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幂函数
1.
幂函数：
一般地，形如
y=x
（
a
∈
R
）叫做幂函数，其中
x
是自变量，
a
是常数
< br>.
a
a
a
要准确理解幂函数的定义，注意以下四点：
（
1
）幂函数具有严格的形式，形如
y=mx
，
y=
（
< br>mx
）
，
y=x
+m
，
a
y=
（
x+m
）
（以上
m
均为不等于零的常数，
且前两个函数中的
m
也不等于
1
）的函数都不是幂函数，二次函数中
只有
y=
x
是幂函数，
其他的二次函数都不是幂函数，
< br>幂函数
y=x
要满足三个特征：
○
1
幂
x
前的
系数是
1
；
○
2
底
2
a
a<
/p>
a
数只能是自变量
x
，指数是常数；
○
3
项数只有一项
，只有满足这三个特征，才是幂函数；
（
2
）求函数解析式时，
若已知待求函数是幂函数，则可根据待定系数法设函数为
f
（
x
）
=x
，根据条件求出
a
即
可
.
（
3
）不
要把幂函数
与指数函数混淆，幂函数的底数为自变量，指数为常数，而指数函数恰好相反
，底数为常数，指数为自变量
.
当
遇到
一个有关幂的形式的问题时，
要先看自变量所在的位置，
然后决
定是用幂函数知识解决，
还是用指数函数知
识解决
.
2.
幂函数在第一象限的图象：
a
*
幂函数在其他象限的图象，可由幂函数的奇偶性根据对称性做出．α＝<
/p>
n
／
m (
其中
m
∈
N
，
n
∈
Z
且
m
，
n
互质
)
．
(1)
当
n
为偶数时，
f(x)
为偶函数，其图象关于
y
轴对称．
(2)
当
m
，
n
都为奇数时，
f(x)
为奇函数，其图象关于原点对称．
< br>(3)
当
m
为偶数，
n
为奇数时，
f(x)
为
非奇非偶函数，其图象只能在第一象限．
3.
幂函数当
α＝
1,2,3
，<
/p>
0.5
，－
1
时
的图象与性质．
(1)
图象
(
如图所示
)
(2)
性质
(
如表
)
4.
幂函数的性质：
(1)
所有的幂函数在（
0
，
+
∞）上都有定义，并且图像都通过点（
1,1
）
；
(2)
< br>如果
a
＞
0
，则幂
函数的图像过原点，并且在区间（
0
，
+
∞）上为增函数；
(3)
如果
a
＜
0<
/p>
，则幂函数的图像在区间（
0
，
+
∞）上是
减函数，在第一象限内，当
x
从右边趋向于零时，图像在
y
轴右方无限逼近
y
轴，当
x<
/p>
趋向于无穷大时，图像在
x
轴上方无限逼
近
x
轴；
（
4
）当
a
为奇数时，幂函数为奇函数；当
a
为偶数时，幂函数为偶函数
.(5)
①α＞
0
，
图
像都过定点（
0
，
0
< br>）和（
1
，
1
< br>）
；在区间（
0
，+∞）上单调
递增；
②α＜
0
，图像都过定点（
1
，
1
）
；在区间
（
0
，+∞）上单调递减
;
③当
<
br>O 时，曲线下凸．④当
1)
时，曲线上凸，当
a>l
a=l
时，图象为过点
(0
，
0)
和
(1
，
a
1)
的直线．⑤当
a=0
时，
y=
x
表示过点
(1
，
且平行于
x
轴的直线
(
除去点
(0
，
1))
5.
幂函数图象的其他性质：
a
(1)
图象的对称性：把幂函数
y=x
的幂指数
a
（只讨
论
a
是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是
a
分母
1
的分数）
，则不论
a>0
还是
a<0
，幂函数
y=x
的图象的对称性用口诀记为：“子
奇母偶孤单单；母奇子偶
分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，
a
(2)
图象的形状：①若
a>0
，则幂函数
< br>y=x
的图象为抛物线形，当
a>l
时，图象在
[0
，+∞）上是向下凸的（称
为凸函数）；当
<
br>轴无限接近，在
O
时，图象在
[o
，+∞）上是向上凸的（称为凹函数）．②若
a<
0
，则幂函数
y=x“的图象是
双曲线
形，图象与
x
轴、
y
(0
，+∞)上图象都是向下凸的。
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