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概率统计练习四——期望与方差
1.
给出如下叙述：①某座大桥一天经过的车辆数为
ξ
；②某无线电台一天收到的寻呼次数
为
ξ
< br>；③一天之内的温度为
ξ
；④一射手射击
,
击中目标得
1
分
,
未击中目标得
0
分
,
用
ξ
表
示射手一次射击中的得分
.
上述问题中的
ξ
是离散型随机变量的是（
）
A.
①②③④
B
.
①②④
C.
①③④
D.
②③④
2.
设随机变量
?
< br>的分布列为
P
(
?
?
i
)
?
< br>a
?
(
)
,
i
?
1
,
2
,
3
，则<
/p>
a
的值为（
）
A
.1
B.
1
3
i
9
11
27
C.
D
.
13
13
13
3.
设某批电子手表正品率为<
/p>
3/4
，次品率为
1/4
，现对该批电子手表进行测试，设第
?
次首
次测到正品，则
P(
?
=
3)
等于（
）
A.
C
3
(
)
?
(
)
；
B.
C
3
(
)
?
(
)
；
C
.
< br>(
)
?
(
)
；
D.
(
)
?
(
)
4
．
10
个球
中有一个红球，
有放回的抽取，每次取出一球，
直到第
n
次才取得
k
?
k
?
n
?
次红
球的概率为（
）
2
1
4
2
3
4
2
3
4
2
1
4
1
< br>4
2
3
4
3
4
2
1
4
1
?
?
9
?
B
．
?
1
?
?
9
?
C
< br>．
k
?
1
?
1
?
?
9
?
D
．
k
?
1
?
1
?
?
9
?
A
．
?
< br>C
n
?
1
?
?
?
?
C
n
?
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
10
10
10
10
10
10
?
10
?
?
10
?
?
?
?
?
?
< br>?
?
?
?
?
?
?
5.
已知盒中有
10
个灯泡，其中
8
个正品，
2
个次品。需要从中取出
2
个正品，每次从中取
出
1
个，取出后不放回，直到取出
2
个
正品为止，设
ξ
为取出球的次数，则
E
ξ
＝
。
6.
某自
然保护区内有
n
只大熊猫，
从中捕捉<
/p>
t
只体检后加上标志再放回保护区，
一年
后再从
保护区捕捉
m
只大熊猫（设该区
内大熊猫总数不变）
，则其中有
s
只大
熊猫是第二次接受
体检的概率为
.
7.
某园林局对
1000
株树木的生长情况进行调查，其中槐树
600
株，
银杏树
400
株。现用分
层抽样方法从
这
1000
株树木中随机抽取
100<
/p>
株，其中银杏树树干周长（单位：
cm
）
的抽
查结果如下表：
[50,60)
[60,70)
树
干周长
（单位：
cm
）
[30,40)
[40,50)
4
18
x
6
株数
则
x
的值为
；
若已知
树干周长在
30cm
到
40cm
之间的
4
株银杏树中有
1
株患有
虫害，现要对这
4
株树逐一进行排查直到找出患虫害的树木为止。则排查的树木恰好为
2<
/p>
株的概率为
。若设需要排查的树木数为随机变量
X
，则
X
的分布列为
。
8.
某
人参加射击，击中目标的概率是
2
n
?
k
k
n
?
k
k
n
?
k
k
?
1
n
?
k
1
< br>.
3
①
设
ξ
为他射击
6
< br>次击中目标的次数，求随机变量
ξ
的分布列；
②
设
η
为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求
η
的分布
列；
③
若他连续射击
6
次，设
ξ
为他第一次击中目
标时之前射击的次数，求
ξ
的分布列；
④
若只有
6
颗
子弹，他击中目标，则不再射击，否则直到子弹打完，求他射击次数
ξ
< br>的
分布列。
1
9<
/p>
.
如图，一个小球从
M
< br>处投入，通过管道自上而下落
A
或
B
或
C
。
已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商
家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到
A
，
B
，
C
，
则分别设为
l
，
2
，
3
等奖．
（
I
）已知获得
l
，
2
，
3
等奖的折扣率分别为
50
％，
70
％，
< br>
90
％．记随机变量
?
为获得
k
（
k
=1,2,3
）等奖的折扣
率，求随机变量
?
的分布列及期望
E
?
；
（
II
）若有
3
人次（投入
l
球为
l
人次）参加促销活动，
记随机变量
< br>?
为获得
1
等奖或
2
等奖的人次，求
P
(
?
?
2
)
．
10
．袋
中装有黑球和白球共
7
个
,
从中任取
2
个球都是白球的概率为
,
现有甲、乙两人从袋
中轮流摸取
1
球，甲先取，乙后取，然后甲再取??取后不放回，直到两人中有一人取到白
球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用
?
表示取球终止所需要的取球次
数
.
（
I
）求袋中所有的白球的个数；
（
II
）求随机变量
?
的概率分布；
（
III
）求甲取到白球
的概率
.
11.
在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投
3
次；在
A
处每投进一球得
< br>3
分，在
B
处每投进一球得
2
分；如果前两次得分之和超过
3
分即停止投篮，否则投第三次，
某同学在
A
处的命中率
q
1
为
0.25
，在
B
处的命中率为
q
2
，该同学选择先在
A
处投一球，
以后都在
B
处投，用
?
