-
中考压轴题精选典型例题讲解
二次函数
-
因动点产生的等腰三角形问题
例
1
、
如图
1
，在
Rt<
/p>
△
ABC
中，∠
A
＝
90
°，
AB
＝
6
，
A
C
＝
8
，点
D
为边
BC
的中点，
DE
⊥
BC
交
边
AC
于点
E
，点
P
为射线
AB
上的一动点，点
Q
为边
AC<
/p>
上的一动点，且∠
PDQ
＝
90
°．
（
1
）求
ED
、
EC
的长；
（
2
）若
BP
＝
2
，求
CQ
的长；
（
3
）记线段
PQ
与线段
DE
的
交点为
F
，若△
PDF
为等腰三角形，求
BP
的长．
图
1
备用图
思路点拨
1
．第（
2
）题
BP
＝
2
分两种情况．
2
．解第（
2
）题时，画准
确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．
3<
/p>
．第（
3
）题探求等腰三角形
时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角
形
CDQ
．
满分解答
（
1
）在
Rt
△
ABC
中，
AB
＝
< br>6
，
AC
＝
8
，所以
BC
＝
< br>10
．
在
Rt
△
CDE
中，
CD
＝
5
，所以
ED
?
CD
?
tan
?
C
?
5
?
3
15
25
．
?
< br>，
EC
?
4
4
4
（
2
）如图
2
，过点
D
作
DM
⊥
AB
，
DN
⊥
AC
，垂足分别为
M
、
N
，那么
DM
、
DN
是
△
ABC
的两条中位线，
DM
＝
4
，
DN
＝
3
．
由∠
PD
Q
＝
90
°，∠
MDN
＝
90
°，可得∠
PDM
＝∠
QDN
．
因此△
PDM
∽
△
QDN
．
所以
3
4
PM
DM
4
?
?
．
所以
QN
?
PM
，
PM
?
QN
．
QN
DN
3
4
3
图
2
图
3
图
4
第
1
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共
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页
中考压轴题精选典型例题讲解
①如图
3
，当
BP
＝
2
，
P
在
BM
上时，
PM
＝
1
．
此时<
/p>
QN
?
3
3
3
19
PM
?
．所以
CQ
?
CN
?
QN
?
4<
/p>
?
?
．
4
4
4
4
②如图
4
，当
BP
＝
2
，
P
在
MB
的延长线上时，
P
M
＝
5
．
<
/p>
3
15
15
31
PM
?
．所以
CQ
?
CN
?
QN
?
4
?
?
．
4
4
4
4
QD
DN
3
（
3
）如图
5
，如图
2
，在<
/p>
Rt
△
PDQ
中
，
tan
?
QPD
?
?
?
．
PD
DM
4
B
A
3
在
Rt
△
ABC
中，
tan
?
C
?
?
．所以∠
QPD
＝∠
C
．
CA
4
< br>此时
QN
?
由∠
PDQ
＝
90
°，∠
CDE
＝
90
°，可得
∠
PDF
＝∠
CDQ
< br>．
因此△
PDF
∽△
CDQ
．
当△
PDF
是等腰三角形时，△
< br>CDQ
也是等腰三角形．
①如
图
5
，当
CQ
＝
CD
＝
5
时
，
QN
＝
CQ
－
CN
＝
5
－
4
＝
1
（如图
3
所示）
．
此时
PM
?
4
4
4
5
QN<
/p>
?
．所以
BP
?
BM
?
PM
?
3
?
?
．
3
3
3
3
5
4
25
CH
，可得
CQ
?
?
?
．
CQ
2
5
8
②如图
6
，当
QC
＝
QD
时，由
cos<
/p>
C
?
所以
QN<
/p>
＝
CN
－
CQ<
/p>
＝
4
?
此时
PM
?
25
7
．
?
（如图
2
所示）
8
8
4
7
7
25
．
QN
?
．所以
BP
?
BM
?
PM
?
3
?
?
3
6
6
6
③不存在
DP
＝
DF
的情况．这是因为∠
< br>DFP
≥∠
DQP
＞∠
DPQ
（如图
5
，图<
/p>
6
所示）
．
图
5
图
6
考点伸展
如图
6
，当△
CDQ
是等腰三角形时，根
据等角的余角相等，可以得到△
BDP
也是等腰三
角形，
PB
＝
PD
．在△
BDP
中可以直接求解
< br>BP
?
