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数学学科教学知识（
MPCK
）研究综述
【摘
要】
在数学教师专业发展的众多维度中，
MPCK
是核心要素，对于促进教师专业发展作用显著，基于
MPCK
的
视角来认识数学教师专业发展应成为重要话题。有
关
MPCK<
/p>
的结构国内外学者已有不少研究，但基本都囊括了数学学科内容知识和教育性知识，主要研
究成果集中于义务教育阶段
MPCK
的内涵、结构、特征、价值
、发展
途径、优秀教师的
MPCK
以及
MPCK
视角下的课堂考察等，但针对小学数学专家教师的个
案研究还比较有限。
【关键词】
数学
MPCK
研究综述
20
世纪中期，美国学者舒尔曼提出了“缺失的范式”（
Missing
Paradigm
），给出了“
PC
K
”（
Pedagogical
Content
Knowledge)
的概念。
此后，国外许多学者对此作了大批研究。
2005<
/p>
年以后，
PCK
开始引起中国学者的广泛
关注，并迅速成为教师知识研究的热点话题。就数学教育而
言，掌握丰富的数学学科知识
并不能有效地促进教师的专业发展，教师更需具备
MPCK
（<
/p>
Mathematics Pedagogical Content Knowledg
e
）。目前，
[1-10]
国内外学者
们从不同层面对
MPCK
进行了研究，已有不少成果。
。
一、
MPCK
的定义及内涵
:
相对于舒尔曼对
PCK
的
定义，
MPCK
更加紧密结合数学学科的特点。中国不同学者用
不同的词语表示
MPCK
。从教学的角度理解，数学教师从事<
/p>
专业教学所应具备的核心知识称为
MPCK[11]
。从中国学科教学传统的角度理解，有学者认为，
MPCK
是关于教授某一具体内容的方式或方法的知
识。具体地说，是指教授某一特定内
容时，有多少有效或不太有效的方式？这些方式是什么？这些方式有什么优缺点？学生在理解某一特定数学
概念时，可能会有哪些困难？有什么较为容易的方式让学生掌握
[12
]
。
另外，
一些学者在
Shulman
的学科教学知识概念基础上提出了涵
盖学科教学知识与学科内容知识的
“教学的数学知识”
(mat
hematics
knowledge
for teach
ing
，简称
MKT)
概念，简单地讲
就是教师教数学所需的数学知识。一方面，
Shulman
的学
科教学知识属于纯粹的理论性研究，旨在为促
进教师的有效教学提供分析视角和工具，与
此相反，教学的数学知识则源于对数学教师的实证研究；另一方面，
Shulman
认为学科内容知识与学
科教学知识是两种不同类型的知识，而教学的
数学知识则将两者整合在一起
[13]
。
李星云基于对学科教学知识与小学数学学科教学知识之间关系的研究认为，小学数学
学科教学知识就是小学数学教师在特定教学情境中，基
于对小学生和小学数学教学内容的
综合理解，选择合适的教学策略表征，将小学数学知识转化为小学生理解能理解掌握的知识过程中所使用的相
关知识
[14]
。
范良火认为
MPCK
是指教师对“表达
数学概念和过程的方式”的知识，其主要包括两个相关的方面：
(1)
< br>关于“方式”是什么的知识。就是说，
在表达一特定数学概念时有多少有效或不那
么有效的方式
?
那些方式是什么？
(2
)
关于从教学的角度怎样选择方式的知识。也就是，对课堂教学来
说那些方式有些什么优点和缺点
?
学生在理解某一特定数学概
念时可能会有哪些困难
?
