-
导数与极限
（一）极限
1.
概念
<
/p>
（
1
）自变量趋向于有限值的函数极限定
义（
?
?
?
定
义）
x
?
a
（
2
）单侧极限
l
im
f
(
x
)
?
A
?
?
?
?
0
，
?
?
?
0
，当
0
?
|
x
?
a
|
?
?
时，有
|
f
(
x
)
?
A
|
?
?<
/p>
。
lim
f<
/p>
(
x
)
?
A
?
?
?
?
0
，
?
?
?
0
，当
< br>0
?
a
?
x
?
?
时，有
|
f
(
x
)
?
A
|
?
?
。
左极限：
f
(
a
?
0<
/p>
)
?
x
?
a
?
右极限：
f
(
a
?
0
)
?
x
?
a
?
（
3
）自变量趋向于无穷大的函数极限
*
lim
f
(
x
)
?
A
?
?
?
?
0
，
?
?
?
0
，当
0
?
x
?
a
?
?
时，有
|
f
(
x
)
?
A
|
?<
/p>
?
。
x
?
X
，成立
f
?
x
?
?
A
?
?
，则称常数
A
为函数
f
?
x
?
在
x
趋于无穷时的
定义
1
：<
/p>
?
?
?
0
,
?
X
?
0
，当
极限，记为
x
?
?
lim
f
?
x
?
?
A
。
y
?
A
为曲线
y
?
f
?
x
< br>?
的水平渐近线。
lim
f
?
x
?
?
A
定义
2
：
?
?
?
0
，
?
X
?
0
，当
x
?
X
时，成立
f
?
x
?
?
A
?
?
，则
有
x
?
??
。
lim
f
?
x
?
?
A
f
?
x
?
?
A
?
?
?
?
?
0
< br>，
?
X
?
0
x
?
?
X
x
定义
3
：<
/p>
，当
时，成立
，则有
?
??
。
运算法则：
1)
1)
若
lim
f
?
x
?
?
A
，
lim
g
?
x
?
?
?
，则
lim
?
f
?
x
?
?
g
?
x
?
?
?
?
。
2)
2)
若
lim
f
?
x
?
?
A
?
?
0
,
但可为
?
?
，
lim
g
?
x
?
?
?
，则
lim
f
?
x
?
?
g
?
x
?
?
?
。
3)
3)
若
lim
f
?
x
?
?
?
，则
lim
1
?
0
f
?
x
?
。
注：上述记号
lim
是指同一变化过程。
（<
/p>
4
）无穷小的定义
~
?
?
?
0
，
?
?
?
0
，当
0
?
|
x
?
a
|
?
?
时，有
|
f
(
x
)
|
?
?
，则称函数
f
(
x
)
在
x
?
a
时的无穷小（量）
，
即
x
?
< br>a
。
（
5
）无穷大的定义
?
M
?
0
，
?
?
?
0
，
当
0
?
|
< br>x
?
a
|
?
?
时，
有
|
f
(
x
)<
/p>
|
?
M
，
则称函数
f
(
x
)
在
x
?
a
时的无穷大
（量）
，
记为
lim
f
(
x
)
?<
/p>
0
lim
f
(<
/p>
x
)
?
?
x
?
a
。
直线
x
?
a
为曲线
y
?
f
?
x
?
< br>的垂直渐近线。
2
．无穷小的性质
定理
1
有限多个无穷小的和仍是无穷小。
定理
2
有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。
推论
1
常数与无穷小的乘积是无穷小。
推论
2
有限个无穷小的乘积是无穷小。
!
无穷小与无穷大的关系
1
lim
f
(
x
)
?
?
若
x
?
a
，且
< br>f
(
x
)
不取零值，则
f
(
x
)
是
x
?
a
时的无穷小。
3
．极限存在的判别法
（
1
）
x
< br>?
a
lim
f
< br>(
x
)
?
A
?
f
(
a
?
0
)
?
f
(
a
?
0
)
?
A
。
lim
f
(
x
)
?
A
x
?
?
lim
f
(
x
)
?
lim
f
(
x
)
?
A
x
?
< br>??
?
x
?
??
。
（
2
）
x
?
a
lim
f
(
x
)
?
A
?
f
(
x
)
?
A
?
?
，其中
?
是
x
?
a
时的无穷小。
lim
f
(
x
)
?
A
x
?
a
lim
g
(
x
)
?
A
?
（
3
）夹逼准则：设在点
a
的某个去心邻域
N
(
a
,
?
)
内有
g
(
x
)
?
f
(
x
)
?
h
(
x
)
，且已知
x
?
a
和
，则必有
4
．极限的性质
x
?
a
lim
h
(
x
)
?
