-
边界元与有限元
边界元法
boundary element
method
定义：
将力学中的微分
方程的定解问题化为边界积分方程的定解问题，
再通过边
界的离
散化与待定函数的分片插值求解的数值方法。
所属学科：
水利科技
(
一级
学科
)
；
工程力学、
工程结构、
建筑材料
(
二级学
科
)
；
工程力学（水利）
(
三级学科
)
边界元法（
boundary
element method
）是一种继有限元法之后发展起来的一种
新数值方法，
与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，
边界元法是只
在定义域的边界上划分单元
,
用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界
元法与有限元相比，<
/p>
具有单元个数少
,
数据准备简单等优点<
/p>
.
但用边界元法解非线
性问题时，
遇到同非线性项相对应的区域积分，
这种积分在奇异点附近有强烈的<
/p>
奇异性，使求解遇到困难。
简介
边界元法是在有限元法之后发展起
来的一种较精确有效的工程数值分析方
法。又称边界积分方程
-
边界元法。它以定义在边界上的边界积分方程为控制方
程，
通过对边界分元插值离散，
化为代数方程组求解。
< br>它与基于偏微分方程的区
域解法相比，
由于降低了问题的
维数，
而显著降低了自由度数，
边界的离散也比
区域的离散方便得多，
可用较简单的单元准确地模拟边界形状，
最终得到阶数较
低的线性代数方程组。
又由于它利用微
分算子的解析的基本解作为边界积分方程
的核函数，
而具有解析
与数值相结合的特点，
通常具有较高的精度。
特别是对于
边界变量变化梯度较大的问题，
如应力集中问题，
或边界变量出现奇异性的裂纹
问题，
边界元法被公认为比有
限元法更加精确高效。
由于边界元法所利用的微分
算子基本解能
自动满足无限远处的条件，
因而边界元法特别便于处理无限域以及
半无限域问题。
边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本
解为前提，
对于非均匀介质等问题难以应用，
故其适用范围远不如有限元法广泛，
而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对
称满阵，
对解题规模产生较
大限制。
对
一般的非线性问题，
由于在方程中会出现域内积分项，
从而部分
抵消
了边界元法只要离散边界的优点。
边界元法的基础
边界元法是基于控制微分方程的基
本解来建立相应的边界积分方程，
再结合
边界的剖分而得到的离
散算式。
Jaswon
和
Symm
于
1963<
/p>
年用间接边界元法
求解了位势问题；
Ri
zzo[3]
于
1967
年用直接边界
元法求解了二维线弹性问题；
Cruse[4]
于
1969
年将此法推广到三维弹性力学问题。
197
8
年，
Brebbia
用加权
余量法推导出了边界积分方程，
他指出加权余量法是最普遍的数值方法，
如果以
Kelvin
解作为加权函数，
从加权余量法中导出的将是边界积分方程——边界元
法，
从而初
步形成了边界元法的理论体系，
标志着边界元法进入系统性研究时期。
< br>
边界元法的发展
经过近
4
0
年的研究和发展，边界元法已经成为一种精确高效的工程数值分
析方法。
在数学方面，
不仅在一定程度上克服了由于积分奇异
性造成的困难，
同
时又对收敛性、误差分析以及各种不同的边界
元法形式进行了统一的数学分析，
为边界元法的可行性和可靠性提供了理论基础。
在方法与应用方面，
现在，
边界
元法已应用到工程和科学的很多领域，
对线性问题，
边界元法的应用已经规范化；
对非线性问题，
其方法亦趋于成熟
。
在软件应用方面，
边界元法应用软件已由原
< br>来的解决单一问题的计算程序向具有前后处理功能、
可以解决多种问题的边界元<
/p>
法程序包发展。
我国约在
1978
年开始进行边界元法的研究，目前，我国
的
学者在求解各种问题的边界元法的研究方面做了很多的工作，
并且发展了相应的
计算软件，有些已经应用于工程实际问题，并收到了良好的效果。
有限单元法
有限单元法，
是一种有效解决数学问题的解题方法。
其基础是
变分原理和加权余
量法，
其基本求解思想是把计算域划分为有限
个互不重叠的单元，
在每个单元内，
选择一些合适的节点作为求
解函数的插值点，
将微分方程中的变量改写成由各变
量或其导数
的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，
借助于变分原理或
加权余量法，
将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插
值函数形式，
便构成
不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，
后来随着计算机的发展慢
慢
用于流体力学的数值模拟。
简介
<
/p>
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，
在每个单元内选择基函数，
用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，
整个
计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，
则整个计算域内的解
可以看作是由所有单元上的近似解构成。
在河道数值模拟中，
常见的有限元计算
方法是
由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、
最小二乘法等。
< br>根
据所采用的权函数和插值函数的不同，
有限元方法也分
