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2019-2020
年中考数学压轴题精选二
ABCD
中，
AB=2
，∠
A=60
°，以点
D
为圆心的⊙D 与边
AB
相切于点
E
．
1
、如图，在菱形
（
1
）求证：⊙D 与边
BC
也相切；
（
2
）设⊙D
与
BD
相交于点
H
，与边
CD
相交于点
F
，连接
HF
，求图中
阴影部分的面积（结果保留
π
）；
（
3
）⊙D
上一动点
M
从点
F
出发，按逆时针方向运动半周，当
S
△
HDF
=
S
△
MDF
时
，求动点
M
经过的弧长（结果保留
π ）．
思路点拨
：
（
1
）过
D
作
DQ
⊥
BC
于
Q
，连接
DE
，根据切线性质得出⊥
AB
，根据菱形性质求出
平分∠
ABC
，根据角平分线性质得出
的半径长，得出等边三角形
DE=DQ
，根据切线判定推出即可；
BD
（
2
）根据菱形性质和等边三角形判定得出等边三角形
的面积和扇形
FDH
的面积，相减即可得出答案；
ADB
，求出
DE
值，即可得出圆
DCB
和等边三角形
DHF
，求出△
DFH
的高
FN
，求出△
DFH
（
3
）根据△
FDH
的面积和已知求出△
MDF
边
DF
上的高
MZ
，求出∠
MDF
，同理得出另
满分解答
：
一点
M
′也符合，且圆心角是
150
°，根据弧长公式求出即可．
（
1
）证明：
过
D
作
DQ
⊥
BC
于
Q
，连接
DE
，
∵⊙D
切
AB
于
E
，
∴
DE
⊥
AB
，
∵四边形
ABCD
是菱形，
∴
BD
平分∠
ABC
，
∴
DE=DQ
（角平分线性质）
，
∵
DQ<
/p>
⊥
BC
，
∴⊙D
与边
BC
也相切；
（
2
）解：过
F
作
FN
⊥
DH
于
N
，
∵四边形
ABCD
是菱形，
∴
AD=AB=2
，
∵∠
A=60
°，
∴△
ABD
是等边三角形，
∴∠
DBA=60
°，
DC
∥
AB
，
AD=BD=AB=2
∵
DE
⊥
AB
，
∴
A
E=BE=
，
由勾股定理得：
DE=3=DH=DF
，
∵四边形
ABCD
是菱形，
∴∠
C=
∠
A=60
°，
DC=BC
，
∴△
DCB
是等边三角形，
∴∠
CDB=60
°，
∵
DF=DH
，
∴△
DFH
是等边三角形，
∵
FN
⊥<
/p>
DH
，∴
DN=NH=
< br>，
由勾股定理得：
FN=
，
﹣×
3
×
=
π﹣
；
∴S
阴影
=S
扇形
FDH
﹣
S
△
FDH
=
（
3
）解：过
M
作
MZ
⊥
DF
于
Z
，
∵由（
2
）知：
S
△
HDF
=
×
3
×
=
，
DF=3
，
又∵S
△
HDF
=
S
△
DFM
，
∴
=
××
3
×
MZ
，
∴
MZ=
，
在
Rt
△<
/p>
DMZ
中，
sin
∠
MDZ=
=
，
∴∠
MDZ=30
°，
同理还有另一点
M
′也符合，此时
MM
′∥
CD
，∠
M
′
DC=180
°﹣
∴弧
MC
的长是
=
π
；
弧
CM
′的长是
=
π
；
答：动点
M
经过的弧长
π
或
π ．
是
30
°
=150
°，
点评：
本题考查的知识点是三角形的
面积，等边三角形的性质和判定，勾股定理，菱形的性
质，扇
形的面积，锐角三角函数的定义，弧长公式等，主要考查学生综合运用性质进
行推理和计
算的能力，题目综合性比较强，难度偏大．
2
、如图
1
，抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
经过
A
(
－
1,0)
、
B
(3, 0)
、
C
(0 ,3)
三点，直线
l
是抛物线的对
称轴．
（
1
）求抛物线的函数关系式；
（
2
）设点
P
是直线
l
上的一个动点，当△
PAC
的周长最小时，求点
P
的坐标；
（
3
）在直线
l
上是否存在点
M
，使△
M
AC
