-
【解析】在直角三角形
ABC
中，易知
AC
1,cos
ABC
3
，由
BA
?
tBC
?
AC
，得
2
BA
2
2
tBA
BC
t
2
BC
2
AC
，即
< br>2
t
2
?
3
t
?
1
?
0
，解得
t
?
1
或
t
?
2
1
，故选
C
．
2
12.
已知
e
1
和
e
2
是平面上的两个单位向量，且
e
1
?
e
2
?
1
，
OP
?
me
1
,
OQ
?
ne
2
，若
O
为坐标原点，
m
,
n
均为正常数，则<
/p>
OP
?
OQ
?<
/p>
?
的最大值为
(
)
2
2
2<
/p>
A
．
m
2
?
n
2
?
mn
B
．
m
2
?
n
2
< br>?
mn
C
．
(
m
?
n
)
D
．
(
m<
/p>
?
n
)
【答案】
A
【解析】由
e
1
?
e
2
?
1
可得
e
1
?
e
2
?
?
2
1
?
1
?
e
1
?
e
2
?
?
，
< br>2
?
OP
?
OQ
?
?
2
?
me
1
?
ne
2
?
2
?
m
2
?
n
2
?
2
mn
e
1
?
e
2
?
m
2
?
n
2
?
mn
，所以
OP
?
OQ
的最大值为
?
?
2
m
2
?
n
2
?
mn
.
第
II
< br>卷（共
90
分）
二、填空题（本大题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分。把答案填
在题中的横线上。）
13.
【徐州市
高三上学期期中】如图，在半径为
2
的扇形
，则
的值为
______
．
中，
，
为
上的一点，若
【答案】
【解析】由
得
以
O
为坐标
原点
,OA
为
x
轴建立直角坐标系，则
14.
已
知在直角三角形
ABC
中，
?
ACB
?
90
?
，
AC
?
BC
?
2
，点
P
是斜边
AB
上的一个三等分点，则
CP
?
CB
?
CP
?
CA
?
．
【答案】
4.
【解析】由题意可建立如图所示的坐标系，可得
A
(
2
,
0
)
，
B
(
0
< br>,
2
)
，
P
(
,
)
或
P
(
,
)
，
?
?
?
2
4
4
2
所以可得
CP
?
(
,
)
或
CP
?
(
,
)
，
CA
?
< br>(
2
,
0
)
，
CB
?
(
0
,
2
)<
/p>
，
3
3
3
3
?
?
?
2
4
3
3
4
2
3
3
所以
CA
?
CB
?
(
2
,
0
)
?
(
0
,
2
)
?
(
2
,
2
)
，
?
?
?
2
< br>4
4
2
所以
CP
?
C
B
?
CP
?
CA
?
CP
?
(
CB
?
CA
)
?
(
,
)
?<
/p>
(
2
,
2
)
?
4
或
CP
?
(
CB
?
CA
)
?
(
,
)
?
< br>(
2
,
2
)
?
4
.
故
应
3
3
3
3<
/p>
?
?
?
?
?
?
?
填
4.
15.
已知
P
为等边三角形
ABC
内一点
,
且满足
PA
?
?
PB
?
< br>(1
?
?
)
PC
?
0
,
若三角形
PAC
与三角形
PAB<
/p>
的
1
面积之比为
3
,
则实数
?
的值为
________.
【答案】
1
2
【解析】
不妨设等边三角形
ABC
的边长为
2<
/p>
，以
BC
中点
O
为原点、
BC
为
x
轴，中线
AO
为
< br>y
轴，建立平面直
角坐标系，设点
P
x
,
y
，
则
PA
x
,
y
3
,
PB
x<
/p>
1,
y
,
PC<
/p>
x
1,
y
，代入
等式
PA
PB
1
PC
0
，得
x
1
,
y
2
2
3
，又
2
2<
/p>
l
AB
:
3
x
y
h
AC
3
3
0,
l
AC
:
3
x
y
3
1
3
0
，则三角形
PAC
与
PAB
的高分别为
1
，解得
3
1
.
2
1
或
2
1
，经检验当
4
,
h
AB
，由两个三角形面积比得
1
1
时，点
P
在三角形
ABC
外，不合题意，所以
4
16.
【全国名校大联考高三第二次联考】已
知
?
