-
.
第一章
定律证明
:
(1) A
?
B=B
?
A
(
交换律
)
证
?
x
x
?
A
?
B
?
x
?
A
或
x
?
B,
自然有
x
?
B
或
x
?
A
?
x
?
B
?
A
得证
A
?<
/p>
B
?
B
?
A.
同理可证
B
?
A
?
A
?
B.
(2)
A
?
(B
?
C
)=(A
?
B)
?
(A
?
C)
(
分配律
)
证
?
x
x
?
A
?
(B
?
C)
?
x
?
A<
/p>
或
(x
?
B
且
x
?
C )
?
(x<
/p>
?
A
或
x
?
B)
且
(x
?
A
或
x
?
C)
?
x
?
(A
?
B)
?
(A
?
C)
得证
A
?<
/p>
(B
?
C)
?<
/p>
(A
?
B)
?<
/p>
(A
?
C).
类似可证
(A
?
B)
?
(A
?
C)
?
A
?
(B
?
C).
(3) A
?
E=E
(
零律
)
证
根据并的定义
,
有
E
?
A
?
E.
根据全集的定义
,
又有
A
?
E
?
E.
(4)
A
?
E=A
(
同一律
)
证
根据交的定义
,
有
< br>A
?
E
?
A.
又
,
?
x
x
?
A,
根
据全集
E
的定义
,
x
?
E,
从而
x
?<
/p>
A
且
x
?
E,
?
x
?
A
?
E
得证
A<
/p>
?
A
?
E.
例
4
证明
A
?<
/p>
(A
?
B)=
A
（吸收律）
证
利用例
3
证明的
4
条等式证明
< br>
A
?
(
A
?
B
)
= (
A
?
E
)
?
(
A
?
B
)
(
同一律
)
= <
/p>
A
?
(
E
?
B
)
(
分配律
)
= <
/p>
A
?
(
B
?
E
)
(
交换律
)
=
A
?
E
(
零律
)
=
A
(
同一律
)
例
5
证明
(
A-B
)
-
C
=(
A-C
)
-
(
B-C
)
证
(
A-C
)
-
(
B-C
)
= (
A
?
~C
)
?
~(
B
?
~C
)
(
补交转换律
)
= (
A
?
~C
)
?
(~
B
?
~~C
)
(
德摩根律
)
= (
A
?
~C
)
?
(~
B
?
C
)
(
双重否定律
)
= (
A
?
~C
?
~
B
)
?
(
A
?
~C
?
C
)
(
分配律
)
= (
A
?
~C
?
~
B
)
?
(
A
?
?
)
(
矛盾律
)
=
A
?
~C
?
~
B
(
零律
,<
/p>
同一律
)
=
(
A
?
~B
)
?
~
C
(
交换律
,
结合律
)
.
.
= (
A
–
B
)
–
C
(
补交转换律
)
例
6
证明
(
A<
/p>
?
B
)
?
(
A
?
C
)= (
B
?
C
)
-
A
证
(
A
?
B
)
?
(
A
?
C
)
=((
A
?
B
) - (
A
?
C
))
?
((
A
?
C
) -
(
A
?
B
))
=((
A
?
B
)
?
~
A
?
~
C
)
?
((
A
?
C
)
?
~
A
?
~
B
)
= (
B
?
~
A
?
~
C
)
?
(
C
?
~
A
?
~
B
)
=((
B
?
~
C
)
?
(
C
?
~
B
))
?
~
A
=((
B-C
)
?
(
C-B
))
?
~
A
=
(
B
?
C
)
-
A
例
7
设
A,
B
为任意集合
,
证明
:
若
A
?
B,
则
P
(
A
)
?
P
(
B
)
证
?
x
x<
/p>
?
P
(
A
)
?
x
?
A
?
x
?
B
<
/p>
(
已知
A
?
B
)
?
x
?
P
(
B
)
例
8
证明
A
?<
/p>
B=A
?
B-A
?
B.
A
?
B=
(
A
?<
/p>
~
B
)
?
(~
A
?
B
)
=(
A
?<
/p>
~
A
)
?
(
A
?
B
)
?
(~
B
?
~
A
)
< br>?
(~
B
?
B
)
=(
A<
/p>
?
B
)
?
(~
B
?
~
A
)
=(
A<
/p>
?
B
)
?
~(
A
?
B
)
=
A
?
B-A
?
B
直接法
若
n
是奇数
,
则
n
2
也是奇
数
.
假设
n
是奇数
,
则存在
k
< br>?
N,
n
=2
k
+1.
于是
n
2
= (2
k
+1)
2
= 2(2
k
2
+2
k
)+1
得证
n
2
是奇数
.