A
。
（<
/p>
1
）极限的唯一性
若
x
?
a
lim
f
(
x
)
?
A
lim
f
(
x
)
?
A
且
x
?
a
lim
f
(
x
)
< br>?
B
，则
A
?
B
。
（
2
）局部有界性
若
x
?
a
/
（
3
）局部保号性<
/p>
（
I
）若
x
?
a
?
，则
?
M
?
0
，在点
a
的某个去心邻
域
N
(
a
,<
/p>
?
)
内有
|
f
(
x
)
|
?
M
。
?
?
lim
f
(
x
)
< br>?
A
，且
A
?
0
（或
A
?
0
）
，则必存在
< br>a
的某个去心邻域
N
(
a
,
?
)
，当
x
?
N
(
a
,
?
)
时，
有
f
(
x
)
?
0
（或
f
(
x<
/p>
)
?
0
）
。
lim
f
(
x
)
?
A
?
（
II
）若在点
a
的某个去心邻域
N
(
a
,
?<
/p>
)
内有
f
(
x
)
?
0
（或
f
(
x
)
?
0
）
，且
x
?
a
< br>，则
A
?
0
（或
A
?
0
）
。
5
．极限的四则运算与复合运算
设
c
是常数，
（<
/p>
1
）
x
?
a
lim
f
(
x
)
?
A
，
lim
g
(
x
)
?
B
，
x
?
a
x
?
a
则
lim
[
f
(
x
)
?
g
(
x
)]
?
A
?
B
；
（
2
）
x
?
a
lim
[
f
(
x
)
?
g
(
x
)]
?
A
?
B
；
lim
[
c
?
f
(
x
)]
?
c
?
A
；
（
3
）
x
?
a
lim
（
4
）
【
（
5
）
x
?
a
f
(<
/p>
x
)
A
?
，
B
?
0
；
g
(
x
)
B
?
x
?
a
u
?
u
0
若
li
m
g
(
x
)<
/p>
?
u
0
，
lim
f
(
u
)
?
A
，且
?
x
?
U
(
a
,
?
< br>)
(
?
?
0
)
，有
g
(
x
)
?
u<
/p>
0
，
u
?
u
0
则
x
?
a
6
．两个重要极限
< br>lim
f
[
g
< br>(
x
)]
?
lim
f
(
u
)
?
A
.
1
sin
x
1
x
lim
?
1
lim
(
1
?
)
x
?
e
lim
(
1
?
x
)
?
e
x
（
1
）
x
?
0
x
< br>；
（
2
）
x
?
0
或
x
?
?
。
7
．无穷小的阶的比较
若
?
和
?
< br>都是在同一自变量变化中的无穷小量，且
?
?
0
，则
?
?
0
?
（
< br>1
）若
，则称
?
关于
?
是高阶无穷小量，记作
?
?
o
(
?<
/p>
)
；
?
lim
?
1
?
（
2
）若
，则称
?
和
?
是等价无穷
小量，记作
?
~
?
；
lim
（
l
im
（
3
）若
?
?
c
(
c<
/p>
?
0
)
?
，则称
?
和
?
是同阶无穷小量，记作
?
?
< br>O
(
?
)
；
?
|
?
B
?
一般情况下，若存在常数
A
?
0
，
B
?
0
，使成立
，就称
?
和
?
是同阶无穷小量。
k
?
?
O
(
x
)
（
k
为某一正数）时，称
?
是
k
阶无穷
x
x
?
0
（
4
）
若以
作为
时的基本无穷小量，则当
A<
/p>
?
|
小量。
定理
1
?
~
?
?
?<
/p>
?
?
?
o
(
?
)
。
定理
2
设
?
~
?
?
，
?
~
?
?
，且
常用的等价无穷小
lim
?
?
?
?
?
lim
?
lim
?
?
?
。
?
?
存在，则
x
x
?
0
< br>时，
x
~
sin
x
~
tan
x
~
arcsin
x
~
arctan
x
~
ln
(
1
?
x
)<
/p>
~
e
?
1
，
1
1
?
cos
x
~
x
2
2
。
（二）函数的连续性
~
1
．定义
若函数
y
?
f
(
x
)
在点
a
的某个邻
域内有定义，则
f
(
x
)
在点
a
处连续
?
< br>lim
f
(
x
< br>)
?
f
(
a
)
?
lim
?
y
?
0
x
?
a
?
x
?