ABC
的三边垂直平分线交于点<
/p>
O
，
a
,
b
,
c
分别为内角<
/p>
A
,
B
,
C
的对边，且
c
2<
/p>
?
2
b
?
2
?
b
?
，则
AO
?
BC
的取值范围是
__________
．
【答案】
?
?
?
2
?
,
2
?
?
3
?
【解析】
如图，延长
AO
交
?
ABC
的外接圆与点
D
，连接
BD
,
CD
< br>，则
?
ABD
?
?
ACD
?
90
?
，
所以
AO
BC
?
AO
?
AC
?
AB
?
?
1
AD
AC
?
AB
2
?
?
1
1
AC
AD
cos
?
CAD
?
AB
AD
cos
?
BAD
2
2
1
?
(
b
2
?
c
2
)
,
2
?
又
c
?
2b
?
2
?
b
?
?
4b
?
2
b
,
2
2
把
代入
得
AO
BC
?
2
1
3
2
2
< br>3
b
2
?
4
b
?
(
b
?
)
2
?
,
2
2
3
3
?
?
又
c
?
2b
?
2
?
b
?
?
0
，所以
0
?
b
?
2
,
把
代入
得
AO
?
BC
的取值范围是
?
?
?
2
?
,
2
?
.
3<
/p>
?
?
三、解答题
（本大题共
6
小题，共
70
分
.
解答应写出文字说明
、证明过程或演算步骤
.
）
17.
（本小题
10
分）
△
ABC
中，
|AB|
＝
10
，
|AC|
＝
15
，∠
BAC
＝
?<
/p>
，点
D
是边
AB
的中点，点
E
在直线
< br>3
AC
上，且
AC
?
3
AE
，直线
CD
与
BE
相交于点
P
，求线段
AP
的
长
.
【答案】
37
【解析】如图，
A
E
D
B
P
C
AP
?
AB
?
BP
?
AB
?
?
BE
?<
/p>
AB
?
?
(
BA
?
AE
)
?
AB
?
?
(
?
AB
?
1
AC
)
?
(1
?
?
)
AB
?
?
AC
3
3
AP
?
AC
?
CP
?
AC
?
?
< br>CD
?
AC
?
< br>?
(
CA
?
AD
)
?
AC
?
?
(
?
AC
?
1
AB
)
?
(1
?
?
)
AC
?
AB
2
2
?
?
1
?
?
?
?
?
?
?
3
?
5
< br>,
即
AP
?
2
AB
?
1
AC
2
，解得
?
于是
?
?
5
5
?
?
?
1
?
?
?
?
?
4
?
5
?
3
∴
|
AP
|
2
?
1
(4
?
< br>|
AB
|
2
?
2
?
2
AB
?
AC
?
|
AC
|
2
)
＝
1
(4
?<
/p>
100
?
2
?<
/p>
2
?
10
?
15
?
1
?
225)
＝
37.
25
25
2
故
|
AP
|
?<
/p>
37
.
18.
（本小题
12
分）已知
?
ABC
是边长为
4
的正三角形，
D
、
P<
/p>
是
?
ABC
内部
两点，且满足
1
1
AD
?
(
AB
?
< br>AC
),
AP
?
AD
?
BC
，求
?
APD
的面积．
4
8
【答案】
3
.
4
19.
（本小题
12
分）在平面直角坐标系中，
O
为坐标原点，已知向量
a
?
?
?
1,2
?
，又点
A
?
8,0
?
，
B
?
n
,
t
?
C
?
k
sin
?
,
t
?
,(
0
?
?
?
?
2
).
(
Ⅰ
)
若
A
B
?
a
，且
A
B
?
5
OA
，
求向量
OB
；
(
Ⅱ
)
若向量
AC
与向量
a
共线，当
k
?
4
，且
t
sin
?
取最大值
4
时，求
OA
?
OC
.
【答案】（
1
）
?
OB<
/p>
?
?
24,8
?
或
OB
?
?<
/p>
?
8,
?
8
?
（
2
）
=
【解析】解
:
?
1
?
AB
?
?
n
?
8,
t
?
,
又
AB
?
a
?
8
?
n
?
2
t
?
0
2
AB
?
5
OA
,
?
5
< br>?
64
?
?
n
?
8
?
?
t
2
?
5<
/p>
t
2
,
得
t
?
?
8
?
OB
?
?
24,8
?
或
OB
?
