-
R/S
类方法估计
H
urst
指数的有效性检验
黄诒蓉
②<
/p>
①
中山大学管理学院，广州
510275
，中国
【摘要】
本文在设定不同
H
真实值的情况下，通过
DHM
< br>算法模拟出一系列
FGN
序
列，
对
CRS
、
MRS
和
VS
等三种
R/S
类方法估计
H
指数的有效性进行了研究。研究结果表
明，
CRS
受到序列长度、短期相关性
处理和白噪声成分强弱的显著影响，
MRS
受到序列长
度和白噪声成分强弱的显著影响，
而
VS
受到白噪声成分强弱的影响，
并且均不具有正态分
布特性，分别当
H
真实值介于
0.
7
至
0.8
、
0.6
至
0.7
和
0
至
0.6
之间时能对
H
指数做出较好
的估计，而当
H
真实值介于
0.8
至
1
之间时，
R/S
类方法
均低估
H
指数。
关键词
Hurst
< br>指数；经典
R/S
分析；修正
R
/S
分析；
V/S
分析；有效性。
Testing the
Efficiency of Hurst Index Estimation
Based on R/S Type Method
Yirong Huang
School of
Business, Sun Yat-Sen University, Guangzhou
510275, China
Abstract:
This
paper
studies
the
efficiency
of
estimating
Hurst
index
with
R/S
type
including classical
rescaled range analysis,
modified
rescaled
range analysis and
rescaled
variance
analysis
by
simulating
FGN
series
with
DHM.
There
are
evident
differences
between
the
effects
of
the
length
of
series,
the
type
of
dealing
with
short-rang
dependence,
strength
of
added
white
noise
in
series
on
three
estimators,
moreover, they
have separate applicable interval of estimating
Hurst index.
Keywords:
Hurst
Index; Classical
Rescaled
Range Analysis;
Modified
Rescaled
Range Analysis;
Rescaled V
ariance analysis; Efficiency.
①
资助项目：国家自然科学基金项目
（项目名称：资本市场的分形结构及其应用研究，
项目编号：
7
0501034
，项目负责人：黄诒蓉）
。
②
黄诒蓉，男，
1976.11
，中山大学管理学院副教授、博士，通讯地址：广州市新港西
路
135
号中山大学管理学院，邮编：
510275
，
Email
：
huangyr@
，电话：
。
- 1 -
1
引
言
Hurst
（
1951
）
[1]
在长期的水文研究工作中发现，
< br>河流流量存在较强的长记忆
性。
后来，
< br>许多研究发现，
该特性不仅存在于自然界，
而且广泛存在
于经济与管
理领域的数据中。
金融时间序列长记忆性的检测与建
模目前已经成为金融计量领
域研究的重要内容。
长记忆性通常从
具有双曲率缓慢衰减形式的自相关函数和在
零频率处趋于无限值的谱密度函数等两个角度
进行刻画，
而且均通过
Hurst
指数
（下文简称
H
指数）来表征长记忆性程
度。因此，
H
指数的估计与检验是长记
忆性研究的关键工作，其估计与检验的有效性直接影响对长记忆性的甄别。
尽管现有文献提出多种估计
H
指数的方法，但是<
/p>
R/S
类方法由于其简洁性
而一直受到研
究者的青睐，迄今为止仍是估计
H
指数最常用的方法。该类方法
最早是由
Hurst
（
1951
）
[1]
和
Mandelbrot & Wallis
（
1
969
）
[2]
提出的经典
R/S
分析
方法（
Cla
ssical Rescaled Range
，下文简称
CR
S
）
，后来
Lo
（
1991
）
[3]
通过考虑序
列的短期相关性对
CRS
< br>进行了修正而提出修正
R/S
分析方法
（
Modified Rescaled
Range
，下文简称
MRS
）
，
Giraitis
et <
/p>
al.
（
2003
）
[4]
利用部分和序列的方差替代部
分和序列的极差对
CRS
进行了修正而提出
< br>V/S
分析方法（
Rescaled V
ariance
，下
文简称
V
S
）
。虽然
MRS
和
VS
均是从不同方面对
CRS<
/p>
进行了某种程度的修正，
但是能否真正提高
H
指数的估计有效性呢？尽管许多研究文献对
R/S
类分析方
法的有效性提出许多质疑，
但是目前大
多数的研究都是这些估计方法在某些领域
的直接应用，而对它们估计
H
指数的有效性的关注和研究却很少。
< br>R/S
类分析方法由于产生于
Hurst
的长期实践工作过程而没有严格的数学推
导，
因此，<
/p>
我们难以使用严格数学证明来检验其有效性，
但是可以通过模拟研
究
方法来综合评价它们的有效性。鉴于此，为检验
R/S
类方法估计
H
指数的有效
性，下面将通过预先设定不同的
H
真实值并模拟出一系列的
FGN
序列，然后利
用
CRS
、
MRS
和
VS
三种方法分别估计
H
指数，从
H
估计值的均值和标准差两
方
面反映序列长度、短期相关性处理、白噪声成分等因素对
H
指数
估计的影响，
并综合比较三种估计量的有效性，为
R/S
类分析方法使用者提供有益的参考。
- 2 -
2
研究方法
2.1 R/S
类分析方法
通常将
CRS
、
MRS
和
VS
统称为
R/S
类分析方法，原因在于它们具有共同
的基本原理，我们可
将它们估计
H
指数的基本步骤概括如下：
第
1
步，将原始序列划分成若干子
序列。合适选定某标度长度
n
，将原始序
列
?
