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Matlab
概率论与数理统计
一、
matlab
基本操作
1.
画图
【例
0
1.01
】简单画图
hold
off;
x=0:0.1:2*pi;
y=sin(x);
plot(x,y,
'-r'
);
x1=0:0.1:pi/2;
y1=sin(x1);
hold on;
fill([x1,
pi/2],[y1,1/2],
'b'
);
【例
01
.02
】填充，二维均匀随机数
hold
off
;
x
=[0,60];y0=[0,0];y60=[60,60];
x1=[0,30];y1=x1+30;
x2=[30,60];y2=x2-30;
xv=[0 0 30 60 60 30 0];yv=[0 30 60 60
30 0 0];
fill(xv,yv,
< br>'b'
);
hold
on
;
pl
ot(x,y0,
'r'
,y0,x,
'r'
,x,y60,
'r'
,y60
,x,
'r'
);
< br>plot(x1,y1,
'r'
,x2,y2,
'r'
);
yr=unifrnd (0,60,2,100);
plot(yr(1,:),yr(2,:),
'm.'
)
axis(
'on'<
/p>
);
axis(
'square'
);
axis([-20 80 -20 80 ]);
1
2.
排列组合
k
C=nchoosek(n,k)
：
C
?
C
n
，例
n
choosek(5,2)=10, nchoosek(6,3)=20.
prod
(n1:n2)
：从
n1
到
n2
的连乘
【例
01.03
】至少有两个人生日相同的概率
n
n
!
C
N
公式计算
p
?
1
?
N
n
N
!
N
?
(
N
?
1
)
?
(
N
?
n
?
1
)<
/p>
(
N
?
n
)!
?
1
?
?
1
?
n
n
N
N
< br>
?
1
?
365
?
364
(365
?
rs
?
1)
365
364
?
1
?
?
365
rs
< br>365
365
365
?
rs
?
1
365
rs=[20,25,30,35,40,45,50];
%
每班的人数
p1=ones(1,length(rs));
p2=ones(1,length(rs));
%
用连乘公式计算
for
i=1:length(rs)
p1(i)=prod(365-rs(i)+1:365)/365^rs(i);
end
%
用公式计算（改进）
for
i=1:length(rs)
for
k=365-rs(i)+1:365
p2(i)=p2(i)*(k/365);
end
%
用公式计算（取对数）
for
i=1:length(rs)
2
end
;
p1(i)=exp(sum(log(365-rs(i)
+1:365))-rs(i)*log(365));
end
p_r1=1-p1;
p_r2=1-p2;
Rs =[20 25 30 35
40 45 50 ]
P_r=[0.4114
0.5687 0.7063 0.8144 0.8912 0.9410
0.9704]
二、随机数的生成
3.
均匀分布随机数
rand(m,n);
产生
m
行
n
列的
(0,1)
均匀分布的随机数
rand(n);
产生
n
行
n
列的
(0,1)
均匀分布的随机数
【练习】生成
(a,b)
上的均匀分布
4.
正态分布随机数
randn(m,n);
产生
m
行
n
列的标准正
态分布的随机数
【练习】生成
N(n
u,sigma.^2)
上的正态分布
5.