间接法
若
n
2
是奇数
,
则
n
也是奇数
.
只证
:
若
n
是偶数
,
则
n
2
也是偶数
.
假设
n
是偶数
,
则存在
k
?
N,
n
=2
k
.
于是
n
2
=
(2
k
)
2
=
2(2
k
2
)
得证
n
2
是偶数
.
归谬法
< br>若
A-B
=
A
< br>,
则
A
?
B
=
?
证
用归谬法
,
假设
A
?
B
??
,
则存在
x
,
使得
x
?
A
?
B
?
x
?
A
且
x
?
B
?
x
?
A-B
且
x
?
B
(
A-B
=
A
)
?
(
x<
/p>
?
A
且
x
?
B
)
且
x
?
B
?
x
?
B
且
x
?
B,
矛盾
构造性
对每正整数
n
,
存
n
个连的正合数
.
证
令
x
=(
n
+1)!
+1
.
.
考虑如下
n
个连续正整数：
x
+1,
x
+2,…,
x
+
n
，
对于
i<
/p>
（
i
=1,2,3,…,
n
），
x+i=(
n
+1)! +(1+i),
此式含有因子<
/p>
1+i
，而
1+i
不等于
1
也不等于
x+i
，
因此
x+i
是合数。所以
x
+1,
x
+2,…,
x
+
n
是
n
个连续的正合数。
非构造性对每个正整数
n
,
存在大于
n
的素数
.
令
x
等于所有小于等于
n
的素数的乘积加
1,
则
x
不能被所有小于等于
n
的素数整除
.
于是
,
x
或者是素数
,
或者能被大于
n
的素数整除
. <
/p>
因此
,
存在大于
n
的素数
.
数学归：对所有
n
?
1,
1+3+5+ … +(2
n
-1)=
n
2
归纳基础
.
当
n
=1
时
,
1=1
2
,
结论成立
.
归纳步骤
.
假设对
< br>n
(
n
?
1)
结论成立
,
则考虑
n
+1
的情况有
1+3+5+ … +(2
n
-1)+(2
n
+1)=
n
2
+(2
n+
1) =
(
n+
1)
2
得证当
n+
1
时结论也成立
.
第二数学归
任
>=2
的整数均可表成素数的乘积
证
归纳基础
.
对于
2,
结论显然成立
.
归纳步骤
.
假设对所有的
k
(2
?
k
?
n
)
结论成立
,
要证结论
对
n
+1
也成立
. <
/p>
若
n
+1
是素数
,
则结论成立
;
< br>否则
n
+1=
ab
,
2
?
a,b
<
n
.
由归纳假设
,
a,b
均可表成素数的乘积
,
从而
n
+1
也可表成素数的乘积
.
得证结论对<
/p>
n
+1
成立
.
命题为假的证明
——
举反例
例
11
证明下述命题不成立
:
若
A
?
B
=
A
?
C
,
则
B
=
C
.
证明
反例
:
取
A
={
a,b
},
B
={
a,b,c
},
C
={
a,b,d
},
有
A
?
B
=
A
?
C
=
{
a,b
}
但
B
?
C
,
故命题不成立
.
第二章
例
3
证明
p
?
(
q
?
r
)
?
(
p
?<
/p>
q
)
?
r
证
p
?
(
q
?
r
)
?
?
p
?
(
?
q
?
r
)
（蕴涵等值式）
?
(<
/p>
?
p
??
q
)
?
r
（结合律）
?
?
(
p
?
q
)
?
r
（德摩根律）
?
(
p
?
q
)
?
r
（蕴涵等值式）
(1)
q
??
(
p<
/p>
?
q
)
.
.
解
q
??
(<
/p>
p
?
q
)
?
q
??
(
?
p
?
q
)
（蕴涵等值式）
?
q
?
(
p
??
q
)
（德摩根律）
?
p
?
(
q
??
q
)
（交换律，结合律）
?
p
?
0
（矛盾律）
?
0
（零律）
该式为矛盾式
.
(2)
(
p
?
q
)
?<
/p>
(
?
q
??
p
)
解
(
p
?
q
)
?
(
?
q
??
p
)
?
(
?
p<
/p>
?
q
)
?
(
q
??
p
)
（蕴涵等值式）
?
(
?<
/p>
p
?
q
)
?
(
?
p
?
q
)
（交换律）
?
1
该式为重言式
.
?
(
p
?
q
)
??
r
的析取范式与合取范式
解
?
(
p
?
q
)
??
r
?
?
(
?
p
?
q
)
??
r
?
(
p<
/p>
??
q
)
??<
/p>
r
析取范式
?
