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《智能信息处理概论》结课论文
成绩：
课程名称：智能信息处理概论
分形之
Julia
集及其算法实现
摘要：
本文从自然
界的几何现象引出分形的概念，再从其定义、几何特征和分形维的计算这三个方面
来加以
介绍。以
Julia
集和
Mandel
bort
集为例来具体描述分形。本文主要从
Julia
集的特点和算法实现来描
述分形以及其实现的方法。
< br>
关键词：
分形、分数维、
Ju
lia
集、
Mandelbort
集、
算法实现
引言
大自
然是个很伟大的造物者，它留给我们一大笔美丽景观：蜿蜒曲折的海岸线、起伏不定的山脉，变
< br>幻无常的浮云，粗糙不堪的断面，袅袅上升的烟柱，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花缭乱的< /p>
满天繁星……那么，我们又能从这些美妙的自然现象中得到什么有趣的结论呢？
正文
分形概述
分形的英文单词为
fractal
，
是
由美籍法国数学家曼德勃罗
（
Benoit Mandelbr
ot
）
创造出来的。
其取自拉
丁文词
frangere
（破碎、产生无规则碎
片）之头，撷英文之尾所合成，本意是不规则的、破碎的、分数的。
他曾说：分形就是通
过将光滑的形状弄成多个小块，反复的碎弄。
1975
年，曼德
勃罗出版了他的法文专著
【
1
】
《分形对象：形、机遇与维数》
，标志着分
形理论正式诞生。
两种定义
其一：具有自相似性结构的叫做分形；
其二：数学定义：豪斯道夫维
Df>=
拓扑维
Dt
。
若一有界集合，包含
N
个不相重叠的子集，当其放大或缩小
r
倍后，仍与原集合叠合，则称为自相似
集合。自相似集合是分
形集。具有相似性的系统叫做分形。
当放大或缩小的倍数
r
不是一个常数，而必须是
r
（
r1
，
r2
，…
.
）的各种不同放大倍数去放大或缩小各
【
2
】
子集，才能与原集合重合时，称为自仿射集合。具有自仿射性的系统叫做分形。
特征
1.
自相似性：局部与整体的相似，是局部到整体在各个方向上的等比例变换的结果；
2.
自仿射性：是自相似性的一种拓
展，是局部到整体在不同方向上的不等比例变换的结果；
3.
精细结构：
即使对该分形图放大无穷多倍，
还是能看到与整体相似的结构，
表现出无休止的重复；
4.
<
/p>
分形集无法用传统几何语言来描述，它不是某些简单方程的解集，也不是满足某些条件的点
的轨
迹；
5.
分形集一般可以用简单的方法定
义和产生，如递归、迭代；分形其实是由一些简单的图形，经过
递归或者迭代产生的复杂
、精细的结构；
【
3
】
6.
无确定的标度且具有分数维数。
1
《智能信息处理概论》结课论文
分数维
拓扑维
：又称橡皮几何学。研究几何图形在一对一的双方连续变换下不变的性质，称为拓扑性质。
豪斯道夫维数
：
1919
年提出连续空间的定义：即空间维数不是跃变的，而是可以连续变化
的，既可
以是整数，也可以是分数，通过具体计算来确定维数。——分数性质
豪斯道夫维数有三种求解方法：
1.
放大求解：豪斯道夫维
的几何对象，每个棱边长度放大
L
倍，几何对象对应放大
K
倍。那么，由
，可推导出
。
2.
缩小
求解：豪斯道夫维
的几何对象，等分成
N
个小的几何图形，则每个小图形每维缩小为原来的
r
维。而<
/p>
N
个小图形的总和应为
。那么，分维为<
/p>
。
3.
