?
?
?
< br>
→
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
我也拿张纸来画画看。
活动一
寻找规律
3min
1.
教师布题一：
(
如图一
)
s
“花片变多了”
教学媒体：布题条
询问学生：
“请问，黑板上
学生
A
：
学生
B
：
“花片结合而成
的边
教师注意事项：
的花片排列有什么规律性
长变大了。”
若学生回答偏离规律主
呢？”
（开放式问题）
学生
C
：<
/p>
“花片结合而成的形
题，或是回答不踊跃，则
状，边长为奇数排列”
老师应视情况引导。引导
（以上皆为正确解答）
方法如下
(
配合动作
)
：<
/p>
2min
2.
教师给予学生奖励，并澄清
(1)
第一次：我放了
1
个
< br>2
磁铁。
（
< br>2
×
0+1
）
< br>s
答案。
2min
s
2min
s
3.
教师
再一步询问：
“第十
排成正方形？”
学生
A
：<
/p>
（正确解答）
2
次，我需要放几个磁铁才能
[2
×
(10-1)+1]
< br>
＝
361
学生
B
：
(2
×
10+1)
2
=441
(2)
第二次：我放了
9
个
磁铁，排
出一个正方形。
(2
×
1+1)
2
(3)
第三次
：
我放了
25
个
< br>磁铁，排了一个更大的正
2
方
形。
(2
×
2+1)
< br>
配合能力指标：
C-T-01
、
C-S-02
、
C-S-03
教学媒体：发现规律性
-
4.
教师布题二：
（如学习单一）
学习单（学习单一）
“请你翻开学习单一
-
发现规
学生作答
（正确解答）
效果评量：
律性，根据右边的问题回
答，
学生回答之一：
形成性评量－学生是否
并依照数字规则填上格子里的
1.(
有
)
2.(
是
)
能够将已知用于类似情
数字，并请一
位同学上来填上
3.(
２
)
4.(
是
)
境中。
你所写答案。”
9