-
三、计算题
1
、已知
x
(
n
)
解：
X
(
z
)
?
（
10
分）
?
a
n
u
(
n
),
0
< br>?
a
?
1
,
求
x
(
n
)
的
Z
变换及
收敛域。
?
a
u
(
n
)
z
n
n
?
??
?<
/p>
n
?
0
?
?
n
?
n
?
n
a
?
z
n
?
0
?
?
2
、设
x
(
n
)
求
?
1
n
(
a
z
)
?
?
1
|
z
|
?
|
a
|
1
?
az<
/p>
?
1
?
a
n
u
(
n
)
h
(
n
)
?
b
n
u
(
n
)
?
ab
n
?
1
u
(
n
?
1
)
y
(
n
)
?
x
(
n
)
?
h
(
< br>n
)
。
（
10
分）
z
，
< br>|
z
|
?
|
a
|
z
?
a
?
x
(
n
)
?
?
解：
X
(
z
)
?
?
H
(
z
)
?
?
?
h
(
n
)
?
?<
/p>
z
a
z
?
a
?
?
，
|
z
|
?
|
b
|
z
?
b
z
?
b
z
?
b
，
|
z
Y
(
z
)
?
X
(
z
)
H
(
z
)
?
< br>z
?
b
z
|
?
|
b
|
?
1
n<
/p>
?
?
y
(
n
)
?
x
(
n
)
?
h
(
n
)
?
?
Y
(
z
)
?
b
u<
/p>
(
n
)
其
z
反变换为
3
、写出图中流图的系统函数。
(10
分
)
?<
/p>
1
?
2
H
(
z
)
?
a
?
bz
?
cz
解：
2
?
3
z
?
1
H
(
z
)
?
1
?
4
< br>z
?
1
?
2
z
?
2
４、利用共轭对称性，可以用一次
DFT
运算来计算两个实数序列的
DFT
，因而可以减少计算
量。设都是
N
点实数序列，试用一次
DFT
来计算它们各自的
DFT
：
DFT
?
x
1
(
n
)
?
?
X
1
(
k
)
DFT
?
x
2
(
n
)
?
?
X
2
(
k
)
（
10
分）
。
解
:
先利用这两个序列构成一个复序列，即
w
(
n
)
?
x
1
(
n
)
?
jx
2
(
n
)
即
DFT
?
w
(
n
)
?
?
W
(
k
)
?
DFT
?
x
1
(
n
)
?
jx
2
(
n
)
?
?
DFT
?
x
1
(
n
)
?
?
jDFT
?
x
2
?
n
?
?
又
得
?
X
1
< br>(
k
)
?
jX
2
(
k
)
x
1
(<
/p>
n
)
?
Re
?
w
(
n
)
?
X
1
(
k
)
< br>?
DFT
{Re
?
w
(
n
)
< br>?
}
?
W
ep
(
k
)
1
*
?
W
(
k
)
?
W
((
N
?
k
))
N
R
N
(
k
)
< br>
2
?
?
1
X
2
(
k
)
?
DFT
{Im
?
w
(
n
)
?
}
?
W
op
(
k
)
同样
j
1
*
?
W
(
k
< br>)
?
W
((
N
?
k
))
N
R
N
(
k
)
<
/p>
2
j
?
?
所以用
DFT
求出
W
(
k
)
后，再按以上公式即可求得
X
1
(
k
)
与
X
2
(
k
)
。
5
、已知滤波器的单位脉冲响应为
结构。
（
10
分）
解：
ｘ（ｎ）
h
(
n
)
?<
/p>
0
.
9
n
R
5
(
n
)
求出系统函数，并画出其直接型
z
?
1
2
z
?
1
z
?
1
3
z
?
1
4
１
0
.
9
0
.
9
0
.
9
0
.
9
ｙ（ｎ）
６、略。
７、设模拟滤波器的系统函数为
2<
/p>
1
1
H
a
(
s
)
?
2
?
?
s
?
4
s
?
3
s
?
1
s
?
3
试利用冲激响应不变法，设计
IIR
数字滤波器。
（
10
分）<
/p>
T
T
H
(
z
)
?
?
解
?
1
?
T
1
< br>?
z
e
1
?
z
?
1
e
?
3
T
Tz
?
1
(
e
?
T
?
e
?
3
T
)
?
1
?
z
?
1
(
e
?
T<
/p>
?
e
?
3
T
)
?
z
?
2
e
?
4
T
设
T=1
，则有
H
(
z
)
?
0
.
3181<
/p>
z
?
1
1
?
0
.
4177
z
?
1
?
0
.
1831
z
?
2
2
H
a
(
j
?
)
?
(
3
?
?
2
)
?
j
4<
/p>
?
H
(
e
j
?
)
?
三
、
（
12
分）序列
x
(
n
)
为
0
.
3181
e
?
j
?
< br>1
?
0
.
4177
e
?
j
?
?
0
.
1831
e
?
j
2
?
x
(
n
)
?
?
(
n
)
?
2
?
(
n
?
1)
?
?
(
n
?
3)
< br>
1
、
画出序列
x
(
n
)
的图形；
2
< br>、计算线性卷积
x
(
n
)
?
x
(
n
)
；
3
、计算
5
点圆周卷积
x
(
n
)
○
5
x
(
n
)
。
4
、为了使<
/p>
N
点的
x
(
n
)
与
x
(
n
)
圆周卷积可以表
示其线性卷积，最小的
N
值为多少？
解：
1
、序列
x
(
n
)
的图
形如下：
（
2
分）
x
(
n
)
2
1
1
n
0
1
2
3
2
、
x
< br>(
n
)
?
x
(
n
)
?
?
(
n
)
?
4
?
(
n
?
1
)
?
4
?
(
< br>n
?
2
)
?
2
?
(
n
?
3
)
?
4
?
(
n
?
4
)
?
?
(
n
?
< br>6
)
={1
，
4
，
4
，
2
，
4<
/p>
，
0
，
1}
（
4
分）
3
、
x
(
n
)
○
5
x
(
n
)
?
?
< br>(
n
)
?
5
?
(
n
?
1
)
?
4
?
(
n
?
2
)
?
2
?
(
n
?
< br>3
)
?
4
?
(
n
?
4
)
={1
，
5
，
4
，
2
，
4}
（
4
分）
<
/p>
4
、为了使
N
点
的
x
(
n
)<
/p>
与
x
(
n
)
圆周卷积可以表示其线性卷积，最小的
N<
/p>
值为
4+4-1=7
（
2
分）
<
/p>
四
、
（
16
分）已知一个线性时不变因果系统，用下列差分方程描述：
y
(
n
)
?
3
1
1
y
(
n
?
1
)
?
y
(
n
?<
/p>
2
)
?
x
(
n
)
?
x
(
n
?
1
)
4
8
2
求该系统的系统函数
H(z)
，画出其极、零点图，并指出其收敛域。
2
、画出其直接Ⅰ型和Ⅱ型的实现结构。
3
、求该系统的单位脉冲响应
h
(
n
)
，并判断该系统是
FIR
系统还是
IIR
系
统？
1
?
1
z
2
解
:1<
/p>
、
H
(
z
)
?
(3
分
)
3
?
1
1
?
2
1
?
< br>z
?
z
4
8
1
1
1
极
点
:
z
?
,
z
?
零点
:
z
?
0
,
z
?
?
(2
分
)
4
2
2
1
收敛域
z
?
(
因系统是因果系统
)
(1
分
)
2
1
?
2
、直接Ⅰ型实现结构
(2.5
分
)
直接Ⅱ型实现结构
(2.5
分
)
1
?
1
z
1
4
?
3
2
3<
/p>
、
H
(
z
)
?
=
,
z
?
?
1
1
3
1
2
1
?
z
?
1
?
< br>z
?
2
1
?
z
?
1
1
?
z
?
1
2
4
4
8
1
n
1
n
系统的单位脉冲响应为
:
h
(
n
)
< br>?
[4(
)
?
< br>3(
)
]
u
(
n
)
(3
分
)
2
4
1
?
该系统是
IIR
系统
.
(2
分
)
五
、
（
15
分
）已知系统的单位取样响应
h
(
n
)
?
?
?
1
,
0
?
n
?
7
< br>?
0
,
其它
n
1
、
求该系统的频率响应即振幅、
相位。
并指出该系统属于哪一种类
型的线性相位
FIR
滤波
器？
2
、
求该系统的系统函数
H(z)
，画出
H(z)
的极点和零点，指出其收敛域。
3
、
试判断该系统是否是稳定系统？
4
、画出其横截型实现结构。
解
1
、系统的频率响应为
H
(
e
)
?
?
e
j
?
n
?
0
7
?
j
?
n
1<
/p>
?
e
?
j
8
?
sin(
4
?
)
?
j
2
?
< br>?
?
e
1
?
e
?
j
?
sin(
?
/
2
)
7
H
(
e
j
?
)
?
sin(
4
?
)
sin(
?
/
2
)
?
(
?
)
?
?
?
?
k
?
，
k
为整数。
（
3
分）
<
/p>
因系统单位脉冲响应的长度为
8
，且具有
偶对称特性，因此该系统属于第二种类型的线
性相位
FIR
滤波器。
（
2
分）
<
/p>
2
、系统函数
H(z)
< br>为
H
(
z
)
?
< br>7
2
?
z
n
?