0
。
2
．连续函数的运算
连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数；
连续函数的反函数、复合函数仍是连续函数；
一切初等函数在定义区间内都是连续函数。
3
．间断点
（
1
）间断点的概念
不连续的点即为间断点。
^
（
2
）间断点的条件
若点
x<
/p>
0
满足下述三个条件之一，则
x
0
为间断点：
（
a
）
f
(
x
)
在
x
0
没有定义；
（
b
）
x
?
x
0
lim
f
(
x
)
不存在；
lim
f
(
x
)
lim
f
(
x
)
?
f
(
x
0
)
x
f
(
x
)
x
?
x<
/p>
x
0
0
（
c
）
在
有定义，
也存在，但
?
x
0
。
（
3
）间断点的分类：
（
i
）第一类间断点：在间
断点
x
0
处左右极限存在。它又可分为
下述两类：
可去间断点：在间断点
x
0
处左右极限存在且相等；
跳跃间断点：在间断点
x
0
处左右极限存在但不相等；
（
i
i
）第二类间断点：在间断点
；
4
．闭区间上连续函数的性质
（
1
）概念
x
0
处的左右极限至少有一个不存在。
若函数
f
(
x
)
在区间
(
a
,
b
)
上每一点都
连续，
在
a
点右连续，
在
b
点左连续，
则称
f
(
x
)
在区间
[
a
,
b
]
上
连续。
（
2
）几个定理
最值定理：如果函数
f
(
x
)
在闭区间
[
a
,
b
]
上连续，则
f
(
x
)
在此区间上必有最大和最小值。
有界性定理：如果函数
f
(
x
)
在闭区间
[
a
,
b
]
上连续，则
f
(
x
)
在此区间上必有界。
< br>介值定理：如果函数
f
(
x
)
在闭区间
[
a<
/p>
,
b
]
上连续，
则对介于
f
(
a
)
和
f
(
b
)
之间的任一值
c
，必有
x
?
[
a
,
b
]
，使得
f
(
x
)
?
c
。
<
/p>
零点定理：设函数
f
(
< br>x
)
在闭区间
[
a
,
b
]
上连续，若
f
(
a
)
?
f
(
b
)
?
0
，则必有
x
?
(
a
,
b
)
，
使得
f
(
x
)
?
0
。
（三）导数
1
．导数的概念
，
（
1
）定义
设函数
y
?
f
(
x
)
在点
a
的某个邻域内有定义，当自变量在点
a
处取得改变量
?
x
(
?
0
)
时，函
数
f
(
x
)
取得相应的改变量
?
y
?
< br>f
(
a
?
?
x
)
?
f
(
a
)
，若极
限
?
?
?<
/p>
?
?
y
f
(
a
?
?
x
)
?
f
(
a
)
?
lim
?
x
?
0
?
x
?
x
?
0
?
x<
/p>
存在，则称此极限值为函数
y
?
f
(
x
)
在点
a
处的导数（或微商
）
，记作
d
f
(
x
)
d<
/p>
y
f
?
(
a
)
，
y
?
x
?
a
，
或
d
x
x
?
a
d
x
x
?
a
。<
/p>
lim
导数定义的等价形式有
f
?
(
a
)
?
lim
（
2
）左、右导数
x
?
a
f
(
x
)
?
f
(
a
)
x
< br>?
a
。
f
(
x
)
?
f
(
a
)
f
(
x
)
?
f
(
a
)
f
?
?
< br>(
a
)
?
lim
?
x
?
a
x
?
a
x
?
a
x
?
a
左导数
右导数
f
?
(
a
)
存在
?
f
?
?
(
a
)
?
f
?
?
(
a
)
。
f
?
?
(
a
)
?<
/p>
lim
?
{
2
．导数的几何意义
函数
y
?
f
< br>(
x
)
在点
a
处的导数
f
?
< br>(
a
)
在几何上表示曲线
y
?
f
(
x
)
在点
M
(
a
,
f
< br>(
a
))
处的切线的斜率，
即
k
?
f
?
(
a
)
，从而曲线
y
?
f
(
x
)
在点
M
(
a
,
f
(
a
))
< br>处的
切线方程为
y
?
f
(
a
)
?
f
?
(
a
)(
x
?
a
)
y
?
f
(
a
)
?
?
法线
方程为
3
．函数的可导性与连续性之间的关系
1
(
x
?
a
)
?
f
(
a
)
函数
y<
/p>
?
f
(
x
)
在点
a
处可导，<
/p>
则函数在该点必连续，
但反之未必。
即函
数在某点连续是函数在该点可导
的必要条件，但不是充分条件。
因此，若函数
f
(
x
)
点
a
处不连续，则
f
< br>(
x
)
点
a
处必不可导。
4
．求导法则与求导公式
（
1
）四则运算
若
u
、
v
、
w
均为可导函
数，则
(
u
?
v
)
?
