-
《空间向量的正交分解及其坐标表示》
p
=x
a
a
p
b
p
a
p
=x
a
+y
b
c
a
p
=x
a
+y
b
+z
c
p
b
浙江省温州中学
陈巴尔
1
各位专家评委、老师们：
大家好！我
是来自浙江省温州中学的数学教师陈巴尔
.
有机会参加本次全国
青年教师课堂教学评比活动，并向全国的专家和老师们学习，我深感荣幸
.
我的课题是
《空间向量的正交分解及其坐标表示》
，
下面我就根据课程标准，
结合我对教
材的理解和所教学生的实际情况，
从教学背景、
教学目标、
教学策略、
教学过程、教学特点及反思五个方面对本节课作一个说明
.
希望各位专家评委、
老师们对我的这
节课例，多提宝贵意见
.
一、
教学背景分析
（一）教学内容解析
本节课是
《普通高中课程标准实验教科书数学》
人教
A
版选修
2-1
第三章
< br>《空
间向量与立体几何》
的
3.
1.4
节《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于新授
课
.
本章知识结构
空间向量的定
义及其运算
《空间向量的正交分解及其坐标表示》属于空间向量及其运算部分中的第四
< br>节内容，位置处于在空间向量加减运算、数乘运算、数量积运算之后，坐标运算
之
前，意义十分明显，
就是借助空间向量基本定理的建立，
从而得
出空间向量坐
标的定义，
从而完成
从向
量到坐标的转化
，
进而为后面的立体几何问题的解决服
．．．．．．．．．
务
.
但同时，学生已经在之前的必修
4
中学习过平面向量的相关
知识
.
2
空间向量运算的几何表示
（如平行四边形法则）
用空间向量表示点、
直线、平面等元素
建立空间图形与
空间向量的联系
利用空间向量的运算解
决立体集合中的问题
空间向量运算的坐标表示
（加减法、
数乘、
数量积）
因此，
按照教学参考的教学建议，<
/p>
“宜多引导学生与平面向量及其运算作
类比
，
．．
引导学生体会与平面向量及其运算有什么联系与区别，
让学生经历向量由平面向
空间推广的过程，
使学生体会其中的数学思想方法：
类比与归纳
，
体验数学在
结
．．．．．
．
构
上的
和谐性
与在推广过程中的问题，
同时教学过程中，
还应注意
维度
增加
所带
．
．．．
．．
．．
来的
影响
.
”
“
又因为教材在本章专门安排了
一个‘阅读与思考
向量概念的推广
与应用’
，把二维向量，三维向量，
推广
为高维向量，并说明了其应用
.
．．
有条件的地区，
可以引导学生学习
这
个阅读材料，
将空间向量的有关性质
向
多维推广
.
”
．．．．
而事实上，之前学生所学习的向
< br>量共线定理，
本质也是一样的，
因此，
< br>仔细研究教材的
编写意图
，
我们
会发现这节课在整个高中向量课程教学中起到了
．．．．
一个重
要的
承上启下
的作用，
即：
完成了从必修
4
到选修
2
-1
中的
向量共线定理
，
．．．．
3
平面向量基
本定理
，
空间向量基本定理对比与统一
，
同时通过教材的
阅读与思考
．．．．
．
．．．．．
环节，
又将学生带入了高
维向量的世界，
完成了一个学生对于不同维度下向量空
间
结构
的认识的升华过程，巧妙至极！
．．
（二）学生学情分析
在现行教材编写与教学过程安排中，
学生已经在必修
4
中学习了平面向量的
相关知识
. <
/p>
而在本节内容之前，
学生又学习了空间向量的运算，
因此具有了一定
的基础知识储备
.
因此，
借助平面向量基本定理，
类比得到空间向量基本
定理分解的存在性是
容易
的，
但是证明
唯一性具有一定的
难度
.
同时有了平
面向量坐标的定义，
得到
．．
．．
空间坐标的定义是
容易
的，
但是学生对于单位正交基底的选择的
合理性
的理解却<
/p>
．．
．．．
是
模
糊
的
.
．．
因此，我设置本节课的教学重点和难点如下：
重点：
学生通过平面向量的类比与归纳，
得到空间向量基本定理的表述形式，<
/p>
以及选择特殊的单位正交基底，通过正交分解得到空间向量的坐标定义
.
难点：
类比过程中空间向量基本定理分解的唯一性的
证明，
与坐标定义中选
择单位正交基底的合理性．
二、
教学目标设置
< br>依据课程标准，同时基于上述分析，我确定本节课的教学目标如下：
1
、
通过<
/p>
类比
平面向量基本定理理解空间向量基本定理的建立过程，掌握定
理的
．．
表述形式；
2
、
理解如何通过反证法，证明分解的唯一性；
3
、
体会根
据具体问题选择基底的重要性，
特别是正交分解对于处理向量
数
量积
．．．
问题的
意义
所在；
．．
4
、
掌握空间向量的坐标定义，并能写出给定的空间向量的坐标；
5
、
体会向
量共线定理，
平面向量基本定理，
空间向量基本定理之间的内在
联系，
体会不同维度的向量空间之间的结构异同点，了解高维向量定义的合理性与
必要性，并将本节课所获得的结果，在
高维
向
量
空间
作简单的
推广
< br>，培养学
．．
．．
．．
．．
4
生的类比归纳能力
.