有什么较为容易的方式让他们理解
[15]
。
廖冬
发认为，数学教师的
PCK
是数学的学科知识、学生知识、教学
法知识和情境知识等的整合或转换，是学科知识在教学应用中的转化形式，
是随着教师不
断成长而不断丰富和发展的知识
[16]
。
显然，中国学者对
MPCK
内
涵的研究，或者与中国学科教学传统结合起来进行分析，或者从教学的角度理解学科内容知识的重要性，但都与<
/p>
特定的数学内容、教学实践紧密相联。结合已有研究与自己的思考，教师
< br>PCK
是教师关于如何将学科内容以学生易理解的方式加工、转化给学生
的知识，是随着教师不断成长而不断丰富和发展的知识。数学教师的
PC
K
则是数学的学科知识、学生知识、教学法知识和情境知识等的整合或转
换，是学科知识在教学应用中的转化形式，是随着教师不断成长而不断丰富和发展的知识。
二、
MPCK
的结构
:
国内有关
MPCK
结构的研究成果如表
1
所示。
表
1
国内有
关
MPCK
结构的研究成果
研究者
研究对象
结构
国内研究者都强调
MPCK
中的两类
知识：数学教学该如何呈现的知识、数学教学该如何解释
MPCK
视角下的小
孙
兴
华
< br>
学生遇到的误解和困难的知识；
学数学教师专业
Shulman
提出学科教学知识的两个主要成分是教师对学科知识的表征以及对学生特定的学
马云鹏
[17]
发展
习困难与概念的理解。
2005
年，
Grossman
，
< br>Schoenfeld
，＆
Lee
将学科教学知识分为两个大的方面：统领性观念
和特定知识的教与学。其中特定知识的
教与学分为：学生理解的知识、内容组织知识、教学
初中数学教师
PCK
[19
策略知识、效果反馈知识
的课堂案例研究
]
李琼等主要从四个维度来研究数学教师的
学科教学知识：学生思维特点与解题策略、诊断学
——以七年级数
[20]
生的错误概念、教师突破难点的策略与教学设计思想。
[18]
学为例
黄毅英、许世红
对数学学科教学知识的成分进行划分：数学学科知识、一般教学法知识、数
[11]
学学习的知识。
多数研究者认为
PCK
包括学科内容知识、学生理解的知识、课程知识、教学知识或教学
策略
高中数学教师学
知识。大多集中类似的概念：学科教学的观
念或取向、学科内容知识、学生对学科理解的知
科教学知识的案
识、课程知识、教学知识或教学策略知识、评价知识和背景知识；董涛指出学科教学知识的
[19]
例研究
各个成分是相互缠绕的。
周正
柳笛
廖东发
数学教师学科教
学知识结构缺陷
与完善途径的研
究——以小学数
[16]
学教师为例
数学教师的
PCK
应包含教学目的的知识（不同年级水平最
有教学价值的知识）、学生理解的
知识（知道学生对某一具体课题理解的基础，可能的理
解方式，理解的层次，理解的表现，
会发生的误解，理解是怎样发展的，关键性的认知环
节）、课程的知识（数学教学可以获得
的教材、教学媒体和材料知识，包括横向的课程知
识和纵向的课程知识）、教学策略的知识
（为达到预定效果而采取的多种教学活动的方案
）和教学情境的知识（以问题趋动教学，在
解决数学问题和数学知识应用的过程中引发出
新的情境，从而又产生出深层次的数学问题，
形成“情境一问题”学习链）。
黄毅英认为，数学教师开展常规教学应具备的知识分为三类：数学学科知
识（
MK
）、一般教
学法知识（
PK
）、有关数学学习的知识（
CK
，把学习对象——学生、学习背景、学习环境、
教
育
宗
旨
等
方
面
的
知
识
全
部
归
入
这
类
知
识
，
以
示
与
< br>前
两
类
知
识
的
不
同
）
。
李彦峰
（随着教学经验的积累，
MK
、
PK
、
CK
逐渐增大，它们的交集部分会越来越大，形成的
MPCK
[11]
就会越来越丰富。）
数学有效教学最
对于中小学数学教师而言，
MPCK
除（
MK
）、
（
PK
）、（
CK
）外，还融合了数学教育技术知识
重要的知识基础：
（
TK
）。
TK
包括
：有关计算机基本操作和相关数学教学软件操作等方面的知识。
MPCK
的课
[22]
MPCK
[21
]
堂构成
：
1
、数学教学的统领性观念：即为什么教数学（对学生今后学习和发展最有价值
的知识、教师的数学信念）、教哪些数学（数学的核心概念与过程、蕴涵在这些核心概念与
过程里的数学思想方法）。
2
、内容组织的知
识：它是关于课程的知识（特定课题在学科体
系中的地位和作用、上位知识与下位知识的
联系、新旧知识间的联系、与学生生活经验的联
系）。
3
、学生理解的知识：关于学生对特定课题如何思考的知识（学生对课题知道了什么、