0
7
?
n
?
1
?
z
?
?
?
z
?
1
?
7
1
?
z
< br>?
8
?
（
2
分）
<
/p>
1
?
z
?
1
j
2
?
k
8
H(z)
的极点
为
z
?
0
（<
/p>
7
阶）
，零点为
z
?
e
，
k
?
1
,
2
,
?
,
7
（
2
分）
H(z)
的收敛域为
z
?
0
（
1
分）
3
、系统函数
H(z)
的收敛域包括单位圆，所以系统是稳定的
（
2
分）
<
/p>
4
、该系统的横截型（即直接型或卷积型）结构如下图所示
（
3
分）
x
(
n
)
2
1
1
n
0
1
2
3
六、
（
10
分）设
H
a
(
s
)
?
2
，试用双线性变换法和脉冲响应不变法，将以上模拟
(
s
?
1
)(
s
?
3
)
系统函数转变为数字系统函数
H
(
z
)
，采样周期
T
?
2
。
解：双线性变换法：
（
5
分）
H
(
z
)
?
H
a
(
s
)
2
1
?
z
< br>?
1
T
1
?
z
?
1
?
2
1
?
z
?
1
1
?
z
?
1
(
?
1
)(
?
3
)
?
1
?
1
1
?
z
1
?
z
s<
/p>
?
1
?
2
z
?
1
?
z
?
2
?
?
1
2
(
2
?
z
)
脉冲响应不变法：
（
5
分）
H
a
(
s
)
?
2
1
1
?
?
(
s
?<
/p>
1
)(
s
?
3
)
s
?
1
s
?
3
T
T
T
(
< br>e
?
T
?
e
?
3
T
)
z
?
1
H
(
z
)
?
?
?
?
T
?
1
?
3
T
?
< br>1
?
T
?
3
T
?
1
?
4
T
?
2
1
?
e
z
1
?
e
z
1
?
(
e
< br>?
e
)
z
?
e
z
当采样周期
T
?
2
2
(
e
?
2
?
e
?
6
)
z
?<
/p>
1
H
(
z
)
?
< br>
1
?
(
e
?
2
?
e
?
6
)
z
?
1
?
e
?
8
z
?
2
七、
(12
分
)
有一连续信号
x
a
(
t
)
?
cos(
2
?
ft
)
，式中
f
?
50
Hz
，
1
、求出
x
a
(
t
)
的周期；<
/p>
?
a
(
t
)
的表达式；
<
/p>
2
、用采样间隔
T
?
0
.
002
s
对
x
a
(
t
)
进行采样，写出采样信号
x
?
a
(
t
)
的时域离散信号（序列）
x
(
n
)
，
并求出
x
(
n
)
的周期。
3
、
写出对应
x
4
、
若频谱分析时计算了
100
个采
样的
DFT
，试求频谱采样之间的频率间隔
F
。
解：
1
、
x
a
(
t
)
的周期是
T
a
?
1
?
0
.
02
s
(2
分
)
<
/p>
f
?
a
(
t
)
?
2
、
x
?
n
?
??
?
cos(
2
?
fnt
)
?
(
t
?
nT
)
?
=
n
?
??
?
cos(
100
?<
/p>
nT
)
?
(
t
?
nT
)
(3
分
)
3
、
因
T
?
0
.
002
s
,
则
x
(
n
)
?
cos(
0
.
2
?
n
)
(2
分
)
<
/p>
x
(
n
)
的数字频率为
?
?
0
.
2
?
，
2
?
?
?
10
周期
N
?
10
(3
分
)
<
/p>
f
s
1
1
?
?
?
5
Hz
(2
分
)
N
NT
100
?
0
.
002
八、
（
10
分）
1
、图
1
所示为时间抽取法蝶形运算流图，试写出
Y
1
(
k
)
和
Y
2
(
k
)
与
X
1
(
k
)<
/p>
和
X
2
(
k
)
的关系。
4
、
频谱
采样之间的频率间隔
F
?
2
、若
N
?
2
3
、
N
?
2
k
M
，请给出时间抽取法
FFT
总的复数乘法次
数和复数加法次数。
M
时，
DIT-
FFT
共需多少级分解？每级运算要计算的蝶形运算有多少个？
X
1
(
k
)
Y
1
(
k
)
X
2
(
k
)
W
N
k
?
1
Y
2
(
k
)
图
1
时间抽取法蝶形运算流图符号
解：<
/p>
1
、
Y
1
(
k
)
?
X
1
(
k
)
?
W
N
X
2
(
k
)
（
2
分）
Y
2
< br>(
k
)
?
X
1
(
k
)
?
W
N
X
2
(
k
)
（
2
分）
<
/p>
k
1
N
log<
/p>
2
N
（
1.5
分）
2
总的复数加法次数
A
F
?
N
log
2
N
（
1.5
分）
N
3
、
DIT-FFT
共需
M
级分解，每级运算要计算的蝶形运算有
个
.
（
3
分）
2
2
、总的复数乘法次数
M
F
?
四、简答题
（每题
< br>5
分，共
20
分）
1
．用
DFT
对连续信号进行谱分析的误差问题有哪些？
2<
/p>
．画出模拟信号数字化处理框图，并简要说明框图中每一部分的功能作用。
3
．简述用双线性法设计
I
IR
数字低通滤波器设计的步骤。
4
．
8
点序列的按时间抽取的（
DIT
）基
-2
FFT
如何表示？
五、计算题
（共
40
分）
z
2
,
1
．已知
X
(
z
)
?
(
z
?
1)(
z
?
2)
z
?
2
，求
x(n)
。
（
6
分）
2
．写出差分方程表示系统的直接型和级联
型结构。
（
8
分）
．．
y
(
n
)
?
3
1
1
y
(
n
?
1
)
?
y
(
n
?
2
< br>)
?
x
(
n
)
?
x
(
n
?
1
)
4
8
3
3
．计算下面序列的
N
点
DFT
。
（
1
）
x
(<
/p>
n
)
?
?
(
n
?
m
)
（
2
）
x
(
n
)
?
e
j
2
?
mn
N
(
0
?
m
?
N
)
(
0
?
m
?
N
)
（
4
分）
（
4
分）
<
/p>
4
．设序列
x(n)={1
，
3
，
2
< br>，
1
；
n=0,1,2,3
}
，另一序列
h(n) ={1
，
2
，
1
，
2
；
n=0,1,2,3}
，
（
1
）求两序列的线性卷积
y
L
(n)
；
（
4
分）
<
/p>
（
2
）求两序列的
6
点循环卷积
y
C
< br>(n)
。
（
4
分）
<
/p>
（
3
）说明循环卷积能代替线性卷积的条
件。
（
2
分）
5
．设系统由下面差分方程描述：
<
/p>
y
(
n
)
?
y
(
n
?
1
)
?
y
(
n
?
2
)
x
(
n
?
1
)
<
/p>
（
1
）求系统函数
H
（
z
）
；
（
2
分）
<
/p>
（
2
）限定系统稳定
，写出
H
（
z
）的收敛域，并求出其单位脉冲响应
h(n)
。
（
6
分）
．．
四、
简答题
（本题共
4
个小题，每小题
5
分，共
20
分）
答案：
1
.
答：混叠失真；截断效应（频谱泄漏）
；栅栏效应
2.
答：
第
1
部分：
滤除模拟信号高频部分；
第
2
部分：
模拟信号经抽样变为离散信号；
第
3
部分：
按照预制
要求对数字信号处理加工；
第
4
部分：
数字信号变为模拟信号；第
5
部分：滤除
高频部分，平滑模拟信号。
3.
答
：
确定数字滤波器的技术指标；
将数字滤波器的技术指标转变成
模拟滤波器的技术指
标；
按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通
滤波器；
将模拟低通滤波器转换成数字低通滤
波器。
4
．答：
五、计算题
（本题共
5
个小题，共
40
分）
本题主要考查学生的分析计算能力。
评分标准：
1.
所答步骤完整，答案正确，给满分；全错或不答给
0
分。<
/p>
2.
部分步骤正确、答案错误或步骤不
清、答案正确，可根据对错程度，依据答案评分点
给分。
3.
采用不同方法的，根据具体答题情况和答案的正确给分。
答案：
1
．解：由题部分分式展开
F
(
z
)
z
A
B
< br>?
?
?
z
(
z
?
1)(
z
?
2)
z
?
1
z
?
2<
/p>
求系数得
A=1/3
，
B=2/3
所以
F
(
z
)
?
1
z
2
z
（
3
分）
<
/p>
?
3
z
?
1
3
z
?
2
1
2
(
?
1)
k
?
< br>(
k
)
?
(2)
k
?
(
k
)
（
3
分）
<
/p>
3
3
收敛域
?<
/p>
z
?
>2
，故上
式第一项为因果序列象函数，第二项为反因果序列象函数，
则
f
(
k
)
?
2
．解：
(8
分
)
?
N
,
k
?
m
kn
X
(
k
)
?
W
3
．解：
（
1
）
（
4
分）
N
（
4
分）
（
2
）
X
(
k
)
?
?
0
,
k
?
m
< br>?