三、
教学策略分析
< br>鉴于学生已经具有一定的平面向量知识的基础，制定如下教学策略：
1
、通过回顾平面向量基本定理，引导学生通过类比得到空间向量基本定理
的表
示，并证明分解的唯一性；
2<
/p>
、通过具体实例，让学生真实体会单位正交基底与正交分解对于数量积问题的
重要性，得出向量的正交分解与坐标表示；
3
、完成从二维到三维的类比之后，再引导学生完成一维向量空间的类比，从而
让学生体会到不同维度向量空间的
结构
特点上的
统一性
，
并通过简单探究将向量
．．
．．．
空间进一步推广到高维时的情形，同时将
空间向量基本定理作进一步的推广；
四、教学过程
为了达到以上教学目标
，在具体教学中，我把这节课分为以下七个环节：
5
引入
温故知新，建立定理
严格论证，完善定理
实例探究，应用定理
回顾历程，审视定理
大胆猜想，推广定理
小结
接下
来，我将对每一教学环节中涉及的主要问题，教学步骤以及设计意图作
出说明
.
（一）引入
问题<
/p>
1
：
如图，已知
a
，
b
是给定的向量，对于任意的
p
，请问
p
能用<
/p>
a
，
b
表示
吗？
p
b
B
O
a
P
A
【学生活动
】
学生思
考是否能够表示，
有学生认为可以，
理由是之前学习的平面
向量基本定理，还有学生认为不一定，因为
p
可能与
a
，
b
不共面
.
【设计意图】本节课的采用通过从平面向量到空间
向量的类比
得到空间向量的
．．
相关内
容的类比教学策略，因此设置该问题，让学生意识到我们现在不单单是
研究平面向量，同
时研究空间向量，但容易发现它们之间有类似的地方，因此
本节课的目的就是要弄清推广
过程中的不同之处，并加以解决
.
（二）温故知新，建立定理
问题
2
：
如果
a
，
b
，
p
是共面的，那该怎么表示呢？
【学生活动
】学生提出通过作平行四边形的方法，
可以得到
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
u
r
u
u
u
r
u
u
u
< br>r
OP
?
OA
< br>'
?
OB
'
?
xOA
?
yOB
,
B'
B
< br>b
O
A'
a
p
P
所以
p
?
x
a
?
y
b
.
A
并回顾了平面向量基本定理的表述：
平面向量基本定理：
如果向量
a
，
b
不共线，那么对于平面中的任一向量
p
，
存
．
在唯一
有序实数组
{
x
,
y
}
，使得
p
?
x
a
?
y
b
，其中
{
a
,
b
}
称为平面的一组基底
.
．．．
【教师总结】
这个就是我们
之前在必修
4
中所学习的平面向量基本定理，
< br>同时我
6
们知道这个分解不
但
存在
，而且
唯一
！
．．
．．
【设计意图】用这个问题，帮助学生回顾之前所学习的平面向量基本定理，同
时为后
面推广为空间向量基本定理作好铺垫
.
问题
< br>3
：
如果
a
，
b
，
p
是不共面的，那该怎么办呢？
【学生活动
】学生思考提出应该再给出一个向量
问题
4
：
随便再给出一个向量都行吗？
【学生活动
】学生提出新给出的向量应该与
a
，
b
不共面
.
问题
5
：
如果再给出一个与
a
，
b<
/p>
不共面的
c
，现在该怎么表示
p
？
【学生活动
】学生回答类似平面向量
基本定理的做法，先过点
P
作
OC
的
平行线，
交
a
，
b
所在的平面于点
M
，
连接
OM
,
可以得到
u
u
u
r
u
u
u
u
r
u
u
< br>u
r
OP
?
OM
?
MP
u
u
u
u
r
由平面向量基本定理可知
OM
?
x
a
?
y
b
，再作
PC
'
平行于
OM
交直线
O
C
于点
O
C
c
C'
b
B
B'
a
A'
p
P<
/p>
M
A
u
u
u
r
u
u
u
u
r
C
'
，则
MP
?
OC
'
?
< br>z
c
，所以
< br>p
?
x
a
?
y
b+
z
c
.
【教师总结】
这个过程与平面向
量基本定理十分相似，
如果我们也给这个定理取
一个名字，就可
以把它叫做
空间向量基本定理
.
<
/p>
问题
6
：
我们可
以通过修改平面向量基本定理的表述，得到空间向量基本定理
吗？
【学生活动
】可以，只需要作出以下修改：
空间
向量基本定理：
如果向
量
a
，
b
，<
/p>
c
不共
面
，那么
对于
空间
中的任一向量
p
，
存在唯一
有序实数组
{<
/p>
x
,
y
,
z
}
，使得
p
?
x
a
?
y
b
?
z
c
，其中
{
a
,
b
,
c
}
称为
空间
的一
< br>．．．．
组基底
.
【设计意图】通过类比平面中的分解过程，让学生在本质
上体会空间向量在
类
．．
似问题的处理上方法的相通之处；同时通过修改
平面向量基本定理的方法来得
．．
到空间向量基
本定理的表述，让学生再从形式
上体会两个定理的相似之处，从
．．
7