-
反三角函数
Inverse
trigonometric functions
第
1
节
反三角函数·概述
原创
/O
客
把反正弦函数
y=arc
sinx
，反余弦函数
y=arc
cosx
，反正切函数
y=arc
tanx
，反余切
函数
y=arc
cotx
统称为反三角函数。
它们都
是三角函数的反函数。
严格地说，
准确地说，
< br>它们是三角函数在某个单调区间上
的反函数。
以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。
●反正弦的值域
先从反正弦函数的原函数正弦函数说起。
正弦函数
y=sinx
在定义域
R
上没有反函数。
因为它在定义域
R
上不单调，
是分段单调。
从逆向映射来看，
正弦函数
y=sinx
的每一个函数值
y
，对应着无数个自变量
x
的值。当我
们从
y=sinx
中解出
x
后，
x
与
y
不能构成函数关系，所以不存在反函数。
但是，当我们取正弦函数
y=sinx
的一个单
调区间，如
[-
π
/2,
π
/2]
。这时，每一个函
数值
y
，对应着唯一的一个自变量
x<
/p>
的值。当我们从
y=sinx
中解出
x
后，
x
与
y
构成函数
关系，
所以存在反函数。
记为
y=arc
s
inx
。
把原函数
y=sinx,x<
/p>
∈
[-
π
/2,
π
/2]
的值域
[-1,1],
叫做反函数
y=arc sinx
的定义域。并把原函数
y=sinx,x
∈
[-
π
/2,
π
/2]
的定义域
[-
π
/2,
π
/2],
叫做反函数
y=arc
sinx
的值域。
●请参考我的三角函数
salon
第
2
节
反三角函数·理解与转化
原创
/O
客
以反正弦函数为例，其他反三角函数同理可推。
●符号理解
初学反三角函数者往往被它那长长的字符串所迷惑，很不习惯。
一方面，
arc
sinx
这七个字母是一个整体，缺一不可。
另一方面，符号
arc
sinx
可以用下面的三句话来理解：
①它是一个角。即一个实数。
arc sinx
∈
R
.
②这个角在
-
π
/2
到π
/2
之间
(
含端点
)
。
-
π
/2
≤
arc sin
x
≤π
/2
。
③这个角的正弦值等于
x
。
sin(arc sinx)=x.
●互化
反三角函数问题往往要转化为
三角函数问题，
因为后者拥有数十个公式资源，
使你解决
问题时如虎添翼。
有互化公式（充要条件）如图。
α
=arc sinx
x=sin
α
π
π
|x|
≤
1
-
≤α≤
2
2
●请参考我的三角函数
salon
第
3
节
反正弦函数的图象和性质
原创
/O
客
函数名称
解析式
图象
1.
定义域
2.
值域
3.
有界性
4.
最值
反正弦函数
y=arc
sinx
反正弦曲线（图
3
）
[-1,1]
[-
π/2
,
π/2
]
|y|
≤π/2
x=1
时，
y
max=
π/2
x=-1
时，
y
min=-
π/2
5.
单调性
6.
奇偶性
7.
周期性
增函数
奇函数
.
无
8.
对称性
9.
反函数
关于原点对称
y=arc sinx
，
x
∈
[-<
/p>
π/2
,
π/2
]
10.
与反余弦的关系
arc
sinx+arc cosx=
π/2
●请参考我的三角函数
salon
第
4
节
反余弦函数的图象和性质
原创
/O
客
函数名称
解析式
图象
1.
定义域
2.
值域
3.
有界性
4.
最值
反余弦函数
y=arc
cosx
反余弦曲线（如图）
[-1,1]
[0,
π
]
0
≤
y
≤π
x=-1
时，
y
max=
π
x=1
时，
y min=0
5.
单调性
6.
奇偶性
7.
周期性
减函数
非奇非偶函数
无
8.
对称性
对称中心
(0,
π/2
)
9.
反函数
y=cosx, x
∈
[0,
π
]
10.
与反正弦的关系
arc sinx+arc
cosx=
π/2
●请参考我的三角函数
salon
y
π
函数名称
解析式
图象
第
5
节
反正切函数的图象和性质
原创
/O
客
反正切函数
y=arc
tanx
y=arc cosx
π
2
反正切曲线（如图）
-1
O
1
x
-
-
-
-
-
-
-
-
-
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