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第三章
一元经典线性回归模型的基本假设与检验
问题
<
/p>
TSS,RSS,ESS
的自由度如何计算？直观含义是什么？<
/p>
答：对于一元回归模型，残差平方和
R
SS
的自由度是
(
n
< br>?
2)
，它表示独立观察值的个数。
?
和
?
?
，
n
个残差
对于既定的自变量和估计量
?
1
2
?
?
?
?
X
?
i
< br>?
Y
i
?
?
u
i
2
i
必须满足正规方程组。因此，
n
个残差
中只有
(
n
?
2)
个可以“自由取值”
，其余两个随之
确定。所以
RSS
的自由度是
(
n
?
2)
。
TSS
的自由度是
(
n
?
1)
：
n
个离差之和等于
0
< br>，这意味着，
n
个数受到一个约束。
由于
TSS=ESS+RSS
，
回归平方和
ESS
的自由度是
1
。
为什么做单边检验时，犯第一类错误的概率的评估会下调一半？
答：选定显著性水平
?
之后，对应的临
界值记为
t
?
/2
，则双边检验的拒绝区域为
|
t
|
?
t
?
/2<
/p>
。
单边检验时，
对参数的符号有先验估计
，
拒绝区域变为
t
?
< br>t
?
/2
或
t
?
?
t
?
/2
，
故对犯第
I
类错
误的概率的评估下下降一半。
常常把高斯
-
< br>马尔科夫定理简述为：
OLS
估计量具有
BULE
性质，其含义是什么？
答：含义是：
（
1
）它是线性的（
linear
）
：
OLS
估计量是因变量的线性函数。
（
2
）它是
无偏的（
unbiased
）
：估计量
的均值或数学期望等于真实的参数。比如
?
)
?
?
。
E
(
?
2
2
（
< br>3
）它是最优的或有效的（
Best or effic
ient
）
：如果存在其它线性无偏的估计量，其方差必
定大于
OLS
估计量的方差。
做显著性检验时，针对的是总体回归函数（
PRF
）的系数还是样本回归函数（
SRF<
/p>
）的系
数？为什么？
< br>答：做显著性检验时，针对的是总体回归函数（
SRF
）
的系数。总体回归函数是未知的，也
是研究者所关心的，
所以只
能利用样本回归函数来推测总体回归函数，
后者是利用样本数据
计算所得，是已知的，无需检验。
1
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（习题）
以下陈述正确吗？不论正确与否，请说明理由。
（
1
）
X
< br>值越接近样本均值，斜率的
OLS
估计值就越精确。
?
)
答：错误。
因为
se
(
?
2
?
n
?
?<
/p>
x
i
2
?
1
?
x
i
2
?
i
2
u
?
?
n
?
2
，当
X
值越接近样本均值时
?
)
变大。标准
差的变大致使
x
i
?
< br>X
i
?
X
将会变小，则
?
x
i
2
也将变小，这将会导致
se
(
?
2
i
?<
/p>
1
OLS
估计值波动更大，
OLS
估计值也变得更不精确了。
（
2
）如果误差项
u
与自变量
X
相关，则估计量仍然是无偏的。
答：错误。在证明估计量是无偏性的时候，我们假定自变量是给定
的，否则
?
)
?
?
?
?
k
E
(
u
)
?
?
的第一个等式不成立。
E
(
?
2
2
i
i
2
（
3
）仅当误差项服从正态分布时，估计量才具有
BLUE
性质。
答：错误
，在证明高斯
-
马尔科夫定理时，无需假设误差项服从正态分布
。
（
4
）如
果误差项不服从正态分布，则不能进行
t
检验和
F
检验。
答：正确。在证明
相关统计量服从学生分布和
F
分布时，需要假设误差项服从正态
分布。
（
5
）如果误差项的方差较大，则置信区间较宽。
答：正确。因为
当误差项变大时，置信区间的表达式：
?
?
se
(
?
?
)
?
t
?
?
?
?
?
?
se
(
?
?
)
?
t
中，
可知区间长度更大，
从而可知置信
?
