-
第
12
章时间序列（
t
ime series
）
1.
时间序列与时间序列模型
2.
序列的平滑，移动平移法
3.
趋势分量
4.
循环分量
5.
季节分量
6.
不规则分量
12.1
时间序列与时间序列模型
时间序列：
变量随时间变化，
按等时间
间隔所取得的观测值序列，
称时间序列。
Y
：
{y
1<
/p>
，
y
2
，
…
，
y
n
}
时间间隔可以是一年，一月，一天，一小时等
等。时间序列取值有两
种方式。
（<
/p>
1
）
y
t
取观测时间点处的瞬时值，如：某城市每日中午的气温
值。仓库月末的
存储量。每年
7
月
1
< br>日的人口数。每年开学学生在册
人数。
（
2
）
y
t
取相邻时间点期间的累积值。如：每年工农业总产值，
某
商场月销售额，年钢产量，年粮食产量。年某类商品贸易额。
上述时间序列取值有一个特点，即是离散型时间序列。当然也有
连续型时间序列，如心电
图，工业供电仪表记录结果，这里只讨论离
1
散型时间序列。
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
1971
1972
1973
1974
1975
1976
Y
2400
2200
2000
1800
1600
1400
1200
Stock of shenzhen
1000
100
200
300
40
0
500
600
图
12.1a
摩托车月注册数时间序
列（
file:TCSI
）
图
12.1b
深
圳股市收盘价序列（
file:stock
）
0.80
6
4
2
0.75
0.70
0<
/p>
-2
-4
0.65
0.60
-6
DJ
PY
-8
600
0.55
80<
/p>
82
84
86
8
8
90
92
94
96
98
00
02
< br>
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
图
12.1c
中国物价指数
（
file:b1c1
）
图
12.1d
日元
兑美元汇率收益率（
file:jpyen
）
对于时间序列，我们将主要讨论两类问题：
< br>（
1
）序列由何种成分
组成，怎
样分离出这些成分。
（
2
）怎样用观测
到的数据去预测未来。
时间序列通常认为含有四种成分（
见
380
页
）
。
（
1
）
长期趋势
（
Long
term trend
）
，
T
。描述序列中长期运动趋势
（
2
）
循环分量
（
Cyclical component
）
，
C
。描述序列中不同幅度
< br>的扩张与收缩，
且时间间隔不同的循环变动。
经济问题中
常指一年以
上的起伏变化。
2
1800
TREND
1600
Y
1
.
1
0
1
.
0
5
1400
1200
1000
0
.
9
5
1
.
0
0
800
600
197
1
CYCLE
0
.
9
0
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1972
1973
1974
1975
1976
图
12.2
趋势分量
图
12.3
循环分量
（
3
）
季节分量
（
Seasonal c
omponent
）
，
S
。描述序列中一定周期
的重复变动，周期常为一年，一季，一周等。
（
4
）
不规则分量
（
Irregular
component
）
，
I
。描述随机因素引起
的变动，
常带有偶然性由于各种因素引起变化相互抑制抵消，
变动幅
度常较小。
1.4
Seasonal factor
1.2
1
.
0
1
.
1
Iregular fact
or
1.0
0
.
9
0.8
0
.
8
0.6
1971
1972
1973
1974
1975
1976
0
.
7
< br>
1971
1972
1973
1974
1975
1976
图
12.4
季节分量与不规则分量（
S
I
）
经典的时间序列模型有两种：
（
1
）加法模型
Y = T + S + C + I
（
2
）乘法模型
Y = T S C I
对于一个时间序列，
采用哪种模型分析，
取决于各成分之间关系。
一般来
讲，
若
4
种成分是相互独立的用加法模
型，
若相互有关联用乘
法模型，
对于社
会经济问题主要使用乘法模型。
下面介绍对时间序列
3
的分解。
12.2
序列的平滑
（
Smoothing
）
，
移
动平均法
（
Method
of
Moving
average
）
（求
TC
）
平滑是研究时间序列的一个基本方法，
用它来平抑或削弱时间序
列中的波动变化，从而获得序列变化趋势的信息。
平滑一组数据常用的方法为
移动平均法
。该方法是求原
序列的一
个
k
项平均数序列，
y
t
?
y
t
?
1
< br>?
...
?
y
< br>t
?
k
?