其它分布随机数
函数名
Unidrnd
binornd
Poissrnd
geornd
hygernd
Normrnd
Unifrnd
Exprnd
chi2rnd
Trnd
Frnd
gamrnd
betarnd
lognrnd
nbinrnd
ncfrnd
nctrnd
ncx2rnd
raylrnd
weibrnd
调用形式
unid
rnd
(N,m,n)
bino
rnd
(N,P,m,n)
poiss
rnd
(Lambda,m,n)
geo
rnd<
/p>
(P,m,n)
hyge
rnd
(M,K,N,m,n)
< br>
norm
rnd
(MU,SIGMA,m,n)
unif
rnd
(
A,B,m,n)
exp
rnd
(MU,m,n)
chi2
rnd(N,m,n)
t
rnd(N,m,n)
f
rnd(N1,
N2,m,n)
gamrnd(A, B,m,n)
betarnd(A, B,m,n)
lognrnd(MU,
SIGMA,m,n)
nbinrnd(R, P,m,n)
nctrnd(N,
delta,m,n)
ncx2rnd(N, delta,m,n)
raylrnd(B,m,n)
weibrnd(A,
B,m,n)
注
释
均匀分布（离散）随机数
参数为
N,
p
的二项分布随机数
参数为
Lambda
的泊松分布随机数
参数为
p
的几何分布随机数
参数为
M
，
K
，
N
的超几何分布随机数
参数为
MU
，
SIGMA
的正态分布随机数，
SIGMA
是标准差
[A,B]
上均匀分布
(
连续
)
随机数
参
数为
MU
的指数分布随机数
自由度为
N
的卡方分布随机数
自由度为
N
的
t
分布随机数<
/p>
第一自由度为
N1,
第二自由度为
N2
的
F
分布随机数
参数为
A,
B
的
分布随机数
参数为
A,
B
的
分布随机数
参数为
MU,
SIGMA
的对数正态分布随机数
参数为
R
，
P
的负二项式分布随机数
参数为
N
，
delta<
/p>
的非中心
t
分布随机数
< br>
参数为
N
< br>，
delta
的非中心卡方分布随机数
< br>
参数为
B
< br>的瑞利分布随机数
参数为
A,
B
的韦伯分布随机数
ncfrnd(N1, N2, delta,m,n)
参数为
N1
，
N2
，
delta
< br>的非中心
F
分布随机数
3
三、一维随机变量的概率分布
1.
离散型随机变量的分布率
(1)
0-1
分布
(2)
均匀分布
k
k
n
?
k
(3
)
二项分布：
binopdf(x,
n,p)
，若
X
~
B
(
n
,
p
)
，则
P
{
X
?
k
}
?
C
n
p
(1
?
p
)
，
x=0:9;n=9;p=0.3;
y=
binopdf(x,n,p);
plot(x,y,'b-',x,y,'r*')
y=[ 0.0404, 0.1556, 0.2668, 0.2668,
0.1715, 0.0735, 0.0210, 0.0039, 0.0004, 0.0000 ]
‘
当
n
较大时二项分布近似为正态分布
x=0:100;n=100;p=0.3;
y=
binopdf(x,n,p);
plot(x,y,'b-',x,y,'r*')
4
(4)
泊松分布：
piosspdf(x, lambda)
，若
X
~
?
(
?
)
，则
P
{
X
?
< br>k
}
?
?
k
e
?
?
k
!
x=0:9;
lambda
=
3
;
y=
poisspdf (x,lambda);
plot(x,y,'b-',x,y,'r*')
y=[
0.0498, 0.1494, 0.2240, 0.2240, 0.1680, 0.1008,
0.0504, 0.0216, 0.0081, 0.0027 ]
(5)
几何分布：
geopdf (x,
p<
/p>
)
，则
P
{
X
?
k
}
?
p
(1
?
p
)
k
?
1
x=0:9;p=0.3
y= geopdf(x,p);
plot(x,y,'b-',x,y,'r*')
y=[ 0.3000, 0.2100, 0.1470, 0.1029,
0.0720, 0.0504, 0.0353, 0.0247, 0.0173, 0.0121 ]
k
n
?
k
C
M
C
N
?
M
(6)
超几何分布：
hygepdf(x,N,M,
n)
，则
P
{
X
?
k
}
?<
/p>
n
C
N
5
x=0:10;N=20;M=8;n=4;
y= hygepdf(x,N,M,n);
plot(x,y,'b-',x,y,'r*')
y=[
0.1022, 0.3633, 0.3814, 0.1387, 0.0144, 0, 0, 0,
0, 0, 0 ]
2.
概率密度函数
?
1
?
(1)
均匀分布：
unifpdf(x,a,b)
，
f
(
x
)
< br>?
?
b
?
a
?
?
0
a
=0;b=1;x=a:0.1:b;
y= unifpdf (x,a,b); <
/p>
a
?
x
?
b
其它
?