4
．解：
（
< br>1
）
y
L
(n)={1
，
5
，
9
，
10
< br>，
10
，
5
，
2
；
n=0,1,2
…
6}
（
4
分）
（
2
）
y
C
(n)= {3
< br>，
5
，
9
，
10
，
10
，
5
；
n=0,1,2,4,5}
（
4
分）
<
/p>
（
3
）
c
≥
L
1
+L
2
-1
（
2
分）
<
/p>
5
．解：
（
1<
/p>
）
H
(
z
)
?
z
（
2
分）
<
/p>
z
2
?
z
?
1
（
2
）
5
?
1
1
?
5
?
z
?
< br>
（
2
分）
；
2
2
h
(
n
)<
/p>
?
?
1
1
?
5
n
1
1
?
5
n
(
)
u
(
n
)
?
(
)
u
(
?<
/p>
n
?
1
)
（
4
分）
<
/p>
2
2
5
5
简答题：
1
．
在
A/D
变换之前和
D/A
< br>变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，
它们分别起什么
作用？
答：在
A/D
变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足
当采样频率一定时，
采样频率应大于等于信号最高频率
2
倍的条件。
此滤波器亦称位
“抗折
叠”滤波器。
在
D/A
变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保
持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。
2
．
何谓最
小相位系统？最小相位系统的系统函数
H
min
(
Z
)
有何特点？
解：一个稳定的因果线性移不变系统，其系统函数可表示成有理方程式<
/p>
H
(
Z
)
?
P
(
Z
)
?
Q
(
Z
)
< br>?
b
Z
r
r
?
0
N
k
?
1
M
?
r
1
?
?
a
k
Z
?
k
，
他的所有极点都应在单位圆内，
即
?
k
?
1
。
但零点
可
以
位
于
Z
平
面
的
任
何<
/p>
地
方
。
有
些
应
用
中
，
需
要
约
束
一
个
系
统
，
使
它
的
逆
系
统
G<
/p>
(
Z
)
?
1
H
(
Z
)
也是稳定因果的。这就需要
H
< br>(
Z
)
的零点也位于单位圆内，
即
?
r
?
1<
/p>
。一
个稳定因果的滤波器，
如果它的逆系
统也是稳定因果的，
则称这个系统是最小相位。
等价的，
我们有如下定义。
【定义】一个有理系统函
数，如果它的零点和极点都位于单位圆内，则有最小相位。
一个最
小相位系统可由它的傅里叶变换的幅值
H
(
e
jw
)
唯一确定。
从
e
程如下：
给定
e
jw
，
先求
e
jw
2
jw
求
H
(
Z
)
的过
，
它是
cos(
kw
)
的函数。<
/p>
然后，
用
1
k<
/p>
(
Z
?
Z
?
k
)
替代
cos(
kw
)
，
2
我们得到
G
(<
/p>
Z
)
?
H
(
Z
)
H
(
Z
?
1
)
。
最后，
最小相位系统由单
位圆内的
G
(
Z
)
的极、
零点形成。
一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通系统的乘积，即
H
(
Z
)
?
H
min
(
Z
)
H
ap
(
Z
)
完成这个因式分解的过程如下：
首先，
把
H
(
Z
)
的所有单位圆外的零点映射到它在单位圆内
的共轭倒数点，这样形成的系统函
数
H
min
(
Z
)
是最小相位的。然后，选择全通滤波器
H
ap
(
Z
)
，把与之对应的
H
min
(
Z
)
中的零点映射回
单位圆外。
3
．
何谓全通系统？全通系统的系统函数
H
ap
(
Z
)
有何特点？
解：一个稳定的因果全通系统，其系统函数
H<
/p>
ap
(
Z
)
对应的傅里叶变换幅值
H
(
e
jw
)
?
< br>1
，
该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数方程式
的零极点必须呈共轭倒数对出现，即
P
(
Z
)
H
a
p
(
Z
)
?<
/p>
?
Q
(
Z
)
?
b
Z
r
r
?
0
N
k
?
1
M
?
r
?
Z
?
1
?
?<
/p>
k
?
?
。因而，
如果在
Z
?
?
k
处有一个极点，
?
1
1
?
?
Z
k
?
1
k
N
1
?
?
a<
/p>
k
Z
?
k
?
?
k
则在其共轭倒
数点
Z
?
1
处
必须有一个零点。
4
．
有一线性时不变系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、系统（转移
）函数、差
分方程和卷积关系表达式。
x
?
n
?
h
?
n
?
y
?
n
?
解：
频率响应：
H
(<
/p>
e
j
?
)
?
?
h
(
n
)
e
?
j
?
n
?
?
?
?
系统函数：
H
(
Z
)
?
?
n
h
(
n
)
Z
?
?
?
差分方程：
Z
?
1
?
?
Y
(
Z
)
?
?
?
X
(
Z
)
?
卷积关系：
y
(
n
)
?
?
h
(
n
)
?
x
(
n
)
?
?
< br>?
二、离散时间信号与系统频域分析
计算题：
j
?
X
(
e<
/p>
)
，试求下列序列的傅里叶变换。
x
(
n
)
1
．设序列
的傅氏变换为
（
1
）
x
(
2
n
)
<
/p>
（
2
）
x
*
(
n
)
（共轭）
解：
（
1
）
x
(
2
n
)
由序列傅氏变换公式
DTFT
[
x
(
n
)]
可
以得到
DTFT
[
< br>x
(
2
n
)]
?
?
X
(
e
j
?
)<
/p>
?
n
?
??
?
j
?
n
x
(
n
)
e
?
?
< br>?
n
?
??
?
x
(
2
n
)
e
?
?<
/p>
jn
?
?
n
?
为偶数
?
x
(
n
?
)
e
?
j
?
n
?
2
< br>?
j
?
n
1
n
?
?
[
x
(
n
)
?
(
?
1
)
x
(
n
)]
e
2
n
?
??
2
?
< br>jn
?
?
j
(
?
?
)
n
1
?
1
?<
/p>
2
?
?
x
(
n
)
e
?
?
x
(
n
)
e
2
2
n
?
??
2
n
?
??
j
j
(
?
?<
/p>
)
1
1
2
?
X
(
e
)
?
X
(
e
2
)
2
2
?
?
j
j
1
?
X
(<
/p>
e
2
)
?
X
(
?
e
2
)
2
?
?
?
（
2
）
x
*
(
n
)
（共轭）
解：
DTFT
x<
/p>
*
(
n
)
?
n
?
??
?
?
x
*
(
n
)
e
< br>?
jn
?
?
[
?
x
(
n
)
e
jn
?
]
*
?
X
*
(
e
?
j
?
)
n
?
??
?
2
．
计算下列各信号的傅里叶变换。
< br>
1
(
)
n
u
[
n
?
2
]
（
a
）
2
u
[
?
n
]
（
b
）
4
n
1
n
n
(
)
（
c
）
?
< br>[
4
?
2
n
]
（
d
）
2
解：
（
a
）
X
(
?
)
?
?
n
?
??
< br>?
2
u
[
?
n
]
e
n
n
?
?
j
?
n
?
n
?
??
?
2
0
n
e
?
j
?
n
?
(
1
e
j
?
)
?
?
n
?
0
2
?
< br>1
1
j
?
1
?
e
2
?
1
n
1
n
?
j
?
n
?
j
?
n
（
）
u
< br>[
n
?
2
]
e
?
?
(
)
e
（
b
）
X
(
?
)
?
?
n
?
??
4
n
?
?
2
4
1
m
?
2
j
?
(
m
?
2
)
e
j
< br>2
?
?
?
(
)
e
?
1
6
1
4
m
?<
/p>
0
1
?
e
?
j
?
4
?
（
c
）
X
(
?
)
?
n
?
??
?
x
[
n
]
e
?
?
?
j
?
n
?
n
?
??
?
j
?
n
?
j
2
?
?
[
4
?
2
n
]
e
?<
/p>
e
?
?
?
（
d
）
X
(
?
)
?
1
n
?
j
?
n
1
1
（
）
e
?<
/p>
[
?
?
1
]
?
1
1
n
?
??
2
1
?
e
< br>?
j
?
1
?
e
j
?
2
2
利用频率微分特性，可得
?
d
X
(
?
)
X
(
< br>?
)
?
?
j
d
?
1
j
?
1
1
?
j
?
1
?
?
e
?
e
1
j
?
< br>2
2
1
2
(
1
?
e
)
(
1
?
e
?
j
?
)
2
2
2
jw
X
(
e
)
，求下列各序列的傅里叶变换。
x
< br>(
n
)
3
．
序列
的傅里叶变换为
*
x
（
1
）
(
?
n
)
（
2
）
Re[
x
(
n
)]
(3)
nx
(
n
)
解：
（
1<
/p>
）
n
?
??
?
?
x
?
*
(
?
n
)
e
?
jwn
?
n
?
??
?
[
x
(
?
n
)
e
?
?
?
jw
(
?
n
)
]
*
?
X
*
(
e
jw
)
1
(
n
)]
e
?
jwn
?
[
X
(
< br>e
jw
)
?
X
?
(
e
?
jw
)]
2
（
2
）
n
?
??
?
?
Re[
x
(
n
)]
e
?
jwn
?
jwn
?
?
n
?
??
?
2
[
x
(
n
)
?
x
1
?
（
3
）
n
?
??
?
nx
(
n
)
e
1
dx
(
n
)
e
?
jwn
d
?
dX
(
e
jw
)
?
jwn
?
?
?
?
j
x
(
n
)
e
?
j
?
j
dw
dw
n
?