1
k
, t = 1, 2,
…
, T- k +1
如
3
项平均，
5
项平均等。
这样用
k
项平均数组成的新序列抑制
和
削弱了原序列中的波动性。
这可以从下面一个例子中很好地反映出
来。
具体计算见例
12.1
。
例
12.1 <
/p>
某公司
1967
年至
1981
年各年利润如下表，
并对其作
5
项
平均
年
196
7
196
8
196
9
197
0
197
1
197
利润
平均
（
Y
）
值
2
4
5
7
8
6
5.2
6.0
6.8
8.0
4
5
项移动平均
=
2
?
4
?
5
?
7
?
8
5
=
4
?
< br>5
?
7
?
8
?
6
5
2
197
3
197
4
197
5
197
6
197
7
197
8
197
9
198
0
198
1
1
8
0
0
MA
1
6
0
0
1
4
0
0
1
2
0
0
1
0
0
0
8
< br>0
0
6
0
0
1
9
7
1
8
11
13
14
11
14
18
20
23
9.2
10.4
11.4
12.6
14.0
15.4
17.2
Y
1
9
7
2
1
9
7
3
1
9
7
4
1
9
< br>7
5
1
9
7
6
图
12.3
序列的平滑
k
的选择：从图上可以看出，
k
值越
大平滑的效果越好。但损失掉
的项数（
k - 1
）也越大，所以要在保持足够的数据与消除波动之间做
出选择，
一般取
k
与循环波动周期相一致，
< br>这样可有效地抑制循环变
化。
当
k
为偶数时，如做
12
个月平均，
4
项平均等。则算出的平均数
5
只能对应在中心两项之间，
这样很不方便，
于是每两项再平均一次称
作“中心化移
动平均”
（
Centered moving
average
）
例
12.2
：
Y
i
2
6
4
8
6
7
2
当
k
为偶数时，目前移动平均的最新计
算公式是
MA
t
=
MA
t
=
度数据）
序列平滑只是部分消除
S
，
C
，
I
变动，不一定是全部。移动平均
MA
一般是
T
和
C
分量的乘积。
MA = TC
注意
：
移动平均法在消除原有循环变化同时，
有可能引入新的不
存在的循环变化。
12.3
趋势分量、循环分量、季节
分量、不规则分量的求法
12.3.1
趋势分量
求出移动平均序列，即
TC
，下一步确定趋势分量<
/p>
T
(trend)
。在
6
4
项平
均
5.0
6.0
6.25
5.75
4
项中心化移动
平均
5.5
6.13
6.0
0
.
5
?
Y
t
?
2
?
Y
t
?
1
?
Y
< br>t
?
Y
t
?
1
?
0
.
5
?
Y
t
?
2
，
4
（用于季节数据）
0
.
5
?
Y
t
?
6
?
Y
t
?
5<
/p>
?
Y
t
?
4
?
Y
t
?
3
?
Y
t
?
2
?
Y
t
?
1
?
Y
t
?
Y<
/p>
t
?
1
?
Y
t
?
2
?
Y
t
?
3
?
Y
t
?
4
?
Y
t
?
5
?
0<
/p>
.
5
?
Y
t
?
6
，
（用于月
12
求趋势
T<
/p>
之前，首先要观察趋势特征。这可以通过对原时间序列
Y
或移动平均序列
TC
观察，而获得初步信息。趋
势可分为线性和非线
性两种。以线性趋势为例介绍趋势分量
T<
/p>
的求法。用移动平均
TC
对
时间
t
回归，模型是
TC =
?
0
+
?
1
t +
u
。
则
TC
的拟合值
TC
就是趋势分量
T
。
?
=
TC
+
u
?
TC
=
?
?
0
+<
/p>
?
?
1
t +<
/p>
u
?
?
其中
T =
?
t
?<
/p>
+
?
TC
=
?
0
1
?
上例中的趋势显然是线性的，用回归分析方法求趋势如下，
T =
TC
=
0.73 + 1.29
（
t -
1966
）
，
（
t = 1967
……
1981
）
根据实际情况，
也可以用非线性回归求趋势。
在非线性趋势中有
一种可用
Gompertz
曲线描述。其形式是
Y = b
0
b
1
b
2
x
t
?
（
0
?
b
1
?
1
，
0
?
b
2
?
1
）
1
0.