(
p
??
r
)
?
(
?
q
??
r
)
合取范式
?
(
p
?
q
)
??
r
的主析取范式主合取范式
解
(1)
?
(
p
?
q<
/p>
)
??
r
?
(
p
??
q
)
??
r<
/p>
p
??
q
?
(
p
??
q
)
?
1
同一律
?
(
p<
/p>
??
q
)
?
(
?
r
?
r
)
排中律
?
(
p<
/p>
??
q
??
r<
/p>
)
?
(
p
??
q
?
r
)
分配律
?
m
4
?
m
5
?
r
?
(
?
p
?
p
)
?
(
?
q
?
q
)
??
r
同一律
,
排中律
?
(
?<
/p>
p
??
q
??<
/p>
r
)
?
(
?
p
?
q
??
r
)
?
(
p
??
q
??
r
)
?
< br>(
p
?
q
??
r
)
?
m
0
?
m
2
?
m
4
?
m
6
分配律
得
?
(
p
?
q
)
??
r
?
m
0
?
m
2
?
m
4
?
m
5
?
m
6
可记作
?
?
(0,2,4,5,6)
(2)
?
(
p
?
q
)
??
r
?
(
p
??
r
)
?
(
?
q
??
r
)
p
??
r
?
p
?
0
??
r
同一律
?
p
?
(
q
??
q
)
??
r
矛盾律
?
(<
/p>
p
?
q
??
r
)
?
(
p
??
q
??
r
)
分配律
?
M
1
?
M
3
?
q
??
r
?
(
p
< br>??
p
)
??
< br>q
??
r
同一律
,
矛盾律
?
(
p
??
q
??
r
)<
/p>
?
(
?
p
??
q
??
r
)
分配律
?
M
3
?
M
7
得
?
(
p
?
q
)
??
r
?
M
1
?
M
3
?
M
7
可记作
?
?
(1,3,7)
.
.
快速求
A
?
(
?
p<
/p>
?
q
)
?
(
?
p
??
q
?
r
)
?
r
的主析取范式
(1)
?
p
?
q
?
(
?
p<
/p>
?
q
??
r
)
?
(
?
p
?
q
?
r
)
?
m
2
?
m
3
?
p
??
q
?
r
?
m
1
r
?
(
?
p
??
q
?
r
)
?
(
?
p
?
q
?
r
)
?
(
p
??
q
?
r
)
?
(
p
?
q
?
r
)
?
m
1
?
m
3
?
m
5
?
m
7
得
A
?
m
1
?
m
2
?
m
3
?
m
5
?
m
7
?
?
(1,2,3,5,7)
(2)
求
B
?
?
p
?
(
p
?
q
??
r
)
的主合取范式
解
?
p
?
(
?
p<
/p>
?
q
?
r
)
?
(
?
p
?
q
??
r
)
?
< br>(
?
p
??
q
?
r
)
?
(
?
p
??
q
??
r
)
?
M
4
?
M
5
?
M
6
?
M
7
p
?
< br>q
??
r
?
M
1
得
B
?
M
1
?
M
4
?
M
5
?
M
6
?
< br>M
7
?
?
(1,4,5,6,7)
例
3
用主析取范式判断公式的类型
:
(1)
A
?
?
(
p
?
q
)
?
q
(3)
C
?
(
p<
/p>
?
q
)
?
r
A
?
?
(
?
p
?
q
)
?
q
?
(
p
??
q
)
?
q
?
0
矛盾式
(2)
B
?
p
?
(
p
?
q
)
B
?
?
p
?
(
p
?
q
)
?
1
?
m
0
?
m
1
?
m
2
?
m
3
重言式
(3)
C
?
(
p
?
q
)<
/p>
?
r
C
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?<
/p>
(
p
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q
)
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r
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(
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p<
/p>
??
q
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r
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(
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/p>
p
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q
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(
p
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q
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r
)
?
(
p
?
q
?
r
)
?
m<
/p>
0
?
m
1
?
m
3
?
m
5
?
m
7
非重言式的可满足式
用主析取范式判断下面
2
组公式是否等值
:
(1)
p
与
(
?
p
?
q
)
?
(
p
?
q
)
解
p
?
p
?
(
?
q
?
q
)
?
(
p
??
q
)
?
(
p
?
q
)
?
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2
?
m
3
(
?
p
?
q
)
?
(
p
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q
)
?
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(
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p
?
q
)
?
(
p
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q
)
?
(<
/p>
p
??
q
)
?
(
p
?
q
)
?
m
2
?
m
3
故
p
?
(
?
p<
/p>
?
q
)
?