?
?
8,
?
8
?
……………….5
?
2
?
AC
?
?
k
sin
?
?
8,
t
?
AC
与
a
向量共线
,
?
t
?
?
2
k
sin
?
?
16
…………….8
对称轴方程：
由
32
?
?
4
，得
k
?
8
，此时
?
?
,
OC
?
?
4,8
?
k
6
=
综上得
=32.
o
20.
（本小题
12
分）已知
?
ABC
中，<
/p>
AB
?
2,
AC
?
1,
?
BA
C
?
120
，
AD
为角分线．
< br>（Ⅰ）求
AD
的长度；
（Ⅱ）过点
D
作直线交
AB
,
AC
于不同两点
E
,
F
，且满足
AE
?
xAB
,
AF
?
y
AC
，求证：
1
2
?
?
3
．
x
y
【答案】（Ⅰ）
【解
析】
2
；（Ⅱ）详见解析．
3
BD
AB
?
?
2,
?
BD
?
2
DC
，
DC
AC
2
2
AB
2
AC
BC
?
AB
?
AC
?
AB
?
?
，
3
3
3
3
（
1
）由角分线定理可得
AD
?
AB
?
BD
?
AB
?
2
2
?
?
?
AB
2
AC
?
AB
4
AC
4
AD
?
?
?
?
< br>?
AB
?
AC
< br>?
?
3
?
9
9
9
?
3
?
8
4
8
4
?
1
?
4
?
AB
AC
cos120
?
?
?<
/p>
2
?
1
?
?
?
?
?
9
9
9
9
?
2
?
9
2
2
所以
|
AD
|
?
2
．
3
（<
/p>
2
）
AD
?
1
2
AB
2
AC
AE
2
AF
?
?
1
.
，所以
?
?
?
3
x
3
y
3
3
3
< br>x
3
y
21.
< br>（本小题
12
分）如图，平面直角坐标系
xOy
中，已知向量
AB
?<
/p>
(6,1)
，
BC
?
(
x
,
y
),
CD
?
(
?
2,
?
3)
，
且
BC
/<
/p>
/
AD
。
（
1
）求<
/p>
x
与
y
间的关系
；
（
2
）若
AC
?
BD
，
求
x
与
y
的值
及四边形
ABCD
的面积
.
【答案】（
1
）
x
?
2
y
?
0
；（
2
）
?
?
x
< br>?
2
?
x
?
?
6
或
?
，
S
四边形
A
BCD
?
16
.
?
y
?
?
1
?
y
?
3
【解析】
(1)
由题意得
AD
?
AB
?
BC
?
CD
?
(
x
?
4,
y
?
2)
，
BC
?
(
x
,
y
)
因为
BC
/
/
AD
，所以
(
x
?
4)
y
?
(
y
?
2)<
/p>
x
?
0
，即
x
?
2
y
?
0
①
(2)
由题意得
AC
?
AB
?
BC
?
(
x
?
6,
y
?
1)
，
BD
?
BC
?
CD
?
(
x
?
2,
y
?
3)
因为
AC
?
BD
，所以
AC
?
BD
?
0
即
(
x
?
6)(
x
?
2)
?
(
y
?
1)(
y
?
3)
?
0
，即
x
?
y
?
4
x
?
2
y
?
15
?
0
②
2
2
?
x
?
2
?
x
?
?
6
由
①②
得
?
或
?
y
?
?
1
y
?
3
?
?
当<
/p>
?
?
x
?
2
1
0)
，
BD
?
(0
，
?
4)
，则
S
四边形
ABCD
=
AC
BD
?
1
6
时，
AC
?
(8
，
2
?
y
?
?
1
?
x
?
?
6
1
4)
，
BD
?
(
?
8
，
0)
，则
S
四边形
ABCD
=<
/p>
AC
BD
?
16
当
?
时，<
/p>
AC
?
(0
，<
/p>
2
?
y
?
3
所以
?
?
x
?
2
?
x
?
?
6
< br>或
?
，四边形
ABCD
的面积为
16.
?<
/p>
y
?
?
1
?
y
?
3
22.
（本小题
12
分）
【
9 1
高中联盟期中联考】如下图，梯形
ABCD
，
DA
?
2
，
?
CDA
?
?
3
，
DA
?
2
CB
，
E
为
AB
中点，
DP
?
?
DC
?