第
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25
．
6
中考压轴题精选典型例题讲解
例
2
、
如图
1
，抛物线
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
经过
A
(
－
1,0)
、
B
(3,
0)
、
C
(0
,3)
三点，直线
l
< br>是抛
物线的对称轴．
（
1
）求抛物线的函数关系式；
（
2
）设点
P
是直线
l
上的一个动点，当△
PAC
的周长最小时，求点
P
的坐标
；
（
3
）<
/p>
在直线
l
上是否存在点
< br>M
，
使△
MAC
为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条
件的点
M
的坐标；若不存在，请说明理由．
2
图
1
思路点拨
1
．第（
2
）题是典型的“牛喝水”问题，点
P
在线段
BC
上时△
PAC
的周长最小．
2<
/p>
．第（
3
）题分三种情况列方程讨论等腰
三角形的存在性．
满分解答
（
1
）因为抛物线与
x
轴交于
A
(
－
1,0)
、
B
(3, 0)
两点，设
y
＝
a
(
x
＋
1)(
x
－
3)
，
代入点
C
(0 ,3)
，得－
3
a
＝
3
．解得
a
＝－
1
．
所以抛物线的函数关
系式是
y
＝－
(
x
＋
1)(
x
－
3)
＝－
x
＋
2
x
＋
3
．
（
2
）如图
2
，抛物线的对称轴是直线
x
＝
1
．
当点
P
落在线段
BC
上时，
PA
＋
PC
最小，△
PAC
的周长最小．
设抛物线的对称轴与
x
轴的交点为
H
．
由
2
BH
PH
，
BO
＝
CO
，得
PH
＝
BH
＝
2
．
?
BO
CO
所以点
P
的坐标为
(1,
2)
．
图
2
（
3
）点
M<
/p>
的坐标为
(1, 1)
、
(1,
6
)
、
(1,
?
6
)
或
(1,0)
．
考点伸展
第（
3
）题的解题过程是这样的：
第
3
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中考压轴题精选典型例题讲解
设点<
/p>
M
的坐标为
(1,
m
)
．
在
△
MAC
中，
AC
＝
10
，
MC
＝
1
＋
(
m
－
3)
，
M
A
＝
4
＋
m<
/p>
．
①如图
3<
/p>
，当
MA
＝
MC
时，
MA
＝
M
C
．解方程
4
＋
m
＝
1
＋
(
m
－
3)
，得
m
＝
1
．
此时点
M
的坐标
为
(1, 1)
．
< br>②如图
4
，当
AM
＝
AC
时，
AM
＝
AC
．解方程
4
＋
m
＝
10
，得
m
?
?
6
．
此时点
M
的坐标为
(1,
6
)
或
(1,
?
6
)
．
③如图
5
，当
CM
＝
CA
时，
CM<
/p>
＝
CA
．解方程
1
＋
(
m
－<
/p>
3)
＝
10
，得
m
＝
0
或
6
．
当
M
(1, 6)
时，
M
、
A
、
C
三点共线，所以此时符合条件的点
M
的坐标为
(1,0)
．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
图
3
图
4
图
5
第
4
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页
中考压轴题精选典型例题讲解
例
3
、
如图
1
，点
A
在
x
轴上，
OA
＝
4
，将线段
OA
绕点
O
顺时针旋转
120
°至
OB
的位置．
（
1
）求点
B
的坐标；
（
2
）求经过<
/p>
A
、
O
、
B
的抛物线的解析式；
（
3
）在此抛物线的对称轴上，是否存在点
P
，使得以点
P
、
O
、
B
为顶点的三角形是
等
腰三角形？若存在，求点
P
的坐标；
若不存在，请说明理由．
图
1
思路点拨
1
．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的
距离
公式列方程；然后解方程并检验．
2
．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点
P
重合在一起．
满分解答
（
1
）如图
2
，过点
B
作
BC
⊥
y
轴，垂足为
C
< br>．
在
Rt
△
OBC
中，∠
BOC
＝
30
°，
OB
＝
4
，所以
BC
＝
2
，
OC
?
2
3
．
所以点
B
的坐标为
(
?
2,
?
2
3)
．
（
2
）因为抛物线与
x<
/p>
轴交于
O
、
A<
/p>
(4, 0)
，设抛物线的解析式为
y<
/p>
＝
ax
(
x
－
4)
，
代入点
B
(
?
2,
?
2
3)
，
?
2
3
?
?
2
a
?
(
?
6)
< br>．解得
a
?