??
dw
n
?
??
jw
X
(
e<
/p>
)
，求下列各序列的傅里叶变换。
x
(
n
)
4
．
序列
的傅里叶变换
为
?
2
x
(<
/p>
n
)
x
(
n
)
j
Im[
x
(
n
)]
（
1
）
（
2
）
(3)
解：
（
1
）
（
2
）
n
?
??
?
x
?
?
(
n
)
e
?
jwn
?
n
?
??
?
[
x
< br>(
n
)
e
?
?
j
(
?
w
)(
?
n<
/p>
)
?
]
?
[
?
x
(
n
)
e
?
j
(
?
w
)
n
]
?
?
X
?
(
e<
/p>
?
jw
)
n
?
??
?
?
1
1
?
?
?
jwn
?
jwn
[
x
(
n
)
?
x
(
?
n
)]
< br>e
?
[
?
x
(
n
)
e
?
?
x
?
(
n
)
e
?
jwn
]
?
2
n
?
??
n
?
??
2
n
?
??
?
1
?
?
?
?
jw
?
?
X
(
e
)
?
?
?
x
(
n
)
e
?
j
(
?
w
)
n
?
2
< br>?
?
n
?
??
?
?
?
（
3
）
?
?
?
?
?
1
X
(
e
jw
)
?
X
?
(
e
?
jw
)
2
?
?
?
n
?
??
?
x<
/p>
(
n
)
e
2
?
?
jwn
?
1
?
?
?
n
?
??
?
2
?
?
< br>?
?
?
X
(
e
)
d
?
j
?
?
j
(
w
?
?
)
n
?
x
(
n
)
e
< br>?
?
n
?
??
?
?
1
?
j
?
j
(<
/p>
w
?
?
)
X
(
e
)
X
(
e
)
d
?
?
?
?
2
?
1
?
X
(
e
j<
/p>
?
)
?
X
(
e
jw
)
2
?
?
jw
jw
X
(
e
)
X
(
< br>e
)
表示下面各序列的傅立
x<
/p>
(
n
)
5
．
令
和
表示一个序列
及其傅立叶变换，利用
叶变换。
（<
/p>
1
）
g
(
n
)
?
x
(
2
n
)
?
x
?
n
2
?
n
为偶数
（
2
）
g
(
n
)
?<
/p>
?
0
n
为奇数
?
解：
（
1
）
G
(
e
)
?
jw
n
?
??
?
g
(
< br>n
)
e
?
?
?
jnw
?
n
?
??
?
x
(
2
n
)<
/p>
e
?
?
jnw<
/p>
?
k
?
??
k
为偶数
k
?
x
(
k
)
e
?
k
?
j
w
2
< br>?
j
w
1
?
?
x
(
k
)
?
(
?
1
)
k
x
(
k
)
e
2
k
?
??
2
?
?
?
?
jk
?
jk
1
?
1
?
?
x
(
k
)<
/p>
e
2
?
?
x
(
k
)(
e
j
?
)
e
2
2
k
< br>?
??
2
k
?
??
j
?
jk
(
?
?
)
1
1
?
2<
/p>
2
?
X
(
e
)
?
?
x
(
k
)
e
< br>2
2
k
?
??
w
w
j
j
(
?
?
)<
/p>
?
?
1
1
?
X
(
e
2
)
?
X
?
e
2
?
2
2
?
?
w
w
j
j
?<
/p>
1
?
?
?
X
(
e
2
)
?
X
(
?
e
2
)
?
2
?
?
w
w
w
w
<
/p>
（
2
）
G
(
e
)
?
jw
n
?
??
?
g
(
n
)
e
?
?
jnw
?
r
?
??
?
g
(
2
r
)
e
?
?
j
2
rw<
/p>
?
r
?
??
?
x
(
r
)
e
?
?
jr
2
w
?
X
(
e
j
2
w
)
jw
X
(
e
)
，求下列序列的傅立叶变换。
x
(
n
)
6
．
设序列
傅立叶变换为
（
1
）
x
(<
/p>
n
?
n
0
)
n
0
为任意
实整数
（
2
）
g
(
n
)<
/p>
?
?
（
3
）
x
(
2
n
)
?
x
?
n
2
?
n
为偶数
n
为奇数
?
0
解：
（
1
）
X
(
e
)
?
e
jw
?
jw
n
0
（
2
）
x
(
n
)
n
为偶数
2
j
2
w
g
(
n
)
?
?
X
(
e
)
0
n
为奇数
（
3
）
x
(
2
n
)
?
X
(
e
jw
2
)
7
．
计算下列各信号的傅立叶变换。
1
(
)
n
?
u
(
n
?
3
)
?
u
(
n
?
2
)
?
（
1
< br>）
2
18
?
n
)
?
sin(
2
n
)
cos(
7
（
2
）
?
?
cos(
?
n
3
)
－
1
?
n
?
4
（
3
）
x
(
n
)
?
?
?
0
其它
?
?
j
kn
1
< br>【解】
（
1
）
< br>X
(
k
)
?
?
(
)
n
?
u
(
n
?
3
)
?
u
(
n
?
2
)
?
e
< br>N
n
?
??
2
?
2
?
1
n
?
j<
/p>
N
kn
?
1
n
?
j
N
kn
?
?
(
)
e
?
?
(
)
e
2
2
n
?
?
3
n
?
2
?
?
2
?
2
?
8
e
j
3
2
?
k
N
?
j
< br>2
?
k
N
1
1
?
e
2
?
1
4
e
?
j
2
2
?
k
N
?
j
2
?
k
< br>N
1
1
?
e
2
1
5
?
j
5
N
k
2
?
1
?
(
)
e
j
3
k
2
< br>
?
8
< br>e
N
2
?
?
j
k
1
1
?
e
N
2
2
?
18
?
n
)
和
sin(
2
n
)
的变换分别为
X
(
k<
/p>
)
和
X
(
k
)
，则
（
2
）假定
cos(<
/p>
1
2
7
X
1
(
k
)
?
?
18
2
?
18
?
2
?
?
?
(
k
?
?
?
2
k
?
)
?<
/p>
?
(
k
?
?
?
2
k
?
)
?
?
?
N
7
N
7
?
k
?
??
?
?
?
X
2
(
k
)
?
?
2
?
?
2
?
?
?
(
k
< br>?
2
?
2
k
?
)
?
?
(
k
?
2
?
2
k
?
)
?
?
N
?
j
k
< br>?
??
?
N
?
所以
X
(
k
)
?
X
1
(
k
)
?
X
2
(
k
)
?
?
18
2
?
18
2
?
?
?
2
?
?
?
(
k
?
< br>?
?
2
k
?
)
?
?
(
k
?
?
?
2
k
?
)
?
j
?
(
k
?
2
?
< br>2
k
?
)
?
j
?
(
k
?
2
?
2
k
?
)
?
?
N
7
?
N
7
N
N
< br>?
k
?
??
?
?
（
3
）
X
(
k
)<
/p>
?
n
?
?
4
?
cos
3
ne
?
4
?
?
jn
2
?
k
N
2
?
?
j
n
?
jn
k
1
j
3
n
3
?
?
(
e
?
e
)
e
N
n
?
?
4
2<
/p>
4
?
1
j
4
(
N
k
?
3
)
9
j
(
3
< br>?
N
k
)
n
1
j
4
(
N
k
?
3
)
9
j
(
3
?
N
)
n
?
e
e
< br>?
e
e
?
?
2
2
n
?
0
n
?
0
2
?
?
?
2
?
2
?
?
?
2
?
< br>
1
?
e
2
2
?
?
j
4
(
k
?
)
N
< br>3
1
?
e
1
?
e
?
2
?
j
(
?
k
)
9
3
N
?
2
?
j
(
?
k
< br>)
3
N
1
?
e
2
2
?
?
j
4
(
k
?
)
N
3
1
?
e
1
?
e
?
< br>2
?
9
j
(
?
k
)
3
N
?
2
?
j
(
?
k
)
3
N
8
．求下列序列的时域离散傅里叶变换
?
x
(
?
n
)
，
Re
?
x<
/p>
(
n
)
?
，
x
0
(
n
)
?
?
?
j
?
(
?
n
)
?
解：
?
x
(
?
n
)
?
?
?
x
(
?
n
)
e<
/p>
?
?
X
?
(
e
j
?
)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Re<
/p>
?
x
(
n
)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
x
(
n
)
?
x
?
(<
/p>
n
)
e
?
j
?
n
?
X
(
e
j
?
)
?
X
?
(
e
?
j
?
)
?
X<
/p>
e
(
e
j
?
)
2
2
?
?
?
?
?
x
?
?
0
(
n
)
e
?
j
?<
/p>
1
?
?
?
x
(
n
)
?
x
?
(
?
n
)
e
?
j
?
n
?
j
Im
X
(
e
j
?
)
2
?
?
?
?
?
?
、离散傅立叶级数
计算题：
1
．
如果
x
(
n
)
是一个周期为
N
的周期序列，
那么它也是周期为
2N
的周期序列。
把
x
(
n
)
看
~
~
~
~
~
x
(
n
)
?<
/p>
X
(
k
)
1
作周期为
N
的周期
序列有
（周期为
N
）
< br>；
把
x
(
n
)
看作周期为
2N
的周期序列
~
~
~
~
x
(
n
)
?