8
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
60
图
12.5
Gompertz
曲线
一项新技术或一种新产品的推广过程都属于这种类型。当
b
0
事先
已知时（
根据实际问题可以预估）
，上式可变换为，
7
Y/
b
0
=
b
1
b
2
x
t<
/p>
，
b
2
x
t
Ln (Y/
b
0
) =
Ln
b
1
（把
Go
mpertz
曲线画在半对数格
纸上就是指数曲线。
）
Ln(Ln (Y/
b
0
)) =
x
t
Lnb
2
+ Ln(Ln
(b
1
))
，
（
Ln(Ln (Y/
b
0
))
与
x
t
是线性关系。
）
除了上述线性和
Gompertz
方法求趋势外，还可以用
虚拟变量方
法
、
指数模型
、
对数模型
、
抛物线模型
、
滞后变量模型
、
分布滞后模
型
、
差分模型
以及
广义差分模型
进行趋
势预测。
20
6
15
10
5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
5
4
3
2
0
50
100
150
< br>200
图
12.6
指数模型
图
12.7
对数模型
135
130
125
120
115
110
105
100
0
0.5
1
1.5
2
14000
12000
1000
0
8000
6000
4000
2000
0
0
20
40
60
80
图
12.8
双曲线模型
图
12.9
多项式模型
12.3.2
循环分量
(C)
8
用移
动平均法平滑序列，所得结果为趋势循环分量
TC
。用回归
法求出趋势分量
T
。用
T
除
TC
得循环分量
C
。
C =
TC
T
12.3.3
季节分量
(S)
在时间序列中含有季节分量是很常见的，
如四季气候变化引起人
们社会经济生活的一定变动，
风俗习惯也呈现季节性变动
（如春节期
间肉销量大增）
。季节分量常用季节指数
（
Seasoned
index
）表示，例
如：
S =1.
04
表示由季节因素影响，时间序列值
Y
约高出平均值
4%
，
S = 0.9
3
，序列值低于平均值
7%
。求季节性
指数可分三步进行。
（
1
）用移动平均法平滑序列，所得结果为趋势循环分量
TC
< br>。
（
2
）
用趋势循环分量
TC
除序列值
Y
，
得季节不规则分量，
< br>Y / TC
= S I
。
（
3
）
用
S I
分量相同期的全部值求平均数，
有时
也可以用这些全
部值的中位数（这样可以避免极端不规则值的影响）作为季节因子
S
的初步值。
由于季节因子必须在一年内求得
平衡，
所以乘法模型中的
季节因子的平均值应改为
1
。
因为季节因子
S
的初步值的平均值通常
不能保证为
1
，所以需要作最后调整。通过下表具体说明之。
表
1
季节因子的调整方法
9
年
1976
1977
1978
1979
1980
1981
3.9988
中位数
4.0000
季节因
子
平均数
0.45996
1.02664
1.78184
0.73244
4.00088
季节因
0.45986
1.02641
1.78145
0.73228
4.00000
子
注
：
（
1
）
通
过
中
位
数
求
季
节
因
< br>子
方
法
的
调
整
因
子
是
4.0000/3.9988=1.0003
。例如第
1
季度季节因子
0.4520
< br>的计算公式
是
SF
1
= 0.4519
?
1.0003 = 0.4
520
。其余
3
个季节因子
SF
2
、
SF
3
、
SF
4
的计算方法以此类推。
（
2
）
通
过
平<
/p>
均
数
求
季
节
因
子
方
法
的
调
整
因
子
是
4.0000/4.0
0088=0.99978
。例如第
1
季度季节因子
0.4520
的计算公
式
是
SF
1
=
0.45996
?
0.99978 = 0.45986
。其余
3
个季节因子
SF
2
、
SF
3
、
SF
4
的
计算方法以此类推。
季节分量（季节因子、季节指数）序列常
用来评价一个具体时期
与平均水平的差别。例如第
3
季度季节因子
1.78
的含义是第
3
季度
的值平均高出年平均水平
78%
。
注意
：若
Y
是年度数据，则
Y
中不含季节分量。
12.3.4
不规则分量
不规则分量求法：用
S
除
S I
，可求出
I
。
< br>
时间序列的季节不规则混合分量值
1
2
3
4
1.8021
0.7117
0.4519
1.0461
1.7986
0.7289
0.4680
0.9982
1.7724
0.7706
0.4333
1.0363
1.7544
0.7496
0.4478
1.0402
1.7817
0.7014
0.4988
1.0124
0.4519
1.0363
1.7817
0.7289
0.4520
1.0370
1.7820
0.7290
10
I
=
SI
S
12.4
用
T
与
S
相结合的方法对时间序列
Y
进行预测
用回归函数预测
< br>T
，
再与
S
相乘，
即可用来预测
Y
。
例如预测
t +1
期
Y
的值，
?
