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一题多解教学案例：五种方法证明
2
是无理数<
/p>
古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“大自然的一切皆为
整数之比”
的思想统治了古希腊数学相当长的一段时间，
许多几
何命题都是根据这一点来证
明的。当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表
示为整数之比”，
“万物皆数”
的思想是古希腊数学发展的奠基
。
直到有一天，
毕达哥拉斯的学生
Hi
ppasus
告诉他，单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。被人们
公认的假设被推翻了，
大半命题得证的前提被认定是错的，
古希腊时代的数学大
厦轰然倒塌，数学陷入了历史上的第一次危机。最后，
Eudoxus
的出现奇迹般
地解决了
这次危机。
今天我们要看的是，
为什么单位正方形的对角线长度
不能表
示为两个整数之比。
单位正方形的对角线长度怎么算呢？从上面的这个图中我们可以看到，
如果
小正方形的面积是
1
的话，
大正方形的面积就是
2
。
于是单位正方形的对角线是
面积为
2
的正方形的边长。换句话说，
Hippasus
认为不可能存
在某个整数与整
数之比，它的平方等于
2
。
中学课程中安排了一段反证法。
当时有个题目叫我们证根号
2
是无理数，
当
时很多人打死了也想不明白这个怎么可能证得到，
这种感觉
正如前文所说。
直到
看了答案后才恍然大悟，数学上竟然有这等
诡异的证明。
当然，我们要证明的不是“根号
2
是无理数”。那个时候还没有根号、无理
数之类的说
法。
我们只能说，
我们要证明不存在一个数
p/q
使得它的平方等于
2
。
证明过程地球人都知道：假设
p/q
已经不
能再约分了，那么
p
2
=2q
2
，等式右边
是偶数，于是
p
必须是偶数。
p
是偶数的话，<
/p>
p
2
就可以被
4
整除，约掉等式右
边的一个
2
，可以看出
q
2
也是偶
数，即
q
是偶数。这样，
p
也是偶数，
q
也是
偶数，
那么
p
和
q
就
还可以继续约分，与我们的假设矛盾。
根号
< br>2
是无理数，我们证明到了。根号
3
呢？根号
5
呢？你可能偶尔看到
过
，
Theodorus
曾证明它们也是无理数。但
Theodorus
企图证明
17
< br>的平方根
是无理数时却没有继续证下去了。你可以在网上看到，
< br>Theodorus
对数学的贡
献之一就是“证明了
3
到
17
的非平方
数的根是无理数”。这给后人留下了一个
疑问：怪了，为什么证到
17
就不证了呢？一个俄国的数学历史家“猜”到了原
因。<
/p>
他猜测，当时
Theodorus
就是用类似上面的方法证明的。比如，要证明根
号
< br>x
不是有理数，于是
p
2
=xq
2
。我们已经证过
x=2
的情况了，剩下来的质数都
是奇数。如果
x
是奇数且
p/q
已经不
能再约分，那么显然
p
和
q
都是奇数。一
个奇数
2n+1
的平方应该等于
4(n
2
+n)+
1
，也即
8
*
n(n+1)/2
+
1
，其中
n(n+1)/2
肯定是一个整数。如果<
/p>
p=2k+1
，
q=2m+1
，把它们代进
p
2
=x*
q
2
，
有
8[
k(k+1)/2
-
x*m(m+1)/2]
=
x-1
。于是
x-1
必须是
8
的倍数。如果当时
Theodorus
是这么证明的，那么他可以得到这样一个结
论，如果
x-1
不能被
8
整除，那么它不可能被表示成
(p/q)
2
。好了，现在
3
、
5<
/p>
、
7
、
11
、
13
减去
1
后
都不是
8
的倍数
，它们的平方根一定不是有理数。在
x=9
时发生了一次例外，
但
9
是一个平方数。
< br>而当
x=17
时这种证明方法没办法解释了，
于是
Theodorus
就此打住。
实际上，
我们上面说的这么多，
< br>在古希腊当时的数学体系中是根本不可能出
现的。
毕达哥
拉斯时代根本没有发展出代数这门学科来，
它们掌握的只是纯粹的
几何。因此，
Hippasus
当时的证明不可能像我们现在
这样搞点什么奇数
x
偶数
y
之类的高科技东西。事实上，
Hippasus
当
时完全运用的平面几何知识来证明
他的结论。有人觉得奇怪了，既然当时没有代数，古希
腊人是怎么提出“所有数
都可以表示为整数之比”
的呢？其实古
希腊人根本没有提出什么整数之比，
这是
后人的一个误解。当时
毕达哥拉斯学派提出的，叫做“公度单位”。
两条线段的公度
单位，
简单的说就是找一个公度量，
使得两条线段的长度都
是这个公度量的整倍数
（于是这个公度量就可以同时作为两条线段的
单位长度并
用于测量）
。
寻找公度量的
方法相当直观，
就是不断把较长的那个线段减去短的
那个线段，
直到两个线段一样长。
熟悉数论的同学一下就明白了这就是欧几
里德
的辗转相除算法求最大公约数。
第一次数学危机的根结就在
于，
古希腊人理所当
然地相信不断地截取线段，总有一个时候会
截到两个线段一样长。后来，
Hippasus
画了这么一张图
，告诉大家了一个反例：有可能这个操作会无穷尽地
进行下去。