可能的认知路径、学生理解的历程、学生认为课题容易或难懂、学生对课题的典型误解）。
4
、效果反馈的知识：指教师对学生的学习结果进行评测，及时调整学生
的学习，做出后续
教学决策，推动教学的持续进行。
5
、教学策略的知识：指教学活动的设计与顺序、教学内
容的呈现方式。<
/p>
MPCK
的表现形式：
1
、话题
MPCK
：教师在讲
解某一数学主题的过程中，估计学生可能遇到的
困难、错误理解，通过解释、演示、举例
、类比等教学方式，并以适合学生的数学思维与学
习特点来表征数学问题的教学知识。<
/p>
2
、课堂
MPCK
，教师将自己所掌握的数学学科知识转化
成学生易于理解的形式的知识，由数学学科知
识和教学知识通过一定的方式转化而来，将
MPCK
进行组织、
调整，并呈现在课堂教学实践中，从而表现为课堂
MPCK
。<
/p>
An
等人将“
MPCK
”定义为有效教学的知识，包含
3
个方面的内容：内容知识、课程知识、教
[24]
学知识
，并强调这
3
种知识之间的联系
Bal
l
等人认为“MPCK”主要包含了
3
< br>个领域的内容：关于内容与学生的知识（
KCS
）、关<
/p>
[25]
于内容与教学的知识（
KCT
）、关于内容与课程的知识。
景敏认为“MPCK”是把数学知
识与一般教学法知识、有关学生的知识、有关数学学习的知识
[26]
< br>等整合在一起所形成的知识，是把科学形态的数学有效地转化为教育形态的数学的知识
童莉指出
MPCK
由两核心五
成分构成：（
1
）特定数学内容与教学联合的知识：①
怎样按有
意义的顺序来组织和呈现数学内容？② 为了促进学生的理解应该提供哪种或哪
些形式的表
中学生感知的数
达方式
（解
释、
图形、
符号、
情境和操作等）
？
（
2
）
特定数学内容与学生联合的知识：
① 学
学教师
学科教学
生在特定数学内容的学习中会遇到什么困难？② 学生有哪些看法或误解？③
教师所使用
知识的结构与特
[27]
的
教学方法是怎样处理学生的困难和误解的？
[23]
点
董涛认为，数学课堂教学中的
PCK
含有
5
个构成成分：数学教学的统领
性观念、内容组织
[22]
的知识、学生理解的知识、效果反馈
的知识和教学策略的知识
李渺，宁连华认为
MPCK
是由数
学学科知识（
MK
）、一般教学法知识（
PK
）、有关数学学习
的知识（
CK
）以及教育技术知识（
TK
）融合而成
。其中，
MK
有
4
个维度（数学观念、学科内
容知识、数学思想方法以及数学史知识）；
PK
有
4
个维度（教育观
念、教育理论知识、课
程知识以及教学知识）；
CK
有
3
个维度（学生发展的知识、学
生学习的认知因素与非认知
因素知识以及学习环境的知识）；
T
K
有两个维度（有关传统教学媒体的知识以及有关现代教
[27
]
育技术的知识）
．
徐彦辉
由表
1
可知，
MPCK
包含的范围是极为广泛的。它涵盖了学科的内容、转型、表征，学生的知识、能
力与兴趣，以及教学情境等。国内研究
者倾向于将数学的内容与课程知识整合起来进行说
明，即“数学教学该如何呈现的知识”，将教学知识命名为“数学教学该如何解释学生遇到的
误解和困难的知识”。国外研究者对于
MPCK
的结构划分
倾向于三类知识：内容知识、课程知识、教学知识。
三、
MPCK
研究的现状
目前国内关于
MPCK
研究的现状如表
2
所示。
表
2
国内关于
MPCK
研究的现状
研究者、
研究对象
及研究方法
研究成
果
（
1
）初中农村教师
MPCK
有两大特点：注重直观化的表达
或解释、注重教学内容的前后联系。<
/p>
初中农村教师
（
2
）初中农村教师
MPCK
状况
所存在的问题：表达或解释
[30]
问卷调查法：话题
MPCK
、
（国培计划
方式的多样性与开放性、
教学内容前后联系的
< br>“广度”
与
“深
课堂
PCK
；将
MPCK
来源
据范
××省农村中
度”等方面需要进一步加强。
[15]
良火的研究
分为三
类；基
小学骨干教师
（
3
）初中农村教师
MPCK
来源有两个特点：本原
性和单一
[11]
于参考文献
从初中数
学两
置换脱产研修
性。其中，“自身的教学经验与自我反思”和
“教科书”是
大主要内容“数与代数”和
项目的
41
名初
初中农村教师发展
MPCK
的两个主要来源，
其次是
“
与同事
“图形与几何”中提取问题
.
中数学教师）
的日常交流”和“课堂
听课与教研活动”，接下来是“教学
参考资料”、
“网络资源”
、
“职前教育”、
“在职培训”、
“专
业书刊”和“作为学习者的经验”
.