测量学求解：对一个体积为
A
，分维为
的几何对象，要用半径为
r
的小球去测度，
则所需小球数
目为
哥诺夫容量维。
定义容量维为
。其中，
C
为结构因子。所以分维为
。
这里的分维也称为科尔莫
，且其
与
相一致。
各棱边放大
L
倍，相应的几何对象体积放大
K
< br>倍，则所需小球数目应为
。
若小球半径
r
缩小
L
倍，而
A
保持不变，则所需小球
数目仍应为
N
’
。那么所需小球数目的
表达式应
为
。
由上述两个式子可得
【
4
】
。即可得到结论容量
维与豪斯道夫维相一致。
分形举例——
Julia
集
Julia
集是由法国数学家
Gaston
Julia
和
Pierre
Faton
在发展了
复变函数迭代的基础理论后获得的。
其也是一个典型的分形，只是在表达上相当复杂，难
以用古典的数学方法描述。
Julia
集与
Mandelbort
集来自于复数非线性映射
。通过给定的不同初始值，经过无穷次的
迭代产生的分形图集。
当
C
给定初始值，而
Z
值作为一个变量，通过无数次迭代产生的分形图集称为
Juli
a
集
;
当<
/p>
Z
给定初始值，而
C
值作为一个变量，通过无数次迭代产生的分形图集称为
Mandelbort
集。
特点
对于映射
而言，若
,
,
则有二维映射
例如取
C=0+0i
，则有以下情况发生：
2
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如果
如果
如果
然而，当
，则在复
Z
平面上迭代结果
，则在
复
Z
平面上迭代结果
，则
；那么，零是
；那么，无穷是
的吸引子。复平面上所
有与该吸
的吸引子。复平面上所有与零
引子相距小于
1
的点，都产生趋向吸引子的序列。
点的距离超过
1
的点，都产生趋向无穷的序列。<
/p>
；那么，产生的序列总出现在上面两个吸引区域之间的边界上。
此时，边界
，就是
Julia
集。
，而是一个不规则、非光滑
恰为复平面上
的单位圆周
时，其吸引子不再是
0
，而
变为一个区域，被吸进去的点会遍历整个区间，这个区域被
称做混沌区。与此同时，分割
混沌区和向
逃逸的分界线不再是单位圆
则和不光滑的。
Julia
集的实际例子是求解三次方程
或
。上述式子的三个根是
1
，
的分界线。当
C
值越来越大
时，复平面上甚至会产生几个离散的吸引区域，而每个孤岛的分界线都是不滚
。
三个根的
Newton
迭代法是：
和
，即该式有三个吸引
子。那么，从
复平面上任何地方的初值
开始迭代，最终应该滑到
其中的一个吸引子。自然而然，我们所得到的三个吸
引区的边界也应该是简单，明显的。
然而，绘图时发现，三个扇形区域的边界具有一种特别的性质，即上
面的每个点都隔开所
有三个区域，形成了一种复杂的边界。当我们把这边界放大时，又会形成自相似的结
构。
因此，
Julia
集通常被认为具有分数维结构，并且在这个集
上的迭代过程是一种混沌运动。
刚刚，
Julia
集是在复数平面
经过无数次迭代产生的使
上考虑的；
那么，
让我们从复参数平面
【
5
】
【
6
】
就是
Mandelbo
rt
集。
上进行。
< br>此时取定
，
有界的点集
逃逸时间
算法
Julia
集是复数映
有二维映射
，当
C<
/p>
为某一固定值时的一个吸引域，其中
。
,
,
则
从逃逸时间算法的角度看，
Juli
a
集的内部收敛于某一点或某几个点，而
Julia
集的外部随着逃逸时间
t
的增加将发散至
，其逃逸边界便是
Julia
集。
我们可以根据点
设计思路：
假设绘图窗口的图形分辨率是
1.
选
定
参
数
的循环。
2.
令
,
算出
,
t=0
。
，
计数
t=
t+1
。
，
,
对所有的点
,
点，可显示颜色
K+1
种，以数字
0~K
表示，且
0
表示黑色。
,
M=100
;
令
及
,
，
完成如下步骤
< br>逃向
的速度决定逃逸区中个点的着色。
3.
根据下式的迭代过程从
4.
计算
如果
如果
如果
5.
对点
程序设计：
：
,
则选择颜色
t
，转至步骤
5
；
,
则选择颜色
0
（黑色）
，转至步骤
5
；
且
则转至步骤
5
。
【
7
】
【
8
】
着颜色
t
并转至
下一点，再从头做步骤
5
。
3