为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条
件的点
M
的坐标；若不存在，请说明理由．
图
1
思路点拨
1
．第（
2
）题是典型的“牛喝水”问题，点
P
在线段
BC
上时△
PAC
的周长最小．
2
．第（
3
）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．
满分解答
（
1
）因为抛物线与
x
轴交于
A
(
－
1,0)
、
B
(3,
0)
两点，设
y
＝
a
(
x
＋
1)(
x
－
3)
，
代入点
C
(0 ,3)
，得－
3
a
＝
3
．解得
a
＝－
1
．
所以抛物线的函数关系式是
3
．
y
＝－
(
x
＋
1)(
x
－
3)
＝－
x
2
＋
2
x
＋
（
2
）如图
2
，抛物线的对称轴是直线
设抛物线的对称轴与
x
轴的交点为
H
．
由
BH
x
＝
1
．
当点
P
落在线段
BC
上时，
PA
＋
PC
最小，△
PAC
的周长最小．
PH
CO
，
BO
＝
CO
，得
PH
＝
BH
＝
2
．
BO
所以点
P
的坐标为
(1, 2)
．
图
2
)
或
(1,0)
．
（
3
）点
的坐标为
(1, 1)
、
(1,
)
、
(1,
M
6
6
考点伸展
第（
3
）题的解题过程是这样的：
设点
M
的坐标为
(1,
m
)
．
在△
MAC
中，
AC
＝
10
，
MC
＝
1
＋
(
m
－
3)
，
MA
＝
4
＋
m
．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
，当
MA
＝
MC
时，
MA
＝
MC
．解方程
4
＋
m
＝
1
＋
(
m
－
①如图
3)
此时点
的坐标为
(1, 1)
．
，得
m
＝
1
．
M
2
2
2
②如图
4
，当
AM
＝
AC
时，
AM
＝
AC
．解方程
4
＋
m
＝
10
，得
m
6
．
此时点
M
的坐标为
(1,
6
)
或
(1,
2
2
6
)
．
2
3
、如图
③如图
5
，当
CM
＝
CA
时，
CM
＝
CA
．解方程
1
＋
(
m
－
3)
＝
10
，得
m
＝
0
或
6
．
当
M
(1,
6)
时，
M
、
A
、
C
三点共线，所以此时符合条件的点
M
的坐标为
(1,0)
．
图
3
图
4
图
5
，已知一次函数
y
＝－
x
＋
7
与正比例函数
y
4
x
的图象交于点
A
，且与
x
轴交于
3
点
B
．
（
1
）求点
A
和点
B
的坐标；
（
2
）过点
A
作
AC
⊥
y
轴于点
C
，过点
B
作直线
l
//
y
轴．动
点
P
从点
O
出发，以每秒
1
个单位长的速度，沿
O
—
C
—
A
的
路线向点
A
运动；同时直线
l
从点
B
出发，以相同速度向左
平移，在平移过程中，直线
l
交
x
轴于点
R
，交线段
BA
或线
段
于点
．当点
Q
P
到达点
A
时，点
P
和直线
l
都停止运
AO
动．在运动过程中，设动点
P
运动的时间为
t
秒．
①当
t
为何值时，以
、
、
为顶点的三角形的面积为
8
？
A P R
②是否存在以
A
、
P
、
Q
为顶点的三角形是等腰三角形？
图
1
若存在，求
t
的值；若不存在，请说明理由．
思路点拨
1
．把图
1
复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．
P
在
CA
上运
2
．求△
APR
的面积等于
8
，按照点
P
的位置分两种情况讨论．事实上，
动
时，高是定值
4
，最大面积为
6
，因此不存在面积为
8
的可能．
3
．讨论等腰三角形
，按照点
P
的位置分两种情况讨论，点
的每一种位置又要讨
论三种情况．
APQ
P
满分解答
（
1
）解方程组
y
x
7,
3,
得
x
所以点
A
的坐标是
(3
，
4)
．
4
y
x,
y
4.