2
(
x
?
?
)
2
1
< br>(2)
正态分布：
normp
df(x,mu,sigma)
，
f
(
x
)
?
e
2
?
2
??
1
x=-10:0.1:12;mu=1;
sigma=4;
y= normpdf(x,mu,sigma);
rn=10000;z= normrnd (mu,sigma,1,rn); %<
/p>
产生
10000
个正态分布的随机数
d=0.5;a=-10:d:12;
b=(hist(z,a)/rn)/d;%
以
a
为横轴，求出
10000
个正态分布的随机数的频率
plot(x,y,'b-',a,b,'r.')
1
x
?
1
?
?
?
e
(3)
指数分布：
exppdf(x,mu)
，
f
(
x
)
?
?
?
?
0
?
a
?
x
?
b
其它
x=0:0.1:10;mu=1/2;
6
y= exppdf(x,mu);
plot(x,y,'b-',x,y,'r*')
n
x
?
1
?
?
1
2
2
x
e
?
2
(4)
?
分布：
chi2pdf(x,n)
，
f
(
x
;
n
)
?
?
2
n
2
?
(
n
2)
?
0
?
x
?
0
x
?
0
hold on
x=0:0.1:30;
n=4;y=
chi2pdf(x,n);plot(x,y,'b');%blue
n=6;y=
chi2pdf(x,n);plot(x,y,'r');%red
n=8;y=
chi2pdf(x,n);plot(x,y,'c');%cyan
n=10;y=
chi2pdf(x,n);plot(x,y,'k');%black
legend('n=4', 'n=6', 'n=8', 'n=10');
(5)
t
分布：
tpdf(x,n)
，
f
(
x
;
n
)
?
?
< br>((
n
?
1)
< br>2)
?
x
?
?
1
?
?
n
?
n
?
?<
/p>
(
n
2)
?
2
?
n
?
1
2
hold on
x=-10:0.1:10;
n=2;y=
tpdf(x,n);plot(x,y,'b');%blue
n=6;y=
tpdf(x,n);plot(x,y,'r');%red
n=10;y=
tpdf(x,n);plot(x,y,'c');%cyan
7
n=20;y=
tpdf(x,n);plot(x,y,'k');%black
legend('n=2', 'n=6', 'n=10', 'n=20');
n
1
?
2
n
1
?
2
?
?
?
?
((
n
?
n
)
2)
< br>n
n
1
?
1
2
1
2
?
x
1
?
?
(6)
F
分布：
fpdf(x,n1,n2)
，
f
(
x
;
n
1
,
n
2
)
?
?
?
< br>(
n
2)
?
(
n
2)
?
n
?
1
2
?
2
?
?
n
2
?
0
?
?
n
1
?
n
2
2
?
< br>x
?
?
?
x
?
0
x
?
0
hold on
x=0:0.1:10;
n1=2; n2=6;y=
fpdf(x,n1,n2);plot(x,y,'b');%blue
n1=6;
n2=10;y= fpdf(x,n1,n2);plot(x,y,'r');%red
n1=10; n2=6;y=
fpdf(x,n1,n2);plot(x,y,'c');%cyan
n1=10; n2=10;y=
fpdf(x,n1,n2);plot(x,y,'k');%black
legend(' n1=2; n2=6', ' n1=6; n2=10', '
n1=10; n2=6', ' n1=10; n2=10');
3.
分布函数
F
(
x
)
?
P
{
X
?
x
}
【例
03.01
】求正态分布的累积概率值
设
X
~
N
(3,
2
)
，求
P
{2
?
X
?
5},
P
{
?
4
?
X
?
10},
P
{
X
?
2},
P
{
X
?
3
}
，
p1=normcdf(5,3,2)-
normcdf(2,3,2)=0.5328
p1=normcdf(1,0,1)- normcdf(-0.5,0,1)
=0.5328
p2=normcdf(10,3,2)-
normcdf(-4,3,2)=0.9995
p3=1-(normcdf(2,3,2)-
normcdf(-2,3,2))=
0.6977
8
2