X
(
k
)
X
（
k
）
X
2
2<
/p>
k
）
1
有
（周期为
2N
）
；试
用
表示
（
。
N
?
1
N
?
1
?
j
kn
~
kn
~
~
解：
X
1
(
k
)
?
?
x
(
n
)
W
N
?
?
< br>x
(
n
)
e
N
n
?
0
n
?
0
2
?
2
N
?
1
N
?
1
2
N
?
1
?
j
n
?
< br>j
n
~
kn
~
~
~
N
2
N
2
X
2<
/p>
(
k
)
?
?
x
(
n
)
W
2
N
?
?
x
(
n
)
e
?
?
x
(
n
)<
/p>
e
n
?
0
n
?
0
n
?
N
2
?
k
2
?
k
对后一项令
n
?
?
n
?
N
，则
N
?
1
N
?
1
?
j
n
?
j
(
n
?
?
N
)
~
~
N
2
X
2
< br>(
k
)
?
?
x
(
n
)
e
?
?
~
x
(
n
?
?
N
)
e
N
2
n
< br>?
0
n
?
?
0
2
?
k
2
?
k
?
(
1
?
e
?
jk
?
)
?
~
x
(
n
)
e
n
?
0
N
?
1
?
j
2
?
k
n
N
2
< br>~
k
?
(
1
?
e
?
j
k
?
)
X
(<
/p>
)
2
~
k
?
k
为偶数
?
2
X
所以
X
2
(
k
)
?
?
1
< br>(
2
)
k
为奇数
?
?
0
计算题
8
．
令
X
(
k
)
表示
N
点的序列
x
(
n
)
的
N
点离散傅里叶变
换，
X
(
k
)
本身也是一个
N
点的序
列。如果计算
X
(
k
)
的离散傅里叶变换得到一序列
x
1
(
n
)
< br>，试用
x
(
n
< br>)
求
x
1
(
n
)
。
解：
x
1
(<
/p>
n
)
?
因为
?
X
(
k
)
W
k
?
0
N
?
< br>1
nk
N
N
?
1
N
?
1
?
k
n
?<
/p>
?
nk
k
(
n
?
n
?
)
?
?
?
?
x
(
n
< br>?
)
W
N
?
W
N
?
?
x
(
n
?
)
?
W
N
k
?
0
?
n
?
?
< br>0
n
?
?
0
k
?
0
?
N
?
1
N
?
1
?
W
k
?
0
N
?
1
k
(
< br>n
?
n
?
)
N
n
?
n
?
?
Nl
?<
/p>
N
?
?
其他
?<
/p>
0
所以
x
1
(
n
)
?
?
Nx
(
?
n
?
Nl
)
?
Nx
((
?
n
))
N
R
N
(
n
)
n
?
N
?
1
1
,<
/p>
1
,
0
,
0
?
，其
4
点
DFT
9
．序列
x
(
n
)
?
?
x
?
n
?
x
(
< br>k
)
如下图所示。现将
X
?
k
?
x
(
n
)
按下列（
1
）
，
（
2
）
，
（
< br>3
）的方法扩展成
8
点，求它们
8
点的
DFT
？（尽量利用
DFT
的特性）
n
k
n
?
0
~
3
?
x
(
n
)
y
1
(
< br>n
)
?
?
?
x
(
n
?
4
)
n
?
4
~
7
（
1
）
n
?
0
~
3
?
< br>x
(
n
)
y
2
(
n
)
?
?
?
0
n
?
4
~
7
（
2
）
?
n
?
偶数
?
x
(
n
2
)
y
3
(
n
)
?
?
?
?<
/p>
0
n
?
奇数
<
/p>
（
3
）
解：
（
1
）
Y
1
?
2
k
?
?
2
X
< br>?
k
?
,
0
?
k
?
3
Y
1
?
2
k
?
1
?
?
0
（
2
）
Y
2
< br>?
k
1
?
?
X
?
?
k
1
?
?
?
X
?
k
?
,
k
1
?
2
k
,
0
< br>?
k
1
?
7
,
0
?
k
?
3
?
2
?
（
3
）
Y
3
?
k
1
?
?
X
?
< br>?
k
1
?
?
4
?
X
?
k
?
0
?
k
1
?
7
,
0
?
k
?
3
,
k
< br>?
k
1
mod
< br>4
10
．
设
x
(
n
)
是一个
2N
点的序列，具有如下性质：
另设<
/p>
x
1
(
n
)
x
(
n
?
N
)
?
x
(
n
)
N
点
DFT
为
X
1
(
k
)
，求
x
(
n
)
的
2N
点
DFT
X<
/p>
(
k
)
和
?
x
(
n
)
R
N
(
n
)
，它的
X
1
(
k
)
的关系。
解：
X
?
k
?
?
2
X
1
?
?
推导过程略
11
．试求以下有限长序列的
N
点
DFT
（闭合形式表达式）
（
1
）
x
(
n
)
?
< br>a
R
N
(
n
)
解：
（
1
）因为
x
(
n
)
n
?<
/p>
k
?
?
2
?
（
2
）
x
(
n
)
?
nR
N
(
n
)
?
a
n
R
N
(
n
)
，所以
X
(
k
)
?
?
a
n<
/p>
e
n
?
0
N
?
1
?
j
2
?
nk
N
?
1
?
< br>a
N
1
?
ae
?
j
2
?
k
N
（<
/p>
2
）由
x
(
n
)
?
nR
N
(
n
)
，得
nk
X
(
k
)
?
?
nW
N
R
< br>N
(
k
)
n
?
0
N
?
1
(
n
?
1
)
k
W
X
(
k
)
?
?
nW
N
R
N
(
k
)
k
N
n
?
0
N<
/p>
?
1
X
(
k
)(
1
?
W
)
?
(
?
nW
k
N
n
?
0
N
?
1
nk
N
(
n
?
1
)
k
?
?
nW<
/p>
N
)
R
N
(
k
)
n
?
0
N
?
1
k
2
k
3
k
(
N
?
1
)
k
2<
/p>
k
3
k
(
N
?
1
)
k
?
W
N
?
2
W
N
?
3
W
N
?
?
?
(
N<
/p>
?
1
)
W
N
?
(
W
N
?
2
W
N
?
?
?
(
N
?
2
)
W
N
?
N<
/p>
?
1
)
R
N
(
k
)
nk
?
(
?
(
N
?
1
< br>)
?
?
W
N
)
R
N
(
k
)
n
?
1
k
?
W
N
?
1
?
?
?
?
(
< br>N
?
1
)
?
R
(
k
)
?
?
NR
N<
/p>
(
k
)
k
?
N
1
?
W
N
?
?
?
?
N
?
1
所以
X
(
k
)
?
?
N
R
N
(
k
)
k
1
?
W
N
12
．计算下列序列的
N
点
DFT
：
n
?
P
116
?
（
1
）
x
(
n
)
?
a
,
0
?
n
?
N
< br>?
1
（
2
）
x
(
n
)
?
cos
?
N
?
1
n
?
0
?
< br>2
?
?
nm
?
，
0
?
n
?
N
，
0<
/p>
?
m
?
N
?
N
?
解：
（
1
）
X
(
k
)
< br>?
?
a
W
n
N
?
1
n
k
N
1
?
a<
/p>
N
W
N
NK
1
?
a
N
，
0
?
k
?
N
?
1
< br>
?
?
k
k
1
?
aW
N
1
?
aW
N
2
?
2
?
2
?
j
mn
?
j
mn
?
?
j
nk
?
2
?
?
nk
1
N
?
1
< br>?
N
N
N
?
?
mn
?
W
N
?
?
?<
/p>
e
?
e
e
（
2
）
X
(
k
)
?
?
cos
?
?
N
2
?
?
n
?
0
n
?<
/p>
0
?
?
?
?
1
?
1
?
e
?
j
2
?
(
k
?
m
)
1
?
e
?
j
2<
/p>
?
(
k
?
m
)
?
?
?
?
2
?
2
?
?
?
j
(
k
?
m
)
?
j<
/p>
(
k
?
m
)
?
2
?
1
?
e
N
?
1
?
e
N
?
?
N
?
1
N
?
1<
/p>
1
?
e
j
?
(
k
?
m
)
?
e
?
j
?
(
k
?
m
)
?
j
N
(
k<
/p>
?
m
)
?
e
j
?
(
k
?
m
)
?
e
?
j
?
(
k
?
m
)
?
j
N<
/p>
(
k
?
m
)
?
?
?
?
e
?
?
e
?
?
?
j
(
k
?
m
)
j
(
k<
/p>
?
m
)
?
j
(
k
?
m
)
2
?
j
N
(
k
?
m
)
?
e
N
e
N
?<
/p>
e
N
?
e
N
?
1
N
?
1
?
?
1
?
sin((
k
?
m
)
?
)
?
j
N
(
k
?
m
)
?
sin
?
(
k
?
m
)<
/p>
?
?
?
j
N
(
k
?
m
)
?
?
?
e
?
e
?
2
?
sin
(
k
?
m
)
?
?
si
n
(
k
?
m<
/p>
)
N
N
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
N
,
k=m
或
k=-m
2
=
0,
其它
13
．
已知一个有限长序列
x
(
n
)
?
?
(
n
)
?
2
?
(
n
?