y
t
?
t
?
1
划
分
成
M
个
互
不
重
叠
的
长
度
为
< br>n
的
子
序
列
：
(
y
1
,
y
2
,
?
,
y
n
)
，
T
(
y
n
?
1
< br>,
y
n
?
2
,
?
,
y
2
n
)
，…，
(
y
(
M
?
1
)
n
?
1
,
y
(
M
?
1
< br>)
n
?
2
,
?
,
y
M
n
)
，其中，
M
?
[
T
/
n
]
，
?
?
?
表示
取整，下同；
第
2
步，
计算出与标度长度
n
所对应的标度统计量。
首先计算出根据标度长
度
n
所划分
出的所有子序列的局部统计量
LS
n
,
m
，然后利用所有局部统计量计算
出标
度长度
n
对应的标度统计量
SS
n
，
此处标度统计量是所有局部统计量的平均
值，即为
SS
n
?
1
M
M
?
LS
m
?
1<
/p>
n
,
m
；
第
3
步，改变标度
长度
n
，重复前面的步骤，这样得到一系列的标度长度
n
及其相应的标度统计量序列
SS
n
；
第
< br>4
步
，
若
标度
统
计
量
序列
与
标
度
长
度
序
列
存在
如
下
的
标度
关<
/p>
系
：
SS
n
~
Cn
H
，
其中，
C
为某常数，
则可以采用如下的双对数回归方式估计
H
指数：
log(
SS
n
)
?
log(
C
)
?
H
log(
n
)
。
（
1
）
CRS
（
H
urst
，
1951
[1]
；
Mandelbrot
，
1969
[2]
）使用如下的局部统计量为：
(
R
/
S
)
n
,
m
?
R
n
,<
/p>
m
/
S
n
,
m
k
k
t
,
m
，
（
2
）
m
个子样本的极
n
其中，
R
n
,
m
?
[
max
1
n
n
1
?<
/p>
k
?
n
?
(
y
t
?
1
?
y
n
,
m
)
?
min
1
?
k
?
n
?
(
y
t
?
1
t<
/p>
,
m
?
y
n
,
m
)]
为第
差，
S
n
,
m
?
?
(
y
t
?
< br>1
t
,
m
?
y
n
,
m
)
为第
m
个子
样本的标准差，
y
n
,
m
?
2
1
n
?
y
j
?
1
t
,
m<
/p>
为第
m
个子样本的均值。
- 3 -
MRS
（
Lo
，
1991
）
[3]
使
用如下的局部统计量：
（
R
/
?
)
n
?
R
n
,
< br>m
/
?
n
,
m
(
q
)
，
（
3
）
其中，
R
n
,
m
同上述
CRS
中
的定义，
?
n
,
m
(
q
)
由
下式定义：
?
2
n,
m
(
q
)
?
1
n
2
y
n
?
(
y
t
?
1
q
t
,
m
?
n
?
?
< br>y
n
,
m
)
?
?
?
j
(
q
)
?
?
(
y
t
,
m
?
y
n
,
m
)(
y
t
?
j
,
m
?
y
n
,
m
)
?<
/p>
n
j
?
1
?
t
?
j
?
1
?
，
（
3
）
2
2
q
?
?
?
2
?
?<
/p>
j
(
q
)
?
j
?
1
j
?
?
其中，
?
2
y
?
(
y
n
t
?
1
1
n
t
,
m
?
y<
/p>
n
,
m
)
2
，
当
q
?
n
时，
?
j
(
q
)
< br>?
1
?
j
q
?
1
为
B
artlett
权重，
?
2
n
,
m
和
?
j
为第
m
< br>个子样本
?
y
t
,
m
?
n
的样本方差和
j
阶样本自协方差
。
q
(
n
)
的选择至关重
t
?
1
要，其直接影响到检验效果。
Lo
建
议使用如下的
q
值最优选择公式：
<
/p>
q
opt
?
?<
/p>
3
n
?
1
/
3
?
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
?
?
?
1
?
?
?<
/p>
?
?
?
?
?
2
/
3
?
?
?
?