3
令
yx 7
0
，得
x
7
．所以点
B
的坐标是
(7
，
0)
．
1
（
2
）①如图
2
，当
P
在
OC
上运动时，
0
≤
t
＜
4
．由
S
△
APR
得
S
梯形
CORA
S
△
ACP
S
△
POR
8
，
1
2
1
2
（
3+7 t) 4
4 (4
t)
1
2
t(7 t)
2
8
．整理，得
t
8t 12 0
．解得
t
＝
2
或
t
＝
6
（舍去）．如图
3
，当
P
在
CA
上运动时，△
APR
的最大面积为
6
．
因此，当
t
＝
2
时，以
A
、
P
、
R
为顶
点的三角形的面积为
8
．
图
2
图
3
图
4
②我们先讨论
P
在
OC
上运动时的情形，
0
≤
t
＜
4
．
如图
1
，在△
中，∠
＝
45
°，∠
＞
45
°，
，所以
＞
．因
＝
7
，
AB
4 2
B
AOB
OB AB
AOB
OB
此∠
OAB
＞∠
AOB
＞∠
B
．
如图
4
，点
P
由
O
向
C
运动的过程中，
OP
＝
BR
＝
RQ
，所以
PQ
//
x
轴．
此时点
A
在
PQ
的垂直平分线上，
OR
＝
2
CA
＝
6
．所以
BR
＝
1
，
t
＝
1
．
P
在
CA
上运动时的情
我们再来讨论
形，
4
≤
t
＜
7
．
在△
APQ
中，
cos
A
3
为定值，
AP
7
t
，
AQ
OA
OQ
OA
OR
5
3
5
5
t
20
．
3
3
如图
5
，当
AP
＝
AQ
时
，解方程
7
t
，得
t
41
．
5
t
3
8
3
如图
6
，当
QP
＝
QA
时，点
Q
在
PA
的垂直平分线上，
AP
＝
2(
OR
－
OP
)
．解方程
20
7
t 2[(7 t )
(t 4)
，得
]
t 5
．
1
如
7
，
当
PA
＝
PQ
时
，
那
么
2
AQ
．
因
此
．
解
方
程
cos
A
5
t
20
3
3
2(7 t)
3
5
，得
t
226
．
43
或
5
或
AP
A Q
2 A P c o s
A
综上所述，
＝
1
或
41
8
226
时，△
是等腰三角形．
t
43
APQ
图
5
图
6
图
7
考点伸展
当
P
在
CA
上，
QP
＝
QA
时，也可以用
AP 2AQ cos
A
来求解．
3
、如图
1
，抛物线
y
轴交于点
，连结
C
1
x
2
4
BC
3
y
BC
，以
为一边，点
x 4
与
x
轴交于
A
、
B
两点（点
B
在点
A
的右侧），与
2
O
为对称中心作菱形
BDEC
，点
是
轴上的一个
P
x
动点，设点
P
的坐标为
(
m
,
0)
，过点
P
作
x
轴的垂线
l
交抛物线于点
Q
．
（
1
）求点
A
、
B
、
C
的坐标；
（
2
）当点
P
在线段
OB
上运动时，
直线
l
分别交
BD
、
BC
于点
M
、
N
．试探究
m
为何值时，
四边形
CQMD
是平行四边形，此
时，请判断四边形
CQBM
的形状，并说明理由；
上运动时，是否存在点
P
EB
直接写出点
Q
的坐标；若不存在，请说明理由．
（
3
）当点
在线段
，使△
为直角三角形，若存在，请
Q
BDQ
图
1
思路点拨
1
．第（
2
）题先用含
m
的式子表示线段
MQ
的长，再根据
MQ
＝
DC
列方程．
2
．第（
2
）题要判断四边形
准确的示意图，先得到结论．
3
．第（
3
）题△
BDQ
为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线
可以构造相似三角形．
CQBM
的形状，最直接的方法就是根据求得的
m
的值画一个
满分解答
（
1
）由
y
1
x
2
4
（
2
）直线
DB
的解析式为
y
3
x
4
(x 2)(x
2
4
1
2
，可得
1
8)
，得
A
(
－
2,0)
，
B
(8,0)
，
C
(0,
－
4)
．
x 4