?<
/p>
u
?
?
v
?
，
(
uv
)<
/p>
?
?
u
?
v
?
u
v
?
，
？
(
uvw
)
?
?
u
?
vw
?
u
v
?
w
?
uv
w
?
，
(
cu
)
?
?
c
u
?
（其中
c
?
0
为常数）
，
u
u
?
v
?
u
v
?
1
< br>?
v
?
?
(
)
?
?
(
)
?
v
v
2
v
2
（
v
?
0
）
，
v
。
<
/p>
（
2
）复合函数求导
设
y
?
f
(
u
)
，<
/p>
u
?
g
(
x
)
，且
f
(
u
)
和
g
(
x
)
< br>都可导，则复合函数
y
?
f
[
g
(
x
)]
的导数为
d
y
d
y
d
u
?
?
d
x
d
u
d
< br>x
。
（
3
）反函数的导数
若
x
?
?
(
y
)
是
y
?
f
(
x
< br>)
的反函数，则
（
4
）隐函数的导数
f<
/p>
?
(
x
)
?
1
?
?
(
y
)
。
由一个方程
F
(
x
,
y
)
?
0
所确定的隐函数
y
?
f
(
x
)
的求导法，就是先将方程两边分别对
x
求导，再求
d
y
出
d
x
即可。
—
（
5
）对数求导法
先对函数求对数，再利用隐函数求导的方法。
对数求导法适用于幂指函数、连乘除函数。
< br>（
6
）参数方程的导数
?
x
?
?
(
t
)
?
若参数方程
?
y
?
?
(
t
)
确定了一个函数
y
?
f
(
x
)
，且
?
、
?
均可导，则有
d
y
?
?
(
t
)
?
d
x
?
?
(
t
)
。
（
7
）基本初等函数的导数公式
?
?
?
1
?
?
(
x
)
?
?
x
(
c
)
?
0
(sin
x
)
?
?
cos
x
(cos
x
)
?
?
?
si
n
x
(tan
x
)
?
?
s
ec
2
x
(cot
x
)
?
?
?<
/p>
csc
2
x
(sec
x
)
?
?
se
c
x
tan
x
(cs
c
x
)
?
?<
/p>
?
csc
x
co
t
x
x
x<
/p>
x
x
(
a
)
?
?
a
ln
a
（
a
?
0
，
a
?
1
）
(
e
)
?
?
e
1
1
(ln
x
)
?
?
x
ln
a
（
a
?
0
，
a
?
1
）
x
1
?
1
(arcs
in
x
)
?
?
(arccos
x
)
< br>?
?
1
?
x
2
1
?
x
2
?
1
1
?
(
arccot
x
)
?<
/p>
(arctan
x
)
?
?
1
?
x
2
1
?<
/p>
x
2
(log
a
x
)
?
?
5<
/p>
．高阶导数
（
1
）高阶导数的概念：
函数
f<
/p>
(
x
)
的一阶导
数
f
'
(
x<
/p>
)
的导数称为
f
(
x
)
的二阶导数，
< br>f
(
x
)
的二阶导数的导数称为
f
(
x
)
的三阶
导数，…
…，
f
(
x<
/p>
)
的
n
?
1
阶导数的导数称为
f
(
x
)
的
n
阶导数，分别记为
d
2
y
d
3
y
d
4
y
d
n
y
,
,<
/p>
,
?
?
,
n
y
?
,
y
?
?
,
y
?
?
?
,
y
(
4
)
,
?
?
,<
/p>
y
(
n
)
，或
d
x
2
d
x
3
d
x
4
d
x
< br>。二阶及二阶以上的导数称为高阶导数。
（
2
）常用的
n
阶导数公式
&
n
(
n
)
x
(
n
)
x
(
x
)
?
< br>n
!
(
e
)
?
e
，
，
n
?
n
?
(sin
x<
/p>
)
(
n
)
?
sin(
x
?
)
(cos
x
)<
/p>
(
n
)
?
cos(
x
?
)
2
，
2
，
[ln
(
1
?
x
)]
(
n
)
(
?
1
)
n
?
1
(
n
?
1
)!
?
(
1
?
x
)
n
。
(
uv
)
(
n
)
（
3
）莱布
尼茨公式
设
u
(
x
)
和
v
(
x
)
都是
n
次可微函数，则有
< br>
?
n
?
(
n
?
k
)
(
k
)
?
?
?
< br>v
?
k
?
?
u
k
?
0
?
?
。
n
-
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