为多种计算格式。
从权函
数的选择来说，有配置法、矩量法、最
小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的
形状来划分，
有三角形
网格、
四边形网格和多边形网格，
从插值函数的精度来划
分，
又分为线性插值函数和高次插值函数等。
不同的组合同样构成不同的有限元
计算格式。
对于权函数，
伽辽金
(Galerkin)
法是将权函数
取为逼近函数中的基函
数；
最小二乘法是令权函数等于余量本身
，
而内积的极小值则为对代求系数的平
方误差最小；在配置法中
，先在计算域内选取
N
个配置点。令近似解在选定的
N
个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为
0
。插值函数一般由
不同次幂的多项式组成，
但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，
但最
常用的多项式插值函数。
有限元插值函数分为两大类，
一类只要求插值多项式本
身在插值点取已知值，
称为拉格朗日<
/p>
(Lagrange)
多项式插值；
另一
种不仅要求插
值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特
(Hermite)
多
项式插值。
单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，
有对称和不对称等。
常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，
它的定义取决于单元的几何形
状，
一维
看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二
维有限元中，三角形单元
应用的最早，
近来四边形等参元的应用
也越来越广。
对于二维三角形和四边形电
源单元，常采用的插值
函数为有
Lagrange
插值直角坐标系中的线性插值函数及
二阶或更高阶插值函数、
面积坐标系中的线性插值函数、
二阶或更高阶插值函数
等。
其基本思路和解题步骤
(1)
建立积分方程，
根据变分原理或方程余量与权函数
正交化原理，
建立与微分方程初边值问题
等价的积分表达式，这
是有限元法的出发点。
(2)
区域单元剖分，
根据求解区域的形状及实际问题的
物理特点，将区域剖分为若干相互连接、
不重叠的单元。
区域单
元划分是采用有限元方法的前期准备工作，
这部分工作量
比较大
，
除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，
还要表示
节点的位置坐标，
同时还需要列出自然边界和本质边界
的节点序号和相应的边界
值。
(3)
确定单元基函数，
根据单元中节点数目及对近似解精
度的要求，
选择满足一定插值条件的插值
函数作为单元基函数。
有限元方法中的基函数是在单元中选取的，
由于各单元具
有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。
(4)
单元分析：
将各个单元中的求解函数用单元基
函数的线性组合表达式进行逼近；
再将近
似函数代入积分方程，
并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数
(
即单元中
各节点的参数值
)
的代数方程组，称为单元有
限元方程。
(5)
总体合成：
在得出单元有限元方程之后，
将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行
累加，形成总体有限元
方程。
(6)
边界条件的处理：
一般边界条件有三种形式，分为本
质边界条件
(
狄里克雷边界条件
)<
/p>
、自然
边界条件
(
黎曼边界条件
)
、混合边界条件
(<
/p>
柯西边界条件
)
。对于自然边界条件，<
/p>
一般在积分表达式中可自动得到满足。
对于本质边界条件和混合边
界条件，
需按
一定法则对总体有限元方程进行修正满足。
(7)
解有限元方程：
根据边界条件修正的总体有限元方
程组，是含所有待定未知量的封闭方程
组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点
的函数值。
有限元
有限元法（
< br>FEA
，
Finite Element Analys
is
）的基本概念是用较简单的问题代
替复杂问题后再求解。它
将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组
成，对每一单元假定一个合适的
(
较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的
满足条件
(
如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个
解不是准确解，而是
近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题
难以得到
准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之<
/p>
有效的工程分析手段。
简介
Finite Element
有限单元法是随着电子计算机的发
展而迅速发展起来的一种现代计算方法。
它是
50
年代首先在连续体力学领域
--
飞机结构静、动态特
性分析中应用的一种
有效的数值分析方法，
随后很快广泛的应用
于求解热传导、
电磁场、
流体力学等
连
续性问题。
有限元法分析计算的思路和做法可归纳如下：
1
）
物体离散化
将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称