5
)
（
1
）
求它的
10
点离散傅里叶变换
X
(
k
)
< br>
2
k
（
2
）
已知序列
y
(
n
)
的
10
点离散傅立叶变换为
Y
(
k
)
?
W
10
X
(
k
)
，求序列
y
(
n
)
（
3
）
已知序列
m
(
n<
/p>
)
的
10
点离散
傅立叶变换为
M
(
k
< br>)
?
X
(
k
)
Y
(
k
)
，求序列
m
(
n
)
解；
（
1
）
X
(
k
)
?
?
x
(
n
)
W
n
?
< br>0
5
k
10
N
?
1
nk
N
nk
?
?
?
?
(
n
)<
/p>
?
2
?
(
n
?
5
)
?
W
10
n
?
0
9
< br>=1+2
W
=1+2
e
k
?
j
2
?
5
k
10
=1+2
(
?
1
)
，
k
< br>?
0
,
1
,...,
9
2
< br>k
（
2
）由
Y
(
k
)
?
W
10
X
(
k
)
可以知道，
y
(
n
)
是
x
(
n
)
向右循环移位
2
的结果，即
y
(
n
)
?
x
?
(
n
?
2
)<
/p>
?
10
?
?
(
n
?
2
)
?
2
?
(
n
?
7
< br>)
（
3
）由
M
(
k
)
?
X
(<
/p>
k
)
Y
(
k
)
可以知道，
m<
/p>
(
n
)
是
x
(
n
)
与
y
(
n
)
的
10
点循环卷积。
一种方法是先计算
x
(
n
)
与
y
(
n
)
的线性
卷积
u
(
n
)
?
x
(
n
)
?
y
(
n
)
?
l
< br>?
??
?
x
(
l
)
y
(
n
?
l
)<
/p>
?
=
?
0
,
0
,
1
,
0
,
0
,
0
,
0
,
4
,
0
,
0
,
0<
/p>
,
0
,
4
?
然后由下式得到
10
点循环卷积
?
?
?
m
(
n
)
?
?
?
u
(
n
?
10
l
)
?
R
10
(
n
)
?
?
0
,
0
,
5
,
0
,
0
,
0
,
0
,
4
,
0
,
0
< br>?
?
5
?
(
n
?
2
)
?
4
?
(
n
?
7
)
?
l
?
??
?
另一种方法是先计算
y
(
n
)
的<
/p>
10
点离散傅立叶变换
N
?
1
9
Y
(
k
)
?
?
y
(
n<
/p>
)
W
nk
?
?
?
?
?
n
?
2
?
?
2
?
?
< br>n
?
7
?
?
W
nk
2
k
7
k
N
10
?
W
10
?<
/p>
2
W
10
n
?
0
n
?
0
再计算乘积
M
(
k
)
?
X
(
k
)
Y
(
k
< br>)
?
?
1
?
2
W
5
k
??
2
k
7<
/p>
k
10
W
10<
/p>
?
2
W
10
?
?
W
2
k
W
7
k
7
k
12
k
10
?
2
10
?
2
W
10
?
< br>4
W
10
?
5
W
2
k
7
k
10
?
4
W
10
由上式得到
m
(
n
)
?
5
?
?
n
?
2
?
?
4
?
?
n
?
7
?
< br>14
．
（
1
）已知序列：
x
(
n
)
?
sin
?
?
2
?
?
< br>N
n
?
?
?
，
0
?
n
?
N
?
1
，求
x
(
n
)
的
N
点
DFT
。
（
2
）
已
知
序
列
：
x
(
n
)
?
?
1
，
n
?<
/p>
0
,
1
,
2
0
，其它
，
则
x
(
n
)
的
9
点
DFT
2
?
sin
?
?
?
?
X
(
k
)
?
e
?
j
9
k
?
3
k<
/p>
?
?
，
k
?
0
,
1
,
2
,...,
8
正确否？用演算来证明你的结论。
?
P
sin
?
345
?
?
?
?
?
9
k
?
?
N
?
1
2
?
解：
（
1
）
X
(
k
)
?
?
sin
?
?
2
?
n
?
?
?
j
kn
n
?
0
?
N
?
e
N
2
?
2
?
2
?
1
N
?
1
?
j<
/p>
n
?
j
n
?
?
j
?
kn
2
j
?
?
e
N
?
< br>e
N
?
e
N
n
?
0
?
?
?
?
2
?
2
?
?
1
N
?
1
?
2
j
< br>?
?
e
j
N
(
1
?
k
)
n
?
e
?
j
N
(
1
?
k
)
n
?
?
< br>n
?
0
?
?
?
?
?
j
N
2
,
k
?
1
=
j
N
2
,
k
?
?
1
0
，
其它
e
?<
/p>
j
?
6
?
3
k
?
j
?
?
2
9
k
?
e
3
k
?
e
?
j
?
3
k
?<
/p>
?
（
2
）
X
(
k
)
?
?
e
?
j
2
?
9
kn
?
1
?
e
?
j
2
?
?
?
?
?
n
?
0
1
?
e
?
j
9
k
e
?
< br>j
?
9
k
?
?
?
?
j
?
e
9
k
?
e
?
j
9
k
?
?
?
?
?
< br>是
e
?
j
2
?
k
9
?
?
?
sin
?
k
?
?
3
?
< br>，
K
?
0
,
1
,...,
8
< br>
?
?
?
sin
?
k
?
?
9
?
可见，题给答案是正确的。<
/p>
15
．一个
8
点序列
x
(
n
)
的
8
点离散
傅里叶变换
X
(
k
)
如图
5.29
所示。在
x
(
n
)
的每两个取样
值之间插入一个零值，得到一个
16<
/p>
点序列
y
(
n<
/p>
)
，即
x
?
?
n
?
?
，
n
为偶数
2
?
?
y
(
n
)
?
0
，
n
为奇数
（
1
）求
y<
/p>
(
n
)
的
16
点离散傅里叶变换
Y
(
k
)
，并画出
< br>Y
(
k
)
的图形。
（
2
）设
X
(
k
)
的长度
N
为偶数，且有
X
(
k
)
?
X
(
N
?
1
?
k
),
k
?
0
,
1
,...,
N
?
N
?
?
1
，求<
/p>
x
?
?
。
2
2
?
?
X
?
k
?
4
3
2
1
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
解：
（
1<
/p>
）因
n
为奇数时
y
(
n
)
?<
/p>
0
，故
Y
(
k
)
?
?
y
(
n
)
W
n
?
< br>0
15
nk
16
?
?
n
?
nk
x
?
?
W
16
?
n
?
0
,
2<
/p>
,...
?
2
?
14
?
m
?
0
?
x
(
m
)
W
7
mk
8
，
0
?
k
?
15
?
7
?
?
x
(
m
)
W
8
mk
,
0
< br>?
k
?
7
另一方面
X
(
k
)
?
?
m
?
0
?
0
,
其它
?
?
7
?
?
x
(
m
)
W
8
m
(<
/p>
k
?
8
)
,
8
?
k
?
15
因此
X
(
k
?
8
)
?
?
m
?
0
< br>?
0
,
其它
?
?
7
?
?
x
(
m
)<
/p>
W
8
mk
,
0
?
k
?
15
?
?
m
?
0
?
0
,
其它
?
?
7
?
?
x
(
m
)
W
8
mk
,
0
?
k
?
15
所以
Y
(
k
)
?
?
m
?
0
?
0
< br>,
其它
?
0
?
k
?
7
?
X
(
k
),
?
?
?
X
(
k
?
8
),
8
?
k
?
15
?
0
,
其它
?
按照上式可画出
Y
(
k
)
的图形，如图
5
.34
所示。
Y
(
k
)
?
?
2
?
1
0
1
2
3
< br>4
5
6
7
8
9
?
k
1
6
．计算下列有限长序列
x
(
n
)
的
DFT
，假设长度为
N
。
<
/p>
n
x
(
n
)
?
a
（
1
）
0
?
n
?
N
?
1
1
,
2
,
?
< br>3
,
?
1
?
（
2
）
x
(
n
)
?
?
解：
（
1
）
X
(
k
)
?
?
a
W
n
n
?
0<
/p>
N
?
1
nk
N
k
?
?
aW
N
n
?
0
N
?
1
?
?
n
k
1
?
aW
N
?
k
1
?
aW
N
3
?
?
N
1
?
a
N
?
0
?
k
?
N
?
1
k
1
?
aW
N
(2)
X
(
k
)
?
< br>nk
x
(
n
)
W
?
4
n
?
0
?
W
4
0
?
2
W
4
k
?
3
W
4
2
k
< br>?
W
4
3
k
?
1
?
2
W
?
3
W
?
W
k
k
k
4
k
2
3
k
4
k
< br>
?
1
?
2
(
?
j
)
?
3
(
?
1
< br>)
?
j
(
0
?
k
?
3
)
17
．
长度为
8
的有限长序列
x
(
n
)
的
8
点
DFT
为
X
(
k
)
，长度为
16
的一个
新序列定义为
x
(
)
n
?
0
,
2
,...
1
4
y
(
n
)
?
0
n
?
1
,
3
,...,
15
<
/p>
试用
X
(
k
)
来表示
Y
(
k
)
?
DFT
?
y
(
n
)
?
。
解：
Y
(
k
)
?
n
2
?
y
(
n
)
W
n
?
0<
/p>
7
15
nk
16
7
?
?
y
(
2
r
)
W
r
?