表示该同学投篮
训练结束后所得的总分，其分布列为
1
7
?
p
0
0.03
2
p
1
3
p
2
4
p
3
5
p
4
（Ⅰ
）求
q
2
的值；
（Ⅱ
）求随机变量
?
的数学期望
E
?
；
（Ⅲ
）试比较该同学选择都在
B
处投篮得分超过
3
分与选择上述方式投篮得分超过<
/p>
3
分的概率的大小
.
12.
请用你学过的概率统计学知识阐述“标志重捕法”的根据
.
2
【参考答案】
1. B
2. C
3. C
4. C
5.
ξ
＝
2
，
3
，
4.
则
P
(
?
?
2
)
?
8
7
28
?
?
；
10
9
45
8
2
7
2
8
7
14
28
14
1
< br>P
(
?
?
3
)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
。
；
P
(
?
?
4
)
?
< br>1
?
10
9
8
10
9
8
15
45
45
15
< br>22
有
E
?
＝
2
?
P
(
?
?
2
)<
/p>
?
3
?
P
(
?
?
3
)
?
4
?
P
(
?
?
4
)
?
。
9
6.
C
t
s
C
n
m
?
?
t
s
C
n
m
3
1
1
?
< br>?
；
4
3
4
1
3
2
1
1
由题意可得
X=1
< br>，
2
，
3.
< br>计算可得
P
(
X
?
1)
?
，
< br>P
(
X
?
3)
?
?
?
?
，
（只需查三
4
4
3
2
4
7.
【错解】易得
x
?
12
；排查的树木恰好为
2
株的概率为
P
(
X
?
2)
?
次，若
3
次都没有虫害，第四株自然有虫害，不必再查了！
）
故分布列为：
【错因】上述分布列显然有问题：概率之和不等于
1.
其错误在于：认为事件“
X
?
3
”
的含义是“前两次未查处，第三次查出”
。如何正确理解事件“
X
?
3
”的确切含义是解题
的关键！其含义应是：排查第三次无
论是查出还是查不出，都有确定而明朗的结果了，
故事
件“
X
?
3
”包括两种
情况：
“前两次未查处，第三次查出”和“三次都未查出”
；因
此有
X
P
1
1/4
2
1/4
3
1/4
P
(
X
?
3)
?
3
2
1
1
1
?
?
(
?
)
?
4
3
2
2
2
< br>故正确的分布列为：
X
P
1
1/4
2
1/4
3
1/2
8.
【分析】从题目不同的叙述中仔
细体会并鉴别不同特点的概率模型。
【解答】①
射击一次就相当于“做一次试验”
，这试验是可重复的，故随机变量
ξ
服从二项
分布
B
(6,
)
，而
ξ<
/p>
的取值为
0,1,2,3,4,5,6
，
则
k
1
k<
/p>
2
6
?
k
P
?
?
?
k
?
?
C
6
(
)
(
)
3
3
1
3
?
k
?
0,1,2,3,4,5,6
?
，
3
故
ξ
的分布列为：
ξ
P
0
1
2
3
4
5
6
64
729
192
729
240
729
160
729
60
729
12
729
1
7
29
②设
?
?
k
表示他前
k
?
1
次未击中目标，
而在第
k
次射击时击中目标，
则
?
的取值为全
体正整数
1,2,3,
?
则
P
?
?
?
k
?
?
(
)
∴
η
的分布列为
η
1
P
2
3
4
?
?
k
?
2
3
k
?
1
?
1
3
?
k
?
1,2,3,
?
?
1
3
2
1
?
3
3
2
1
(
)
2
3
3
2
1
(<
/p>
)
3
?
3
3
2
1
(
)
k
?
1
?
?
3
3
③设
ξ
=k
－
1
表示前
k
－
1
次未击中目标，而第
k
< br>次击中目标，
ξ
的取值为
0,1
,2,3,4,5
，
当
ξ
=6
时，表示射击
6
次均未
击中目标，则
2
2
< br>1
P
?
?
?
k
?
?
(
)
k
?
?
k
?
0,1,
2,
3,
4,5
?
，而
P
?
?
?
6
?
?
(
)<
/p>
6
，
3
3
3
?
?
的分布列为
ξ
P
0
1
2
3
4
5
6
1
3
2
9
4
8
16
27
81
243
32
729
64
2187
④设
?
?
k
，表示前
k
?
< br>1
次未击中，而第
k
次击中，<
/p>
k
?
1
,
2
,
3
,
4
,
5
，
2
1
?
P
?
?
?
k
?
?
(
)<
/p>
k
?
1
?
3
3
?
k
?
1,2,3,4,5
?
；
2
3
5<
/p>
而
?
?
6
表示前
5
次未击中，第
6
次可以击中，也可以未击中，则
P
?
?
?
6
?<
/p>
?
(
)
,
故
?
的分布列为：
ξ
P
【小结】上述第
①
小题容易鉴别为
n
次独立重
复试验（二项分布）模型，第②小题则为项数
无限的几何分布；
而第③④小题都是项数有限的几何分布。
对于后三小题，
可以不
必知道是
几何分布，
但是必须会从所设随机变量来仔细体会其含
义，
鉴别其属性，
进而准确求出相应
概
率。
4
1
2
3
4
5
6
1
3
2
9
4
8
16
32
27
81
243
729
-
-
-
-
-
-
-
-
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