t
+1
= T
t +1
S
t+1
Y
12.5
调整的时间序列（非季节时间序列）
YSA = Y / S
YSA
是从
Y
中剔除
了季节分量
（因子）
，
所以称其为调整
的时间
序列。西方常发布这种数据。
12.6
案例分析
（加拿大月人口出
生数序列，
1973-1983
，
fi
le:birth
）
加拿大
月人口出生数（
Y
t
）序列（
1973:1-1983:12
，见图
12.1
0
）
存在非常明显的周期性变化规律。
每年都是
10-12
月份出生人口数低，
而其他月份出生人口数高。
下面用时间序列乘法模型对加拿大月人口
< br>出生数序列进行分析与预测。
3
4
0
0
0
b
irth
s o
f C
a
n
a
d
a
3
2
0
0
0
3
0
0<
/p>
0
0
2
8
0
0
0
2
6
0
0
0
7
3
7
4
7
5
7
6
7
7
7
8
7<
/p>
9
8
0
8
1
8
2
8
3
图
12.10
加拿大月人口出生数序列（
file:birth
< br>）
（
1
）求
12
期移动平均（见图
12.11
）
11
TC
12
=
,
MA
t
=
0
.
5
?
Y
t
?
6
?
Y
t
?
5
?
Y
t
< br>?
4
?
Y
t
?
3
?
Y
t
?
2
?
Y
t
?
1
?
Y
t
?
Y
t
?
1
< br>?
Y
t
?
2
?
Y
t
?
3
?
Y
t
?
4
?
Y
t
?
5
?
0
.
5
?
< br>Y
t
?
6
(t =
1973:1-1983:12)
34000
TC
32000
Y
32000
34000
trend
Y
30000<
/p>
30000
28000
28000
26000
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
26000
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
图
12.11
原序列和
12
个月移动平均
(TC)
图
12.12
原序列和线性趋势
(T)
（
2
）用
TC
对
t
回归，得到趋势分量
T
（见图
12.12
）
。
T
=
TC
= 28787.4 + 20.53
t
，
(1973:7-1983:6
，<
/p>
1973:1
，
t
= 1)
(512.4)
(27.4)
R
2
= 0.86
TC
的
?
?
< br>Eviews
计算方法是
TC
=
TC -
?
?
t
。对于本例，也可以用对数函数
u
求趋势（见图
12.13
）
。
T
=
TC
=
26012.65
+
1034.76
Ln
t
，
(1973:7-1983:6<
/p>
，
1973:1
，
t = 1)
(211.7)
(34.2)
R
2
= 0.91
（
3
）用
T
< br>除
TC
，得到循环分量
C
（见图
12.14
）
。
C =
?
TC
T
12
34000
TREND
32000
Y
1.10
1.08
1.06
1.04
CYCLE
30000
1.02
1.00
28000
0.98
0.96
< br>26000
73
74
75
76
77
78
79<
/p>
80
81
82
8
3
0.94
73
74
< br>75
76
77
78
79
80
81
82
83
图
12.13
原
序
列
和
对
数
函
数
趋<
/p>
势
（
T
）
图
12.14
循环分量（
C
）
（
4
）用
TC
除
Y
t
，得到季节不规则分量
S I
（见图
12.15
）
。
S I =
Y
t
/ TC
1
.1
0<
/p>
SI
1
.0
5<
/p>
1
.0
0
0
.9
5
0
.9
0
0
.8
5
7
3
7
4
7
5
7
6
7
7
7
8
7
9
8
0
8
1
8
2
8<
/p>
3
图
12.15
季节不规则分量（
S
I
）
求
S
I
中所有同期项的平均数。
例如把
S
I
中所有
1
月份的值相加
求平均数。得
S
的一个循环周期如下（一年一个循环
周期）
，
0.967910,
0.919653, 1.049022, 1.025577, 1.053898, 1.012695,
1.044937,
1.020500,
1.018503, 1.001330, 0.940528,
0.956525
其中
0.9679
1
说明时间序列
Y
值在
1
月份平均比总平均值低
3.2%
，
13
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