0
2
rk
16
(
2
r
?
< br>1
)
k
?
?
y
(
2
r
?
1
)
W
16
r
?
0
?
?
x
(
r
)
W
8
rk
(
k
?
0
,
1
,...,
15
)
<
/p>
r
?
0
7
而
X
(
k
)
?
?
x
(
n
)
W
n
?
0
7
nk
8
7
)
(
k
?
0
,
1
,...,
7
时，
Y
(<
/p>
k
)
?
X
(
k
)
；当
k
?
8
,
9
,...,
15
时，令<
/p>
k
?
l
?
8
(
l
?
0
,
1
,...,
7
)
，得
因此，当<
/p>
k
?
0
,
1
,...,
到：
Y
(
l
?
8
)
?
?
x
(
r
)
W
r
?
0
7
< br>r
(
l
?
8
)
8
?
?
x
(
r
)
W
8
rl
?
X
(
l
)
r
?
0
7
即
Y
(
k
)
?
X
(
k
?<
/p>
8
)
7
于是有
X
(
k
)
k
?
0
,
1
,...,
Y
(
k
)
?
X
(
k
?
8
)
k
?
8
,
9
,...,
15
n<
/p>
?
0
,
1
?
2
?
18
．
若
x
(
n
)
?
?
< br>1
n
?
2
,
N
?
4
?
0
n
?
3
?
试
计
算
x
(
n
)
的
离
散
傅
< br>里
叶
变
换
X
(
k
)
的
值
(
k
?
0
,
1
,
2
,
3
)
。
【解】
X
(
n
)
?
?
x
(
k
)
W
k
?
0
3
< br>4
?
1
kn
N
所以
<
/p>
X
(
0
)
?
?
x
(
k
)
W
k
?
0
kn
N
0
0
0
?
2
W
N
?
2
W
N
?
1
W
N
?
0<
/p>
?
5
X
(
1
)
?
?
x
(
k
)
W
k
?
0
3
3
kn
N
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2
W
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2
W
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1
W
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0
?
2
?
2
e
0
N
1
N
< br>2
N
?
j
2
?
4
?
e
?
j
2
?
2
4
?
2
?
2
e
?
j
?
2
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< br>e
?
j
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kn
0
2
4
X
(
2
)<
/p>
?
?
x
(
k
)
W
N
?
2
W
N
?
2
W
N
?
1
W
N
?
0
?
2
?<
/p>
2
e
?
j
?
?
e
?
j
2
?
k
?
0
X
(
3
)
?
?
x
(
k
)<
/p>
W
k
?
0
3
kn
N
?
2
W
?
2
W
?
1
W
< br>?
0
?
2
?
2
e
0
N
3
N
6
N
?
j
3
?
2
?
e
?
j
3
?
证明题：
19
．
设
X
(
k
)
表示长度为
N
的有限长序列
x
(
n
)
的
DFT
。
（
1
）
证明如果
x
(
n<
/p>
)
满足关系式
x
(
n
)
?<
/p>
?
x
(
N
?
1
?
n
)
则
X
(
0
)
?
0
证明当
N
为偶数时，如果
（
2
）
x
(
n
)
?
x
(
N
?
1
?
n
< br>)
则
X
(
N
)
?
0
2
nk
X<
/p>
(
k
)
?
?
x
(
n
)
W
N
n
?
0
N
?
1
2
n
?
0
N
?
1
解<
/p>
（
1
）
0
X
(
0
)
?
?
x
(
n
)
W
< br>N
?
?
x
(
n
)
?
n
?
0
n
?
0
N
?
1
N
?
1
?
x
(
n
)
< br>?
?
x
(
N
?
1
?
n
)
n
?
N
2
N
?
1
令
N
?
1
?
n
?
< br>m
X
(
0
)
?
?
x
(
n
)
?
n
?
0
N
?
1
2
?
x
(
m
)
< br>
n
?
N
?
1
2
0
显
然可得
X
(
0
)
?
0
N
?
1
N
?
1
N
jk
?
?
?
x
(
n
)(
?
1
)
n
（将
n
分为奇数和偶数两部分表示）
（<
/p>
2
）
X
(
)
?
?
x
(
n
)
e
2
n
?
0
n
?
0
N
?
1
2
r
?<
/p>
0
N
?
1
2
r
?
0
?
?
x
(
2
r
)(
?
1
)
2
r
?
?
x
(
2
r
?
1
)(
?
1
)
2
r
?
1
N
?
1
2
r
?
0
N
?
1
2
r
?
0
< br>
?
?
x
(
2
r
)
?
?
x
(
2
< br>r
?
1
)
N
?
1
2
r
?
0
N
?
1
2
r
?
< br>0
?
?
x
(
N
?
1
?
2
r
)
?
?
x
(
< br>2
r
?
1
)
?
令
N
?
1
?
2
r
?
2
k
?
1
?
0
N
?
1
2
r
?
0
?
?
x
(
2
r
< br>?
1
)
?
?
x
(
2
r
?
1
)
k
?
N
2
显然可得<
/p>
X
(
N
)
?
0
2
简答题：
21
．在离散傅里叶变换中引起混迭效应的原因是什么？怎样才能减小这种效应？
解：
因为为采样时没有满足采样定理
减小这种效应的方法：采样时满足采样定理，采样前进行滤波，滤去高于折叠频率
f
s
2
的
频率成分。
22
．试说
明离散傅里叶变换与
Z
变换之间的关系。
解：离散傅立叶变换是
Z
变换在单
位圆上的等间隔采样。
证明题：
4
．试证
N
点序列
x
?
n
?
的离散傅立叶变换
X
?
k
?
满足
Parseval
恒
等式
1
N
?
1
x
[
n
]
?
?
X
[
k
]
?
N
m
?
< br>0
k
?
0
N
?
1
2
2
1
证：
N
m
?
0
?
N
?
1
1
X
[
m
]
?
N
< br>1
?
N
N
?
1
2
m
?
0
?
X
[
m
]
X
*
[
m
]
N
?
1
k
< br>?
0
mk
*
N
N
?
1
m
?
0
*
?<
/p>
X
[
m
](
?
x
[
k
]
W
N
?
1
m
?
0
< br>N
?
1
)
1
?
?
x
[
k
]
N
k
?
0
N
?
1
k
?
< br>0
*
?
X
[
m
]
W
N
?
1
k
?
0
?
mk
N
2
?
?
x
[
k
]
x
[
k
]
?
?
x
[
k
]
5
．
x<
/p>
(
k
)
和
X
(
n
)
是一个离散傅里叶变换对，试证明离散傅里叶变换的对称性：
1
X
(
k
)
?
x
(
?
n
)
N
< br>
证明略。
6
．
x
(
n
)
长为
N
的有限长序列，
即
x
e
(
n
),
x
o
(
n
)
分别为
x
(
n
)
的圆周共轭偶部及奇部，也
1
x
e
(
n
)
?
x
e
*
(
N
?
n
)
?
[
x
< br>(
n
)
?
x
*
(
N
?
n
)]
2
<
/p>
1
x
o
(
n
)
?
?
x
o
*
(
N
?
n
)
?
[
x
(
n
)
?
x
*<
/p>
(
N
?
n
)]
2
证明：
DFT
[
x
e
(
n
)]
?
Re[
X
(
K
)]
D
FT
[
x
o
(
n
)]
?
j<
/p>
Im[
X
(
K<
/p>
)]
1
1
x
(
n
)
?
x
*
(
N
?
n
)
< br>?
[
x
(
n
)
?
x
*
(
N
?
n
)]
?
[
x
(
n
)
?
x
*
((
?
n
))
N
]
证
e
e
2
2
?
[
X
(
k
)
?
X
*
(
k
)]
?
Re[
X
(
k
)]
1
1
< br>x
o
(
n
)
?
?
x
o
*
(
N
?
n
)
?
[
x
(
n
)
?
x
*
(
< br>N
?
n
)]
?
[
x
(
n
)
?
x
*<
/p>
((
?
n
))<
/p>
N
]
2
2
1
?
[
X
(
k
)
?
X
*
(
k
)]
?
j
Im[
X
(
k
)]
2
7
．
若
DFT
[
x
(
n
)]
1
2
?
X
(
k
),
求证
DFT
[
X
(
n
)]
?
Nx
((<
/p>
?
k
))
N
1
x
(
n
)
?
证：
N
?
kn<
/p>
X
(
k
)
W
（
1
）
?
N
k
?
0
N
?
1
kn
X
(
k
)
?
?
x
(
n
)
W
N
（
2
）
k
?
0
N
?
1
由（
2
）
X
(
k
)
?
kn
x
< br>(
n
)
W
?
N
，将
k
与
n
互换，则有
k
?
0
N
?
1
kn
X
(
n
)
?
?
x
(
k
)
W
N
（这应该是反变换公式）
n
?
0
N
?
1
1
?
N
1
?
N
kn
Nx
(
k
)
W
代替
k
，且求和取主值区）
?
N
（用
?
k
?
k
?
0
N
?
1
?
Nx
(<
/p>
?
k
?
)
W
k
?
0
N
?
1
?
k
?
n
N
与（
1
）比较
所以
X
(<
/p>
n
)
?
Nx
((
?
k
))
N
1
X
((
?
n
)
N
)
R
N
(
n
)
。
N
8
．若
x
(
n
)
?