．
由点
P
的坐标为
(
m
, 0)
M (m,
所以
MQ
＝
(
m 4) (
m
m 4)
1
m
2
m 8
．
2
4
2
4
当
MQ
＝
DC
＝
8
时，四边形
CQMD
是平行四边形．
解方程
1
1
2
3
1 m
4)
，
Q( m,
1
2
4
m
2
3
m
2
4)
．
m
2
m
8
8
，得
m
＝
4
，或
m
＝
0
（舍去）．
1
4
此时点
P
是
OB
的中点，
N
是
BC
的中点，
N
(4,
－
2)
，
Q
(4,
－
6)
．
所以
所以四边形
CQBM
是平行四边形．
MN NQ
＝
＝
4
．所以
BC
MQ
与
互相平分．
图
2
（
3
）存在两个符合题意的点
图
3
Q
，分别是
(
－
2,0)
，
(6,
－
4)
．
考点伸展
Q
的坐标为
第（
3
）题可以这样解：设点
1
(
x 2)( x
( x,
8))
．
4
BH
HD
①如图
3
，当∠
DBQ
＝
90
°时，
QG
GB
(x 2)(x
．所以
4
8 x
2
1
1
8)
1
．
2
解得
x
＝
6
．此时
Q
(6,
－
4)
．
4
2
．所以
1
②如图
4
，当∠
＝
90
°时，
QG
BDQ
GD
DH
HB
( x 2)(x
8)
4
．
2
x
解得
x
＝－
2
．此时
Q
(
－
2,0)
．
图
3
图
4
4<
/p>
、为表彰在“缔造完美教室”活动中表现积极的同学，老师决定购买文具盒与钢笔作为
奖品．已知
5
个文具盒、
2
支钢笔共需
100
元；
4
个文具盒、
7
支钢笔共需
161
元．（
1
）
每个文具盒、每支钢笔各多少元？
（
2
）时逢“五一”，商店举行优惠促销活动，具体办法如下：文具盒九折，钢笔
超出部分八折．设买
关系式；
（
3
）若购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过
考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用。
专题：优选方案问题。
10
件，请分析买哪种奖品省钱．
10
支以上
x
个文具盒需要
y
1
元，买
x
支钢笔需要
y
2
元，求
y
1
、
y
2
关于
x
的函数
分析：（
1
）设每个文具盒
x
元、每支钢笔
y
元，然后根据花费
100
元与
161
元分别列出方
程组成方程组，解二元一次方程组即可；
（
2
）根据促销方法对文具盒列出函数关系式，对钢笔分
x
≤
10
与
x
＞
10
两种情况列出函数
关系式；
（
3
）求出
买两种奖品花钱相同时的件数，然后根据一次函数的性质讨论求
解．解答：解：（
1
）设每个文具盒
x
元、每支钢笔
y
元，
根据题意得，
，
解得
，
14
元，
15
元；
故，每个文具盒、每支钢笔各
（
2
）根据题意，
y
1
=0.9
×
14x=12.6x
，
当
x
≤
10
时，
y
2
=
15x
，
当
x
＞
10
时，
y
2
=
15
×
10+
（
x
﹣
10
）×
15
×
0.8=150+12x
﹣
120=12x+30
；
（
3
）当买两种奖品花钱相同时，
12.6x=12x+30
，
解得
x=50
，
所以，①当所买奖品小于
②当所买奖品等于
③当所买奖品大于
50
件时，买文具盒更节省，
50
件时，买文具盒与钢笔都一样，
50
件时，买钢笔更节省．
点评：本题考查的是用一次函数解决实际问题，二元一次方程组的应用，本题根据题意列出
二元一次方程组求出文具盒与钢笔的单价是解题的关键．
5
、如图
1
，直线
y
4
x
x
y
B C
A
-2
0
、
，点
的坐标是（
，
）．
轴、
轴的交点分别为
3
4
和
（
1
）试说明△
ABC
是等腰三角形；
（
2
）动点
M
从
A
出发沿
x
轴向点
B
运动，同时动点
N
从点
B
出发沿线段
BC
向点
C
运动，
