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§
7
循环群
本节将讨论一类结构简单又富有代表性的特殊群
――
循环群
.(
它是一类基本而又重要的群
,
数学的一些
分支（数论、有限域论等）和它有密
切的联系
.)
通过对循环群的学习
,<
/p>
可初步了解抽象代数研究问题的基本
方法和格式以及论文的写作方
法
.
本节主要内容是循环群的三大问题
:
存在问题
/
数量问题
/
构造问题
.
先看一个简单
的例子：
G
?
?
,
10
?
3
,
10
?
2
,
10
?
1
,<
/p>
1
,
10
,
10
2
,
10
3
,
?
对数的乘法
作成群
.
特点是每个元都是
固定元
10
的方幂
.
一、循环群的概念
记为<
/p>
G
?
(
a
)
，
a
称为
G
的生成元
.
1.
定义
G
称为循环群
?
群
G
的每个元都是
G
中某个固定元
．．．
a
的方幂
?
?
?
?
乘方－
－针对乘法
.
?
倍数－－针对加法<
/p>
?
x
?
a
k
(
乘法
)
即
G
?
(
a
)
?
< br>G
是群，且
?
x
?
G
,
?
k
?
Z
,
st
.
?
.
（
注意
:
k
与
x
有关！
）
?
x
?
ka
(<
/p>
加法
)
【一般情况下，如果没有特别声明
运算是乘法或是加法，就默认是乘法形式
.
】
< br>
?
1
2.
注意
:(
一般情况下
)
生成元不唯一
.
a
是生成
元
?
a
是生成元
.
【理由：
a
k
?
(
a
?
1
)
?
k
】<
/p>
3.
范例【解决了循环群的存在问题<
/p>
.
同时，将得到结论：循环群在同构意义下只有这两种！
】
①整数加群
(
Z
,
?
)
，
Z
?
(
1
)
?
(
< br>?
1
)
.
【
?
1
是
?
阶
.
?
n
(
?
1
)
?
0
?
n
?
0
】
< br>问题
:
还有其他生成元
?(
无
)
【设
Z
?
(
k
)
?
1
?
(
k
)
?
1
?
nk
(
n
,
k
?
Z
)
?
k
?
?
1
】
*
实际上可进一步证明：
o
(
a
)
?
?
?
G
?
(
a<
/p>
)
只有两个生成元
a
,
a
?
1
.
【课外思考题】
【设
G
?
(
b
< br>)
，则有
b
?
< br>a
,
a
?
b
?
a
?
a
s
t
st
o<
/p>
(
a
)
?
?
?
st
?
1
?
s
?
1
or
?
1
】
s
,
t
?
Z
②模
n
剩余类加群
(
Z
< br>n
,
?
)
，
Z
n
?
(
[
1
])
.
问题
:
还有其他生成元
?(
有
)
【
Z
n
?
([
?
< br>1
])
?
([
< br>n
?
1
])
】
*
实际上可进一步证明：
o
(
a
)
?
n
?
G
?
(
a
)
< br>的生成元为
a
当且仅当
(
r
,
n
)
?
1
.
【习题】
r
【若
(
r
,
n
)
?
1
，则
ur
?
vn
?
1
< br>?
a
?
a
ur
?
vn
?
(
a
r
)
u
(
a
n
)
v
?
(
a
r
)
u
e
v
?
(
a
< br>r
)
u
?
(
a
)
?
(
a
r
)
. <
/p>
反之，
a
是生成元，
G
?
(
a
)
?
(
a
)<
/p>
?
a
?
(
a
)
?
a
r
r
r
k
rk
?
1
?
< br>e
?
n
|
rk
?
1
?
(
r
,
n
)<
/p>
?
1
.
】
o
(
a
)
?
n
◎设
p
为素数，则
p
阶循环群<
/p>
G
?
(
a
)
有
p
?
1
个生成元：
a
,
a
2
,
?
,
a
p
?
1
.
◎设
p
为素数，则模
p
剩余类加群
Z
p
的所有非零元都是生成元
.
二、循环群的种类
1.
结构定理
设循环群
G
?
(
a
)
同构
于
?
?
(
Z<
/p>
,
?
),
if<
/p>
o
(
a
)
?
?
.
?
(
Z
n
,
?
),
if
o
(
a
)
?
< br>n
证明
注意体会生成元
a
的阶在证明过程中的用处
!
(1)
设
o
(
a
)
?
?
< br>【作用：
a
?
e
?
k
?
0
】此时，令
?
:
G
?
Z
,
a
k
?
k
，可证
?
是同构映射
.(
证略
)
k
【
?
是映射：若
a
?
a
，则
a
k
h
k
?
h
?
e
?
k
?
h
?
0
?
k
?
h
，说明对应元唯一
.
易证
?
是满射
/
单射
.
h
k
?
h
o
(
a
)
?
< br>?
再证
?
的同态性
:
?
x
,
y
?
G
?
x
?
a
,
y
?
a
?
?<
/p>
(
xy
)
?
?
(
a
k
k
h
k
)
?
k
?
h
< br>?
?
(
a
k
)
?
?
(
a
h
)
?
?
(
x
)
?
?
(
y
)
.
】
< br>?
(2)
设
o
< br>(
a
)
?
n
【作用：
a
?
e
?
n
|
k
】此时，令
?
:
G
?
Z
n
,
a
k
?
[<
/p>
k
]
?
是映射：若
a
?
a<
/p>
，则
a
?
e
?
n
|
k
?
h
?
[
k
]
?
[
< br>h
]
，说明对应元唯一
.
o
(
a
)
?
n
k
?
h
n
m
?
< br>是单射：若
[
k
]
?
[
h
]
< br>,
则
n
|
k
?
h
?
k
?
h
?
mn<
/p>
?
a
?
(
a
)
?
e
m
?
e
.
?
是满射：
?
[
k
]
?
Z
n
,
?
a
k
?
G
,
st
.
?
(
a
k
)
?
[
k
]
再证
?
的同态性
: <
/p>
?
x
,
y
?
G
?
x
?
a
,
y
?
a
?
?
(
xy
)
?
?
(
a
k
h
k
?
h
k
?
h
o
(
a
)
?
n
)
?
[
k
< br>]
?
[
h
]
?
?
(
a
k
)
?
?
(
a
h
)
?
?
(
x
)
?
?
(
< br>y
)
.
1
?
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