作单元剖分。
离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性
质、
数目等应视问题的性质，
描述变形形态的需要和计算进度而
定
（一般情况单元划
分越细则描述变形情况越精确，即越接近实
际变形，但计算量越大）。所以有限
元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，
而是同新材料的由众多单元以一定
方式连接成的离散物体。
这样，
用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。
如
果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。
2
）
单元特性分析
A
、选择位移模式
在有限单元法中，选择节点位移作为基本未知量时称
为位移法；
选择节点力作为基本未知量时称为力法；
取一部分节点力和一部分节
点位移作为基本未知量时称为混合法。
< br>位移法易于实现计算自动化，
所以，
在有
限单元法中位移法应用范围最广。
当采用位移法时，
物体或结构物离散化之
后，
就可把单元总的一些物理量如位移，
应变和应力等由节点位移来表示。<
/p>
这时
可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函数予
以描述。
通常，
有
限元法我们就将位移
表示为坐标变量的简单函数。
这种函数称为位移模式或位移
函数
。
B
、分析单元的力学性质
根据单元的材料性质、形状、尺寸、节
点数目、
位置及其含义等，
找出单元节点力和节点位移的关系
式，
这是单元分析
中的关键一步。
此时
需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移
的方程式，从而导出单元刚度
矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。
C
、计
算等效节点力
物体离散化后，
假定力是通过节点从
一个单元传递到另一个单
元。但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边传递到另一
个单元中去的。
因而，
这种作用在单元边界上的表面力、
体积力和集中力都需要等效的移到节点
上去，也就是用等效的节点力来
代替所有作用在单元上的力。
3
）
单元组集
利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，
形成整体的有限元方程
（
1-1
）
式中，
K
是
整体结构的刚度矩阵；
q
是节
点位移列
阵；
f
是载荷列阵。
4
）求解未知节点位移
解有限元方程式（
1-1
）得出位移。这里，可以根据方程组的具体特点来选
择合适的计算方法。
通过上述
分析，可以看出，有限单元法的基本思想是
一分一合
，分是为了就进行单元分析，合则为了对整体结构进行综合分析。
有限元的发展概况
1943
年
courant
在论文中取定义在三角形域上分片连续
函数，<
/p>
利用最小势能原理研究
的扭转问题。
1960
年
clough
的平
面弹性论文中用“有限元法”这个名称。
1965
年
冯康发表了论文“基于
变分原理的差分格式”
< br>，
这篇论文是国际学术界承认我国独立发展有限元方法的
主要依据。
1970
年随着计算机和软件的发展，有限元发展起来。
涉及
的内容：有限元所依据的理论，单元的划分原则，形状函数
的选取及协调性。
有限元法涉及：数值计算方法及其误差、收敛性和稳定性。
应用范围：固体
力学、流体力学、热
传导、电磁学、声学、生物力学
求
解的情况：杆、梁、
板、壳、块体等各类单元构成的弹性（线性和非线性）、弹塑性或塑
性问题（包
括静力和动力问题）。能求解各类场分布问题（流体场、温度场、电磁场等的
稳
态和瞬态问题），水流管路、电路、润滑、噪声以及固体、流体、温度相互作用
的问题。
有限元法
有限元法英文名称：
finite element
method
定义：
一种将连续体离散化为若干个有限大小的单元体的集合，
以求解连续体力
学问题的数值方法。
< br>所属学科：
水利科技
(
一级学科
)
；
工程力学、
工程结构、
建筑材料
(
二级学科<
/p>
)
；
工程力学（水利）
(
三级学科
)
有限元法（
finite
element method
）是一种高效能、常用的计算方法。有限元
法在早期是以变分原理为基础发展起来的，
所以它广泛地应用于以拉普拉斯方
程
和泊松方程所描述的各类物理场中
（这类场与泛函的极值问题
有着紧密的联系）
。
自从
1969
年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法
(Ga
lerkin)
或最小二乘法等同样获得了有限元方程，
因而有
限元法可应用于以任
何微分方程所描述的各类物理场中，
而不再
要求这类物理场和泛函的极值问题有
所联系。基本思想：由解给定的泊松方程化为求解泛
函的极值问题。
原理
<
/p>
将连续的求解域离散为一组单元的组合体，
用在每个单元内假设的
近似函数
来分片的表示求解域上待求的未知场函数，
近似函数通
常由未知场函数及其导数
在单元各节点的数值插值函数来表达。
从而使一个连续的无限自由度问题变成离
散的有限自由度问题。
运用步骤
步骤
1
：剖
分
:
将待解区域进行分割，离散
成有限个元素的集合．元素
（单元）
的形状原则上是任意的．<
/p>
二维问题一般采用三角形单元或矩形单元，
三
维空间可采用四面体或多面体等．每个单元的顶点称为节点（或结点）．
步
骤
2
：单元分析
:
进行分片插值，即将分割单元中任意点的未知函数用该分
割单元中形状函数及离散网格