2
2
?
/2
2
2
2
?
< br>/2
区间将会变宽。
（
6
）如果自变量方差较大，则系数的置信区间较窄。
< br>
答：正确。因为自变量的方差较大，则系数估计量的方差较小。以一元回归方程
为例：
?
)
?
se
(
?
2
?
?
x
i
2
?
1
?
x
i
2
?
i
2
u
?
< br>?
n
?
2
系数估计量的方差随自变量方差的增加而增加。
（
7
）
p
值较大意味着系数为零的可能性小。
答：错误。<
/p>
P
值就是当原假设为真时样本观察结果对应的统计值出现的概率，
p
值较则拒绝
原假设成立的可能性越大
，也就是说系数为
0
的可能性也就越大。
（
8
）如果选择的显著性水平较高
（
p
值较小）
，则回归系数为显著的可
能性较大。
答：正确。当选择的显著性水平较高时，容许犯第
I
类错误的概率上限将会下降，这使得我
们断言“回归系数显著”的可能性也越小。
2
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（
9
）如果
误差项序列相关或为异方差，则估计系数不再是无偏或
BLUE
。
答：
错误。
当误差项序列相关或为异方差时，
估计系数依然是无偏的，
但
是不再具有有效性，
同时线性性也是满足的。
（
10
）
p
< br>值是零假设为真的概率。
答：错误。
< br>P
值是当原假设为真时我们拒绝原假设的概率。
以下是商品价格
P
< br>和商品供给
S
的数据：
P
2
7
5
1
4
8
2
8
S
15
41
32
9
28
43
17
40
< br>?
s
2
?
1025,
?
p
2
?
55.9,
?
ps
?
255.4
其中
小写字母表示离差（观察值减去均值）
。
（
1
）估计
OLS
线性回归方程
E
(
S
)
?
?
1
?
?
2
P
< br>。
（
2
）估计
?
1
,
?
2
的标准差。
< br>（
3
）检验假设：价格影响供给。
（
4
）求
?
1
的置信度为
95%
的置信区间。你对置信区间有何评论？
答：
（
1
）
P
?
?
P
?
< br>4.625
S
?
?
S
i
i
8
8
?
28.125
?
i
?
1
x
i
y
i
?
?
Y
?
?
?
X
，可得
?
由系数估计公式：
?
2
?
，
?
1
2
n
2
x
?
< br>i
?
1
i
?
?
?
2
n
?
ps<
/p>
?
255.4
?
4.57
?
?
?
p
55.9
2
1<
/p>
?
S
2
P
?
28.125
?
4
.57
?
4.625
?
6.99
可得估计的回归方程为：
E
(
S
)
?
?
1
?
?
< br>2
P
?
6.99
?
4.57
P
2
2
?
X
< br>u
?
?
i
i
?
)
?
?
（
2
）由于总体方差未知，则
se
(
?
=
1
2
n
?
2
n
?
x
i
?
)
?
se
(
?
2
1
?
x
i
2
?
i
2
u
?<
/p>
?
=0.3352
n
?
2
（
3
）假设：
H
0
3
:
?
2
?
0
，则
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?
?
?
)
se
(
?
2
2
?
?
2
?
13.63
t
，而对
于当前样本，
?
se
(
?
2
)
6
利用
Excel
计算可得：
Pr
ob
.(
t<
/p>
6
?
13.63)
?
9.6845
E
-06
这说明，在一次抽样中，统计量绝对值大于等于的概率非常非常小，几乎
不会发生。所以，
我们拒绝原假设：
H
0
:
?
2
?<
/p>
0
，则说明价格影响供给。
?
?
se
(
?
?
)
?
< br>t
?
?
?
?
?
?
se
(
?
?
)
?<
/p>
t
（
4
）由置信区间公式：
?
1
1
?
/
2
1
1
1
?
/<
/p>
2
这
里
?
?
5%
，
对
于
本
题
，
自
由
度
为
< br>n
?
2
?
6
，
则
t
?
/
2
?
2.4
47
.