0
?
?
?
1
?
．
（Ⅰ）当
?
?
1
时，用向量
DC
，
DA
表示的向量
PE
；
3
（Ⅱ）若
DC
?
t
（
t
为大于零的常数），求
PE
的最小值
并指出相应的实数
?
的值．
1
3
?
1
?
2
?
?
DC
?
DA
（Ⅱ）见解
析
2
4
1<
/p>
1
1
3
【解析】
试题分析：（Ⅰ）
PE
?
PA
?
PB
?
PD
?
DA
?
PC
?
CB
?
?
1
?
2
?
?
DC
?
< br>DA
2
2
< br>2
4
【答案】（Ⅰ）
?
?
?
?
1
3
9
1
?
< br>3
?
27
2
（Ⅱ）
PE
|
2
< br>?
?
1
?
2
?
?
DC
|
2
?
?
1<
/p>
?
2
?
?
DC
?
DA
?
|
DA
|
2
?
?
?
1
?
2
?
?
< br>t
?
?
?
，由
4
4
16
4
?
2
?
1
6
?
?
2
3<
/p>
3
3
3
1
3
，
?
?
0
?
?
?
1
，
?
t
?
?
1
?
2
?
?
t
?<
/p>
t
?
⑴
当
t
?
时，
|
PE
|
min
?
?
；⑵当
t
?
时，
4
2
4
t
2
2
|
PE
|
min
?
1
2
t
?
3
t
?
9
，此时
?
?
1
．
2
试题解析：
解：（Ⅰ）连
PA
,
PB
，则
1
1
PA
?
PB
?
PD
?
DA
?
PC
?
CB
2
2
1
3
< br>?
?
1
?
2
?
?
DC
?
DA
2
4
PE
?
?
?<
/p>
?
?
⑴
当
t
?
3
3
3
时，
|
PE
|
min
?
，
4
2
3
3
1
?
0
，
< br>?
?
?
；
2
4
t
2
3
1
2
⑵
当
t
?
时，
|
PE
|
min
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t
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3
t
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9
，此时
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1
．
2
2
< br>此时
?
1
?
2
?
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t
?
一、选择题：本小题共
8
小题，每小
题
5
分，共
40
分
.
1.
（
5
分）已知复数
z
满足（
3+4i
）
z=25
，则
z=
（
）
A.3
﹣
4i B.3+4i
C.
﹣
3
﹣
4i
D.
﹣
3+4i
2.
（
5
分）
已知集合
M{
﹣
1
，
0
，
1}
，
N={0
，
1
，
2}
，则
M
∪
N=
（
）
A.{0
，
1}
B.{
﹣
1
，
0
，
1
，
2}
C.{
﹣
1
，
0
，
2}
D.{
﹣
1
，
0
，
1}
3.
< br>（
5
分）若变量
x
，
y
满足约束条件
，且
z=2x+y
的最大值和最小值分别为
m<
/p>
和
n
，则
m
﹣
n=
（
）
A.5
B.6
C.7
D.8
﹣
=1
与曲线
﹣
=1
的（
）
4.
（<
/p>
5
分）若实数
k
满足
0
＜
k
＜
9
，则曲线
A.
焦距相等
B.
实半轴长相等
< br>C
.
虚半轴长相等
D
.
离心率相等
5.
（
5
分）已知向
量
=
（
1
，<
/p>
0
，﹣
1
），则
下列向量中与
成
60°
夹角的是（
）
A.
（﹣
1
，
1
，
0
）
B.
（
1
，﹣
1
，
0
）
C.
（
0
，﹣
1
，
1
）
D.
（﹣
1
，
0
，
1
）
6.
（
5
分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图<
/p>
1
和图
2
所示，
为了解该地区中小
学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取
2%
的学生进行调查，则样本容量和抽取的高
中生近视人数分别
为（
）
A.200
，
20
B.100
，
20
C.200
，
10
D.100
，
10
< br>7.
（
5
分）若空间中四条两两
不同的直线
l1
，
l2
，
l3
，
l4
，满足
l1
⊥
l2
，
l2
⊥
l3
，
l3
⊥
l4
，则下
列结论一定正确的是（
）
A.l1
⊥
l4
B.l1
∥
l4
C.l1
与
l4
既不垂直也不平行
D.l1
与
l4
的位置关系不确定
8.