(
p
?
q
)
(2) (
p
?
q
)
?
r
与
p
?
(
q
?
r
)
解
(
p
?
q
)
?
r
?
(
p
?<
/p>
q
??
r
)
?
(
p
?
q
?
r
)
?
(
?
p
??
q
?
r
< br>)
?
(
?
p
?
q
?
r
)
?
(
p
??
q
?
r
)
?
(
p
?
q
?
r
)
?
m
1<
/p>
?
m
3
?
m
5
?
m
6
?
m
7
p
?
(
q
?
r
)
?
(
p
?<
/p>
q
)
?
(
p
?
r
)
?
(
p
?
q
??
r
)
?
(
p
?
q
?
r
)
?
(
p
??
q
?
r
)
?
(
p
?
q
?
r
)
?
m
5
?
m<
/p>
6
?
m
7
故
(
p
?
q
)
?
r
不等于
p
?
(
q
?
r
)
例
5
某单位要从
A,B,C
三人中选派若干人出
国考察
,
需满
足下述条件
:
(1)
若
A
去
,
则
C
必须去
;
(2)
若
B
去
,
则
C
不能去
;
(3) A
和
B
必须去一人且只能去一人
.
.
.
问有几种可能的选派方案
?
解
记
p
:
派
A
去
,
q
:
派
B
去
,
r
:
派
< br>C
去
(1)
p
?
r,
(2)
q
??
r
,
(3) (
p
??
q
< br>)
?
(
?
p
?
q
)
求下式的成真赋值
A
=(<
/p>
p
?
r
)
?
(
q
??
r
)
?
((
p
??
q
)
?
(
?
p
< br>?
q
))
求
< br>A
的主析取范式
A
=(<
/p>
p
?
r
)
?
(
q
??
r
)
?
((
p
??
q
)
?
(
?
p
< br>?
q
))
?
(
?
p<
/p>
?
r
)
?
(
?
q
??
r
)
?
((
p
??
q
)
?
(
?
p
< br>?
q
))
?
((
?
p
??
q
)
?<
/p>
(
?
p
??
r
)
?
(
r
??
q
)
?
(
r
??
r
))
?
((
p<
/p>
??
q
)
?
(
?
p
?
q
))
?
((
?
p
??
q<
/p>
)
?
(
p
??
q
))
?
((
?
p
??
r
)
?
(
p
??
q
))
?
((
r
??
q
)
?
(
p
??
q
))
?
((
?
p
??
q
)
?
(
?
p
?
q
< br>))
?
((
?
p
??
r
)
?
(
?
p
?
q
))
?
((
r
??
q
)
?
(
?
p
?
q
))
?
(
p
??
q
?
r
)
?
(
?
p
?
q
??
r
)
成真赋值
:101,010
结论
:
方案
1
派
A
与
C
去
方案
2
派
B
去
A
=(
?
p
??
q
?
r
)
?
(
?
p
?
q
?
r
)
?
(
p
?<
/p>
q
?
r
)
的主合取范式
解
A
?
m
1
?
m
3
?
m
7
?
M
0
?
M
2
?
M
4
?
M
5
?
M
6
第二章
判断若今天是
1
号
,
则明天是
5
号
.
今天是
1
号
.
所以
,
明天是
5
号
.
解
设
p
:
今天是
1
号
,
q
:
明天是
5
号
推理的形式结构为
(
p
?
q
)
?
p
?
q
证明
用等值演算法
(
p
?
q
)
?
p
?
q
?
?
< br>((
?
p
?
q
)
?
p
)
?
q
??
?????????????????????????????
((
p
??
q
)
< br>??
p
)
?
q
?
?
p
??
q
?
q
?
1
得证推理正确
判断若下午气温超过
30
度
, <
/p>
则小燕必去游泳，
若她去游泳她就不去看电影了
< br>.
所
以若小燕没去看电影
,
下午气温必定超过了
30
度
. m1
解
设
p
: <
/p>
下午气温超过
30
度
,
q
:
小燕去游泳，
r:
小燕去看电影
.
推理的形式结构为
((
p
?
q
)
< br>??
q
???
r)
??????
r
?
p
)
证明
主析取范式法
((
< br>p
?
q
)
??
q
???
r)
< br>??????
r
?
p
)
?
p
?
r
?
m
1<
/p>
?
m
3
?
m
4
?
m
5
?
m
6
?
m
7
主析取
范式中缺少
m
0
，
m
2
，不是重言式，不正确。<
/p>
前提
:
?
p
?
q,
q
?
r,
p
?
s,
?
s
结论
:
r
??
p
?<
/p>
q
?
.
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