李渺、万新才、
[29]
杨田
研究者：李琼、
倪玉菁、
萧宁波
[20]
研究对象：福州
15
所小学
32
名
小学数学专家与
非专家教师
研究方法：问卷
调查法：学科教
学知识的测量：
基于相关文献
[31]
，从学生思维<
/p>
特点与解题策
略、诊断学生的
错误概念、教师
突破难点的策略
与教学设计思想
设置任务情境题
目。学科知识的
测量：
从概念规
则以及概念规则
之间的联系、教
师的数学观设置
问题，包括分数
的概念、分数运
算以及分数相关
概念的关系。
研究者：陈燕、
[32]
陈碧芬
研究对象：具有
代表性的初中数
学教师
教学案例
研究方法：个案
研究：对个案教
师某一课题的两
次教学进行课前
访谈、课堂
观察
（文字实录）、
课后访谈
（教师<
/p>
+
学生），初步了
1
、专家教师在了解学生的思维特点、
诊断学生的错误概念
、
突破难点的策略以及在各维度的总分上显著地高于非专家
教师
。
2
、教师的学科知识与学科教学知
识存在显著的相关，对此
关系各自贡献最大的是学科知识中的知识组织与学科教学
知识中的对学生思维的了解。
教师的
PCK
通过教学实践有了一定的发展，但是
还不够理
想，具体存在以下一些问题：
1
、低估学生的数学认知水平、对学生的认识表现出片面、
对
学生的学习困难判断不准
.
2
、数学
知识：较为关注学生学习特定课题的前提性知识，
但几乎不涉及关于该课题对于学生今后
的学习与生活的作
用；比较注重文字表征，不善于用多元表征形式进行教学；
不能准确把握相关知识之间的联系与区别；
存在一些科学性
错误
.
3
、教学法知识：试
图采用新课程提倡的教学方法，但是在
实际课堂中还是采用以教师为中心的讲授式教学；
希望使用
除教材外的更多的教学资源，
但现实的教学资源不丰富、
来
源单一，
教师教学资源开发和运用的能力还不够；
形成了一
解其
PCK
现状；
再另选课题，采
< br>用同样的方法研
究，以确认第一
次教学的研究中
得到的结论．研
究中两个课题依
次为“垂直平分
线的性质
(
一
)
”
和“垂直平分线
的性质
(
二
)
”
．
材
料分析当中用到
了“
QUSA
课题”
[33]
< br>些比较有效的课堂规范，
但也有一些课堂规范阻碍了学生的
自由发展．
研究者：上海市
青浦实验研究所
（组长：
朱连云）
[34]
研究对象：为大
家所公认的青浦
区教龄
O
～
3
年的
小学数学新手教
师
PCK
中和青浦
区教龄
10
～
15
年
的小学数学名优
教师
PCK
，
两位教
师为同年级
(
三
年级
)
任课教师
研究方法：课例
研
究方法：文本
分析、录像带分
析、
参与
式观察、
深度访淡、测试
与问卷调查相结
合。课例选择：
上海市九年制义
务教育教捌数学
第六册整理与提
高单元“数学广
场——谁围的面
积最大”
[18]
研究者：周正
研究对象：上海
市
6
名公办
学校
初中数学教师，
平均教龄为
8
年，
高级教师
1
名
，
中级教师
2
名，
初级教师
3
名。
研究方法：文献
分析法（研究开
展的准备阶段，
通过研究大量文
献确定研究
方
向）、课堂观察
法、案例分析法
。
< br>1
、新手主目标、标准取向，具有学科知识“转化”教学任
务的“教育学化”能力，但缺乏针对性，缺乏对学生掌握知
识过程中障碍的正确把握，
缺乏将教学任务
“转化”
成学生
实际获得的能力；
2
、专家主学生有效学习的教学，具有良好的二次“转化”
能力，并且在实际中，专家的
二次“转化”是以交互的形式
呈现于教学过程之中，认知图式更丰富、更精致，
“具有丰
富的关于学生发展、
特点和学习规律的
图式，
能够观察到学
[35]
牛的行为
和学习上的微弱线索”
，
能及时、
正确
地捕捉到
教学的要害，辨明教学的真义，
化解教学的难点．
使学生有
效地理解知识，获得解决问题的能力。
1
、教学目的的知识：教学目
的知识对课堂教学具有引领性
作用、
教学目的知识基于对学科内
容知识的理解、
教学目的
知识，
不应仅
仅是培养学生解题技能的知识，
还应是包含对
学生情感培养的知
识；
2
、学科内容知识：教师学科内
容知识的广度、深度及其对
某一特定学科内容知识在知识体系中地位的理解，
很大程度
上影响着课堂教学；
< br>3
、效果反馈知识：效果反馈知识在课堂教学中，能有效地
建立师生之间的联系，有利于教师掌握课堂节奏。
4
、教师拥有理解学生的知识，根据学生的现有知识水平，
对教学内容进
行选择和改组，
通过适当的教学策略进行课堂
教学，这样的教学
更适应认知发展规律；
5
、教师的<
/p>
PCK
知识多来自于教学实践。