（
5
分）设集合
A={
（
x1
，
x2
，
x3
，
x4
，
x5
）
|xi
∈
{
﹣
1
，<
/p>
0
，
1}
，
i={1
，
2
，<
/p>
3
，
4
，
5}
，那么
集合
A<
/p>
中满足条件
“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|
x5|≤3”
的元素个数为（
）
A.60
B.90
C.120
D.130
二、填空题：本大题共
5
小题，考生作
答
6
小题，每小题
5
< br>分，满分
25
分
.
（一）必做题
（
9~13
题
）
9.
（
5
分）不等式
|x
﹣
1|+|x+2|≥5
的解集为
.
10.
（
5
分）曲线
y=e
﹣
5x+2
在点（
0
，
3
）处的切线
方程为
.
11.
（
< br>5
分）从
0
，
< br>1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
8
，
9
中任取七个不同的数，则这七个数的中位
数是
6
的概率为
.
12.
< br>（
5
分）在
△
< br>ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对应的边分别为<
/p>
a
，
b
，
c
，已知
bcosC+ccosB=2b
，
则
=.
13.
（
5
分）若等比数列
< br>{an}
的各项均为正数，且
a10a11+a9a12
=2e5
，则
lna1+lna2+…+lna20=.
（二）、选做题（
14~15
题，考生只能从中选作一题）【坐标系与参数方程选做题】
14.
（
5
分）（极坐标与参
数方程）在极坐标系中，曲线
C1
和
C
2
的方程分别为
ρsin2θ=cosθ
和
ρsinθ=1.
以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
x
轴的正半轴，建立平面直角坐标
系，
则曲线
C1
和
C2
交点的直角坐标为
.
【几何证明选讲选做题】
15.
如图，在平行四边形
ABCD
中，点
E
在
AB
上且
EB=2AE
，
AC
与
DE
交于点
F
，则
=.
三、解答题：本大题共
6
小题，满分
80
分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
16.
（
12
分）已知函数
< br>f
（
x
）
=Asin
（
x+
（
1
）求
A
的值；
（
2
）若
f
（
θ
）
+f
（﹣
θ
）
=
，
θ
∈
（
0
，
），求
f
（
﹣
θ
）<
/p>
.
），
x
∈<
/p>
R
，且
f
（
）
=
.
17.<
/p>
（
13
分）随机观测生产某种零件的某工
作厂
25
名工人的日加工零件个数（单位：
件），获得数据如下：
30
，
42
，
41
，
36
，
44
，
40
，
37
，
37
，
25
，
45
，
29
，
43
，
31
，
36
，
49
，
34
，
33
，
43
，
38
，
42
，
32
，
34
，
46
，
39
，
36.
根据上述数据得到样本的频率
分布表如
下：
分组
[25
，
30]
（
30
，
35]
（
35
，
40]
（
40
，
45]
（
45
，
50]
频数
3
5
8
n1
n2
频率
0.12
0.20
0.32
f1
f2
（
1
）
确定样本频率分布表中
n1
，
n2
，
f1
和
f2
的值；
（
2
）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（
3
）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取
4
人，至少有
1
人
的日加工零件数落在区间
（
30
，
35]
的概率
.
18.
（
13
分）如图，四边形
ABCD
为正方形
.PD
⊥
平面
ABCD
，
∠
DPC=30°
，
AF
⊥
PC
于点
F
，
FE
∥
CD
，交
PD
于点
E.
（
1
）证明：
CF
⊥
平面
ADF
；
（
2
）求二面角
D
﹣
AF
< br>﹣
E
的余弦值
.
19.
（
1
4
分）设数列
{an}
的前
n
项和为
Sn
，满足
Sn=2nan+1
﹣
3n2
﹣
4n
，
n
∈
N*
，且
S3=15. <
/p>
（
1
）求
a1<
/p>
，
a2
，
a3<
/p>
的值；
（
2<
/p>
）求数列
{an}
的通项公式
.
20.
（
14
分）已知椭圆
C
：
（
1
）求椭圆
C
的标准方程；
（
2
< br>）若动点
P
（
x0
，
y0
）为椭圆
C
外一点，且点
P
到椭圆
C
的两条切线相互垂直，求点
P
的轨迹
方程
.
+
=1
（
a
＞
b
＞
0
）的右焦点为（
，
< br>0
），离心率为
.
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