，
（
4
）
?
为一阶自相关系数的估计值，
?
?
?
表示取整。当
q<
/p>
?
0
其中，
n<
/p>
为子样本长度，
?
时，
< br>MRS
与
CRS
方法一致。
VS
（
Giraitis et al
.
，
2003
）
[4]
使用的局部统计量为：
(<
/p>
V
/
S
)
n
,
m
?
V
n
,
m
S
n
,
m
n
，
（
5
）
其中，
V
n
,
m
为第
m
个
子序列部分和
序列
?
S
k
?
k
?<
/p>
1
的方差，具体展开形式为：
2
2
?
n
?
k
n
k
1
< br>1
1
?
?
?
?
2
?
?
(
S
k
?
S
n
)
?
?
?
?
?
(
y
t
,
< br>m
?
y
n
,
m
)
?
?
?
?
?
(
y
t
,
m
?
y
n
,
m
)
?
?
< br>n
k
?
1
n
?
k
?
1
?
t
?
1
n
?
k
?
1
t
?
1
?
?
?
?
< br>?
n
V
n
,
m
，其它与
上述
< br>MRS
中的定义相同。
2.2
模拟设计
2.2.1
FGN
< br>和
FBM
序列的模拟算法
[5]
由
Mandelbrot &
V
an Ness
（
1968
）
提出的分形高斯噪声
（
Fractional Gaussian
Noise
，简
称
FGN
）是第一个完整的长记忆模型，通常定义为具有
H
指数的分形
布朗运动
B
H
(
t
)
的一阶差分过程
?
y
< br>t
|
y
t
?
B
H
(
t
?
1
)
?
B
H
(
t
)
?
t
?
0
，
其第
k
阶自协方差
?
- 4 -
函数为：
?
y
(
k
)<
/p>
?
?
2
2
?
|
k
?
1
|
2
H
?
2
|
k
|
2
H
?
|
k
?
1
|<
/p>
2
H
?
，
（
6
）
其中，
k
?
?
,
?
1
,
0
,
1
,
?
，
?
2
< br>?
Var
(
y
< br>t
)
为任意正数，
0
?
H
?
1
为
H
指数。
为模拟上述定义的
FGN
序列，许多学者提出了多种模
拟算法，比如，基于
条件分布的
Durbin-
Levinson
方法（
Brockwell
&
Davis
，
1991
[6]
）
、基于循环嵌入
矩阵和傅立叶变换的模拟方法
（
Dav
ies & Harte
，
1987
[
7]
；
Wood & Chan
，
1994
[8]
）
、
基于小波的合成模拟方法（
Abtry & Sellan<
/p>
，
1996
[9]
）等。我们通过反复模拟比较
发现，这些模拟方法的效果基本一致。因此，本文选择<
/p>
Davies & Harte
（
198
7
）
[7]
提出的算法（
Davies & Harte Method
，简称
DHM
）模拟
FGN
序列。在式（<
/p>
1
）
给定自协方差序列
< br>{
?
k
}
T
的条件下，
DHM
算法模拟长度为
T
的
FGN
样
本序列
k
?
0
{
y
t
}
t<
/p>
?
1
的基本步骤如下：
< br>
T
T
?
1
第
1
步，计算序列
{
A
k
,
T
}
2
：
k
?
0
T
2
T
?
1
j
A
k
,
T
?
?
?
< br>j
?
0
e
?
i
?
k
j
/
T
?
?
?
j
?
T
?
1
2
T
?
j
e
?
< br>i
?
k
j
/
T
，
（
7
）
其中，
i
2
?
?
1
，该步其实是对自协方差序列
?
0
,
?
1
,
?
,
< br>?
T
?
1
,
?
T
,
?
T
?
1
,
?
,
?
1
实施离散
傅立叶变换（
DFT
< br>）
；
第
2
步，检查非负条件：对所有
k
，<
/p>
A
k
,
T
?
0
，该步也很重要，若不满足非
负条件，则模拟序列是无效的；
第
3
步，模拟产生均值为
0
、
方差为
1
的独立高斯随机变量序列
{<
/p>
Z
t
}
t
2
?
T
0
?
1
；
T
?
1
第
4
步，计算复值序列
{
V
k
}
2
k
?
0
：
?
2
TA<
/p>
0
,
T
Z
0
,
k
?
0
,
?
?
?
TA
k
,
< br>T
(
Z
2
k
?
1
?
i
Z
2
k
),
1
?
k
?
T
,
V
k
?
?
，
（
8
）
?
2
TA
T
,
T
Z
2
T
?
1
,
k
?
T
,
?
*
?
?
V
2
T
?
k<
/p>
,
T
?
k
?
2
T
?
1
,
其中，
V
2
*
T
?
k
表示
V
2
< br>T
?
k
的共轭复数。
- 5 -
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