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2010
秋季初三数学
三角形五心及其性质延伸
1.
内心：三角形三条内角平分线的交点
,
也是三
角形内切圆的圆心。
角平分线性
质
:
到角两边距离相等
.
内心性质：到三角形三边距离相等。
延伸：
①内角平分线定理
如图，
AD
为△
ABC
中
?
B
A
C
的平分线，则有<
/p>
AB
AC
BD
上
左
下
左
(
=
)
DC
上
右
下
右
A
c
b
?
B
D
C
证明过程如下：
c
作
BE//AC
交其延长线于
E,
则
?
E
?
?
D
AC
.
∵
?
B
A
D
?
?
D
A
C
,
∴
?
E
?
?
< br>BAD
,
AB
?
BE
=c.
又∵
BE//A
C,
易证
△
ADC
∽
△
EDB,
∴
②外角平分线定理
如图，
AD
为△
ABC
的外角平
分线，交
BC
A
B
A
C
B
D
D
C
A
B<
/p>
A
C
?
E
B
A
C
=
B
D
D
C
E
,
得证。
F
A
E
延长线于
D
，则有
?
(
同
上
)
B
C
D
证明过程如下：
作
CE//AB
交
AD
于
E,
则
?
A
E
C
?
?
E
A
F
< br>.
∵
?
E
A
F
?
?
E
A
C
,
∴<
/p>
?
AEC
?
?<
/p>
EAC
,
A
C<
/p>
?
A
E
.
又∵
CE//AB,
易证
< br>△
ADB
∽
△
EDC,
∴
A
B
A
C<
/p>
?
A
B
C
E
=
B
D
D
C
,
得证。
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2010
秋季初三数学
③三角形内角平分线长公式
如图，<
/p>
AD
为△
ABC
中
?
B
A
C<
/p>
的平分线，则有
A
2
（
或
A
2
）
1
c
A
c
D
B
F
C
b
2bc
cos
AD
?
b+c
2
cos
1
b
+
证明过程如下：
作
BE//AC
交其延长线于
E,BF
?
AE
交其于
F
。
c
E
由前文的内角平分线定理可知，
△
ADC
∽
△
EDB,
∴
b
b+c
A
D
D
E
?
A<
/p>
C
B
E
?
b
c
.
又
AD
+D
E=AE
,<
/p>
即
A
D
?
A
E
.
而
△
ABE
为等腰三角形
,
BF
?
AE,
A
2
（
或
A
2
）
.
1
c
∴
A
E
?
2
A
F
?
2
A
B
sin
?
B
A
F
=
2c
sin
A
2
2bc
cos
2
cos
1
b
+
,
∴
AD
?
b+c
④内心到三边距离
r(
三角形内切圆半径
)
设三角形面积为
S
，则有
（
即
面
积
的
2
倍
除<
/p>
以
周
长
）
a+b+c
2
S<
/p>
A
F
B
E
C
r=
.O
D
证明过程如下：
连接
OA,OB,OC.
∵相切，∴
O
F
?
AB
，即
S
△
AOB
=
1
2<
/p>
1
1
2
A
B
?
O
F
?
1
2
1
cr
，同理
S
△
AOC
=
br
，<
/p>
S
△
BOC
=
ar
.<
/p>
又∵
S=S
△
A
OB
+
S
△
AOC
+
S
△
BOC
,
即
S=
(
a+
b+
c)r
,
< br>2
2
∴
r=
2
S
a+
b+
c
.
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