IDFT
?
X
(
k
)
?
，求
证
IDFT
?
x
(
k
)
?
?
1
x
(
k
)
?
?
证
：
IDFS
?
~
N
x
(
k
)
W
?
~
k
?
0
N
?
1
?
kn
N
?
1
N
?
1
~
?
rk
?
?
kn
X
(
r
)
W
?
N
?
W
N
?
< br>N
?
k
?
0
?
r
?
0
?
N
?
1
N
?
1
1
~
k
(
?
r
?
n
)
< br>?
2
?
X
(
r
)
?
W
N
N
r
?
0
r
?
0
1
?
N
而
N
?
r
?
n
?
lN
N
?
1
k
?
0
N
?
1
?
W
k
(
?
r
?
n<
/p>
)
N
?
（
l
为整数）
0
?
r
?
n
?
lN
1
~
1
~
X
(
?
lN
?
n
)
?
< br>N
?
X
(
?
n
)
2
N
N
1
~
1
X
(
?
n
)
R
N
(
n
)
?
< br>X
((
?
n
)
N
)
R
N
(
n
)
于是
IDFT
?
x
(
k
)
?<
/p>
?
N
N
x
(
k
)
?
?
所以
IDFS
?
~
9
．令
X
(
k
)
表示<
/p>
N
点序列
x
(<
/p>
n
)
的
N
点
DFT
，试证明：
（
a
）
如果
x
(
n
)
满足关系式
x
(<
/p>
n
)
?
?
x
(
N
?
1
?
n
)
，则
X
(
0
< br>)
?
0
。
（
b
）
当
N
为偶数时，如果
< br>x
(
n
)
?
x
(
N
?
1
?
n
)
，则
X
(
nk
证：
X
(
k
)
?
?
x
(
n
)
W
N
(
k
?
0
,
1
,
.
.
N
.
,
?
< br>1
)
n
?
0
N
?
1
N
)
?
0
。
2
（
a
）
X
(
0
)
?
?
x
(
n
)
n
< br>?
0
N
?
1
N
为偶数：
X
(
0
)
?
?
x
(
n<
/p>
)
?
?
x
(
N
?
1
?
n
)
n
?
0
n
?
0
N
?
1
2
N
?
1<
/p>
2
?
?
?
x
(
n
)
?
x
(
N
?
1
?
n
< br>)
?
n
?
0
N
?
1
2
?
?
?
x
(
n
)
?
x
(
n
)
?
?
0
n
< br>?
0
N
?
1
2
N
为
奇数：
X
(
0
)
?
N
?
1<
/p>
?
1
2
n
?
0
?
x
(
n
)
?
N
?
1
)
?
2
N
?
1
?
1
2
n<
/p>
?
0
?
x
(
N
?
1
?
n
)
?
x
(
N
?
1
)
2
?
x
(
N
?<
/p>
1
?
1
2
n
?
0
?
?
x
(
n
)
?
x
(
N
?
1
?
n
)
?
N<
/p>
?
1
)
?
?
?
x
(
n
)
?
x
(
n
)
?
2
n
?
0
N
?
1
N
?<
/p>
1
?
x
(
)
?
0
?
x
(
)
2
2
?
x
(
而
x
(
n
)
中间的一项应当满足：
N
?
1
?
1
2
N
?
1
< br>N
?
1
n
?
1
)
?
?
x
(
N
?
1
?
)
?
?
x
(
)
2
2
2
< br>n
?
1
因此必然有
X
(
)
?
0
2
x
(
这就是说，当
N
为奇数时，也有
X
(
0
)
?
0
。
N
?
1
N
?
1
n
N<
/p>
2
（
b
）当
N
为偶数：
X
(<
/p>
)
?
?
x
(
n
)
W
N
?
?
x
(
n
)(
?
< br>1
)
n
2
n
?
0
n
?
0
N
?
?
x
(
n
)(
?
1
)
n
?
0
N
?
1
2
n
?
?
x
(
N
?
1
?
n
)(
?
1
)
N
?
1
?
n
n
?
0
N
?
1
2
?
?
< br>x
(
n
)(
?
1
)
n
?
0
N
?
1<
/p>
2
n
?
(
?
1
)
N
?
1
?
x
(
n
)(
?
< br>1
)
?
n
n
?
0
N
?
1
N
?
1
2
当
N
为偶数时，
N
?
1
为奇数，故
(
?
1
)
N
?
1
2
N
?
1
2
?
?
1
；又由于
(
?
1
)
?
n
?
(
?
1
)
n
,
故有
X
(
N
)
?
?
x
(
n
)(
?
1
)
n
?
?
x
(
n
)(
?
1
)
n
?
0
2
n
?
0
n
?
0
10
．设
DFT
?
x
(
n
)
?
?
X
(
k
)
，求证
DFT
?
X
(
k
)
?
Nx
(
N
?
n
)
?
。
?
k
(
N
?
n
)
nk
?
W
N
【
解
】因为
W
N
1
根据题意
x
(
n
)
?
N
?
X
(
k
)
W
k
?
0
< br>N
?
1
k
?
0
N
?
1
?
nk
N
Nx
(<
/p>
N
?
n
)
?
?
k
(
N
?
n
)
nk
?
W
N
< br>因为
W
N
?
k
(
N
?
n
)
X
(
k
)
W
?
N
所以
Nx
(
N<
/p>
?
n
)
?
?
X
(
k
)
W
k
?
0
N
?
1
?
kn
N
?
X
(
k
)
?
?
D
F
T
11
．证明：若
x
(
n
)
为实
偶对称，即
x
(
n
)
?
x
(
N
?
n
)
，则
X
(
k
)
也为实偶对称。
【解】
根据题意
X
(
k
)
?
N
?
1
n
?
0
?
x
< br>(
n
)
W
n
?
0
(
?
n
)(
?
k<
/p>
)
N
N
?
1
nk
N
?
x
(
N
?
n
)
W
?
x
(
N
< br>?
n
)
W
n
?
0
N
?
1
nk
再利用
W
N
的周期性质
(
N
?
n
)(
N
?
k
)
N
1
下面我们令
N
?
n
?
m
进行变量代换，则
X
(
k
)
?
m
?
N
?
x
(
m
)
W
(
< br>N
?
k
)
m
N
又因为
x
(
n
)
为
实偶对称
,
所以
x
(
0
)
?
x
(
N
)
?<
/p>
0
，所以
(<
/p>
N
?
k
)
0
(
N
?
k
)
m
(
N
?
k
)
0
?
x
(
N
)
W
N
?<
/p>
x
(
0
)
W
N
x
(
0
)
W
N
可将上式写为
X
(
k
)
?
?
x
(
m
)
W
m
?
1
< br>N
N
(
N
?
k
)
m
N
(
N
?
k
)
0
?
x
(
0
)
W
N
?
m
?
0
N
?
x
(
m
)
W
(
N
< br>?
k
)
m
N
?
m
?
0
?
x
(
m
)
W
?
x
(
m
< br>)
W
(
N
?
k
)
m
N
N
?
1
(
N
?
k
)
m
N
(
N
?
k
)
N
< br>?
x
(
N
)
W
N
?
N
?
1
(
N
?
k
)
m
N
< br>m
?
0
所以
X
(
k
)
?
即证。
m
?
0
?
x
(
m
)
W
?
X
(
N
< br>?
k
)
注意：若
x
(
n
)
为奇对称，即
x
(
n
)
?
?
< br>x
(
N
?
n
)
，则
X
(
k
)
为纯虚数并且奇对称，证明方法
同上。
计算题：
12
．
已知
x
(
n
)
?
n
?<
/p>
1
(
0
?
n
?
3
),
y
(
n
)
?
(
?
1
< br>)
(
0
?
n
?
3
)
，
用圆周卷积法求
x
(
< br>n
)
和
y
(
n
)
的
线
性卷积
z
(
n
)
。
n
1<
/p>
,
2
,
3
,
4
?
0
?
n
?
3
，
y
(
n
)
?
?
1
,
?
< br>1
,
1
,
?
1
?
0
?
n
?
3
解：
x
(
n
)
?
?
因为
x
(
n
)
的长度为
N
1
?
4
,
y
(
n
)
的长度为
N
2
?
< br>4
所以
z
(
n
)
?
x
(
n
)
?<
/p>
y
(
n
)
的长度为
N
?
N
1
?
N
2
?
1
?
7
,
故应求周期
N
?
7
的圆周卷
积
x
(
n
)
?
y
(
n
)
的值，即
?
N
?
1
~
?
< br>z
(
n
)
?
x
(
n
)
?
y
(
n
)
?
?
?
x
(
m
)
~
y
(
n
< br>?
m
)
?
?
R
N
(
n
)
?
m
?
0
?
1
,
1
,
2
,
2
,
?
< br>3
,
1
,
?
4
?
,
0
?
n
?
6
所以
z
(
n
)
?
x
(
n
)
?
y
(
n
)
?
?
13
．
序列
a
(
n
)
为
1
,
2<
/p>
,
3
，序列
b<
/p>
(
n
)
为
3
,
2
,
1
。
（
1
）求线性卷积
a
?
n
?
?
b
?
n
?
< br>（
2
）若用基
2
FFT
的循环卷积法（快速卷积）来得到两个序列的线性卷积运算结果，
FFT
至少应取多少点？
?
?
?
?
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