运动的速度均为每秒
1
个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设
M
运动
t
秒时，△
MON
的面积为
S
．
①
求
S
与
t
的函数关系式；
②
设点
在线段
上运动时，是否存在
＝
4
的情形？若存在，求出对应的
值；若
M
不存在请说明理由；
OB
S
MON
为直角三角形时，求
t
的值．
t
③在运动过程中，当△
图
1
思路点拨
1
．第（
1
）题说明△
ABC
是等腰三角形，暗示了两个动点
点．
M
、
N
同时出发，同时到达终
2
．不论
M
在
AO
上还是在
OB
上，用含有
t
的式子表示
OM
边上的高都是相同的，
用含有
t
的式子表示
OM
要分类讨论．
3
．将
S
＝
4
代入对应的函数解析式，解关于
t
的方程．
4
．分类讨论△
MON
为直角三角形，不存在∠
ONM
＝
90
°的可能．
满分解答
（
1
）直线
y
4
x 4
与
x
轴的交点为
B
（
3
，
0
）、与
y
轴的交点
C
（
0
，
4
）．
3
Rt
△
BOC
中，
OB
＝
3
，
OC
＝
4
，所以
BC
＝
5
．
点
A
的坐标是（
-2
，
0
），所以
BA
＝
5
．因
此
BC
＝
BA
，所以△
ABC
是等腰三角形．
（
2
）①如图
2
，图
3
，过点
N
作
NH
⊥
AB
，垂足为
H
．
在
Rt
△
BNH
中，
BN
＝
t
，
sin B
4
，所以
NH
4
5
t
．
5
如图
2
，当
M
在
AO
上时，
OM
＝
2
－
t
，此
时
S
1 OM NH
2
1
(2 t )
2
4 t
5
t
2
2
5
4
t
．定义域为
0
＜
t
≤
2
．
5
如图
3
，当
M
在
OB
上时，
OM
＝
t
－
2
，此
时
S
1 OM NH
2
1
(t 2)
2
4
t
2
t
2
5
5
4
t
．定义域为
2
＜
t
≤
5
．
5
图
2
t
图
3
t 4
．
②把
＝
4
代入
S
2
S
2
5
4
t
，得
2
t
2
4
5
5
5
解得
t
1
2
11
，
t
2
2
11
（舍去负值）．
因此，当点
M
在线段
OB
上运动时，存在
S
＝
4
的情形，此时
t
2
11
．
3
5
③如图
4
，当∠
OMN
＝
90
°时，在
Rt
△
BNM
中，
BN
＝
t
，
BM
5
t
，
cos B
所以
，
5 t
t
3
．解得
t
25
．
5
8
如图
5
，当∠
OMN
＝
90
°时，
N
与
C
重合，
t
5
．
不存在∠
ONM
＝
90
°的可能．
所以，当
t
25
8
或者
t
5
时，△
MON
为直角三角形．
图
4
图
5
考点伸展
在本题情景下，如果△
MON
的边与
AC
平行，求
t
的值．
如图
6
，当
ON
//
AC
时，
t
＝
3
；如图
7
，当
MN
//
AC
时，
t
＝
2.5
．
图
6
图
7
6
、如图
1
，已知抛物线
y
＝－
x
2
＋
bx
＋
c
经过
A
(0,
1)
、
B
(4, 3)
两点．
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）求
tan
∠
ABO
的值；
（
3
）过点
作
⊥
轴，垂足为
，在对称轴的左侧且平行于
轴的直线交线段
B
BC x
C
y
MNCB
为平行四边形，求
点
N
，交抛物线于点
M
，若四边形
点
M
的坐标．
图
1
思路点拨
1
．第（
2
）题求∠
ABO
的正切值，要构造包含锐角∠
ABO
的角直角三角形．
2
．第（
3
）题解方程
MN
< br>＝
y
M
－
y
N
＝
BC
，并且检验
x
的值是否在对称轴左侧．
满分解答
（
1
）将
A
(0, 1)
、
B
(4,
3)
分别代入
y
＝－
x
2
＋
bx
＋
c
，得
AB
于