已
知
?
?
6.99
，
se
(
?
?
)
?
1.786
，故
?
1
1
2.6197
?
?
< br>1
?
11.3603
这也就是说
?
2.6197,11.3603
?
由
95%
的可能性包含
?
1
。
【不能说：
?
1
有
95%
的可能性落在
区间
?
2.6197,11.3603
?
内】
已
知
Y
和
X
满足
如下的总体回归模型：
Y
（
1
）根据
Y
和
X
的
5
对观测值计算出：
?
?
1
?
?
2
X
?
u
?
X
?
55,
?
Y
?
15,
?
x
2
?
74,
?
y
2<
/p>
?
10,
?
x
y
?
27
n
利用最小二乘法估计
?
1
,
?
2
。
< br>
?
i
?
1
x
i
y
i
27
?
?
0.
3649
答：
?
2
?
=
n
2
?
i
?
1<
/p>
x
i
74
?
?
Y
?
?
?
X
?
1
2
=
3
?
< br>0.3649
?
11
?
?
3.0139
（<
/p>
2
）经计算，该回归模型的残差平方和
R
SS
为。计算判定系数，并估计回归标准误
?
< br>。
答：
R
2
ESS
RSS
1.4
?
?
1
?
?
1
?
?
0.86
TSS
TSS
10
2
?
X
i
2
?
?
(
x
i
?
X
)
?
?
x
i
2
?
nX
2
?
74
?<
/p>
5
?
11
2
?
679
4
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2
2
?
X
u<
/p>
679
1.4
?
?
i
i
?
se
(
?
1
)
?
?
?
?
?
0.922
2
n
?
2
5
?
74
3
n
?
x
i
?
)
?
se
(
< br>?
2
1
2
x
?
i
?
i
2
u
?
?
?
n
?
2
1.4
?
0.0794
3
?
74
<
/p>
假设某人利用容量为
19
的样本估计了消
费函数
C
i
?
?
?
?
Y
i<
/p>
?
u
i
，并获得
下列结果：
?
?
15
?
0.81
Y
C
i
i
t
?
(3.1)(18.7)
R
?
0.98
2
（
1
）计算参数估计量的标准差。
（
2
）构造
?
的
95%
的
置信区间，据此检验
?
的统计显著性。
?
< br>?
?
)
?
0.81
?
0.0433
?
18.7
可得：
se
(
?
答：
（
1
）
?
)
18.7
se
(
?
?
?
15
?
)
?
?
3.1
可得：
se
(
?
?
4.8387
< br>
?
)
3.1
< br>se
(
?
?
?
se
(
?
?
)
?
t
?
?
?
?
?
?
se
(
?
?
)
?
t
，可得：
（
2
）由置信区间公式：
?
?
/
2
?
/
2
0.7186
?
?
?
0.9014
，原点没有包含在置信区间内，故
?
是统计显著性的。
已经得到如下回归方程：
?
?
0.2033
?
0.
6560
X
Y
se
?
(0.0976)
(0.1961)
R
2
?
0.397 ESS=0.0544 RSS=0.0358
其中
Y
?
1972
年妇女的劳动参与率（
LFPR
）
，
X
?
1968
年妇女的劳动参与率。该回归结
果来自于美国
19
个城市构成的数据样本。
（
1
）你如何解释该结果？
（
2
）在对立假设为
H
1
:
?
2
使用什么检验？为什么？
（
3
）假设
1968
年的
LFPR
为（或
58%
）
，基于上述回归结果，
1972
年的<
/p>
LFPR
的均值的估
计值是多少？构造其
真实均值的
95%
的置信区间。
（
4
）如何检验总体回归误差项服从正态分
布的虚拟假设？
答：
（
1
）由可决系数可知，
两个年度的劳动参与率有一定
程度的相关性，
但相关程度不是很
高。直观地说，劳动力参与率
存在一定的惯性。
?
1
的前提下，检验
H
0
:
?
2
?
1
的虚拟假设（零假设）
。你
5
-
-
-
-
-
-
-
-
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