点上的函数值展开，即建立一个线性插值函数
步骤
3
：求解近似变分方程
用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单
元作分片插值求解各种力学、
物理问题的一种数值方法。
有限元法把连续体离散
成有限个单元：
杆系结构的单元是每
一个杆件；
连续体的单元是各种形状
（如三
角形、四边形、六面体等）的单元体。每个单元的场函数是只包含有限个待定节
点参
量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函
数。
根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，
求解此
离散方程组就得到有限元法的数值解。有限元法已被用于求解线性和非线性问
题，并建立了各种有限元模型，如协调、不协调、混合、杂交、拟协调元等。有
限元法十分有效、
通用性强、
应用广泛，
< br>已有许多大型或专用程序系统供工程设
计使用。
结合计算
机辅助设计技术，
有限元法也被用于计算机辅助制造中。
有
限单元法最早可上溯到
20
世纪
40
年代。
Courant
第一次应用定义在三角区域上
的分片连续函数和最小位能原理来求解
扭转问题。
现代有限单元法的
第一个成功的尝试是在
195
6
年，
Turner
、
Clough
等人在分析飞机结构时，
将钢
架位移法推广应用于弹性力学平面问题，
给出了用三角形单元求得平面应力
问题
的正确答案。
1960
年，
Clough
进一步处理了平面弹性问题，并第一次提出了
有限单元法
，
使人们认识到它的功效。
我国著名力学家，
教育家
徐芝纶院士
（河
海大学教授）首次将有限元法引入我国，对它的
应用起了很大的推动作用。
派生
<
/p>
从有限元的基本方法派生出来的方法很多，则称为三维单元。如有限条法、
边界元法、杂交元法、非协调元法和拟协调元法等，用以解决特殊的问题。
有限元分析
有限元分析（
FEA
，
Finite Element Ana
lysis
）利用数学近似的方法对真实物
理系统（几何和载荷
工况）进行模拟。还利用简单而又相互作用的元素，即单
元，就可以用有限数量的未知量
去逼近无限未知量的真实系统。
简介
有限元分析是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是由
许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元
假定一个合适的
(
较简单的）
近似解，
然后推导求解这个域总的满足条件
(
如结构的平衡条件），从而
得到问
题的解。
这个解不是准确解，
而
是近似解，
因为实际问题被较简单的问题所代替。
由于大多数实
际问题难以得到准确解，
而有限元不仅计算精度高，
而且能适应
各
种复杂形状，
因而成为行之有效的工程分析手段。
有限元是那些集合在一起
能够表示实际连续域的离散单元。
有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到
了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种
方法而被提出，
则是最近的事。
有限元法最初被称为
矩阵近似方法，
应用于航空
器的结构强度计算，
并由于其方便性、
实用性和有效性而引起从事力学研究的科
学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，
有限
元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，
成为
一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。
特点
有限元方法与其他求解边值问题近
似方法的根本区别在于它的近似性仅限
于相对小的子域中。
20
世纪
60
年代初首次提出结构力学计算
有限元概念的克拉
夫（
Clough
）
教授形象地将其描绘为：“有限元法
=Rayleigh Ritz
法＋分片函
数”，即有限元法是
Rayleigh
Ritz
法的一种局部化情况。不同于求解（往往是
< br>困难的）满足整个定义域边界条件的允许函数的
Rayleigh
Ritz
法，有限元法将
函数定义在简单几何形状<
/p>
（如二维问题中的三角形或任意四边形）
的单元域上
（分
片函数）
，
且不考虑整
个定义域的复杂边界条件，
这是有限元法优于其他近似方
法的原
因之一。
步骤
<
/p>
对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，
只是具体公式推导和运算求解不同。
有限元求解问题的基本步骤通常为：
第
一步：
问题及求解域定义：
根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区
域。
第二步：
求解域离散化：
将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的
有限个单元组成的离散域，
习惯上称为有限元网络划分。
显然单元越小
（网络越
细）则离散域的近似程度越好，计算
结果也越精确，但计算量及误差都将增大，
因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之
一。
第三步：
确定状态变量及
控制方法：
一个具体的物理问题通常可以用
一组包含问题状态变量边界条件的微
分方程式表示，
为适合有限
元求解，
通常将微分方程化为等价的泛函形式。
第
四步：单元推导：对单元构造一个
适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中