?
< br>3
．
6
3
3
2
2
3
所以抛物线的解析式为
y
?
?
x
(
x
?
4)
?
?
< br>x
?
x
．
6
6
3
（
3
）抛物线的对称轴是直线
x
＝
2
，设点
P
的坐标为
(2,
y
)
．
①当
OP
＝
OB<
/p>
＝
4
时，
OP<
/p>
＝
16
．所以
4
+
y
＝
16
．
解得
y
?
?
2
3
．
当
P
在
(2,
2
3)
时，
B
、
O
、
P
三点共线（
如图
2
）
．
②当
BP
＝
B
O
＝
4
时，
B
P
＝
16
．所以
4
2
?
(
y
?
2
3)
2<
/p>
?
16
．解得
y
1
?
y
2
?
?
2
3
．
③当
PB
＝
PO
时，
PB
＝
PO
．所以
4
2
?
(
y
?
2
3)
2
?
2
2
?
y
2
．解得
y
?
?
2
3
．
2
2
2
2
2
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中考压轴题精选典型例题讲解
综合①
、②、③，点
P
的坐标为
(2,
?
2
3)
，如图
2
所示．
图
2
图
3
考点伸展
如图
3
，
在本题中，
设抛物线的顶点为<
/p>
D
，
那么△
DO
A
与△
OAB
是两个相似的等腰三角形
．
3
3
2<
/p>
3
2
3
，得抛物
线的顶点为
D
(2,
x
(
x
?
4)
< br>?
?
(
x
?
2)
2
?
)
．
6
6<
/p>
3
3
2
3
因此
tan
?
DOA
?
．所以∠
DOA
＝
30
°，∠
ODA
＝
120
°．
3
由
y
?
?
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中考压轴题精选典型例题讲解
例
4
、
如图
1
，
已知一次函数
y
＝
－
x
＋
7
与正
比例函数
y
?
于点
B
．
（
1
）求点
A
和点
B
的坐标；
（
2
）
过点
A
作
AC
⊥
y
轴于点
C
，
过点
B
作直线
l
//
y
轴．
动
点
P
从点
O
出发，以每秒
1
个单位长的速度，沿
O
—
C
—
A
的路线
向点
A
运动；同时直线
l
从点
B
出发，以相同速度
向
左平移，
在平移过程中，
直线
l
交
x
轴于点
R
，
交线段
BA
或线段
AO
于点
Q
．
当点
P
到达点
A
时，
点
P
和
直线
l
都停
止运动．在运动过程中，设
动点
P
运动的时间为
t
秒．
①当
t
为何值时，以
A
、
P
、
R
为顶点的三角形的面积为
< br>8
？
②是否存在以
A
、
P
、
Q
为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求
t
的值；若不存在，
请说明理由．
图
1
思路点拨
1
．把图
1
复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．
2
．求△
APR
的面积等于
8
，按照点
P
的位置分两种情况讨论．事实上，
P
在
CA
上运动
时，高是定值
4
，最大面积为
6
，
因此不存在面积为
8
的可能．
3
．讨论等腰三角形
APQ
< br>，按照点
P
的位置分两种情况讨论，点
< br>P
的每一种位置又要讨
论三种情况．
满分解答
4
x
的图象
交于点
A
，
且与
x
轴交
3
?
y
?
?
x
?<
/p>
7,
?
x
?
3,
所以点
A<
/p>
的坐标是
(3
，
4)
．
（
1
）解方程组
?
得
?
4
?
y
?
x
,
?<
/p>
y
?
4.
?
3
?
令
y
?
?
x
?
7
?
0
，得
x
?
7
．所以点
B
的坐标是
(7
，
0)
．
（
2
）①如图
2
，当
P
在
OC
上运动时，
0
≤
t
＜
4
．由
S
△
APR
?
S
梯形
CORA
?
S
△<
/p>
ACP
?
S
△<
/p>
，
POR
?
8<
/p>
1
1
1
得
（
3+7
?
t
)
?
4
?
?
4
?
(4
?
t
)
?
< br>?
t
(7
?
t
)
?
8
．整理，得
t
2
?
8
t
?
12
?
0
．解得
t
＝
2
或
t
＝
6
2
2
2
（舍去）
．如图
3
，当
P
在
CA
上运动时，△
APR
的最大面积为
6<
/p>
．
因此，当
t
＝
2
时，以
A
、
P
、
R
为顶点的三角形的面积为
8
．
第
7
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