-
T
检验
主要用于样本
含量较小（例如
n<30
），总体标准差
σ
未知的
正态分布
资料。
T
检验
是用于小样本
（
样本容量
小于
30
）
的
两个平均值差异程度的检验方法。
它是用
T
分布理论来推断差异发生的概率，从而判定两个平均数的差异是否显著。
目的：比较样本均数
所代表的未知总体均数
μ
和已知总体均数
μ
0
。
计算公式：
t
统计量：
自由度：
df=n - 1
适用条件：
(1)
已知一个总体均数；
(2)
可得到一个样本均数及该样本标准误；
(3)
样本来自正态或近似正态总体。
T
检验的步骤
[2]
1
、建立虚无假设
H
0
:μ
1
= μ
2
，即先假定两个总体平均数之间没有显著差异；
2
、计算
统计量
t
值，对于不同类型的问题选用不同的
< br>统计量
计算方法；
1
）如果要评断一个总体中的小样本
平均数与总体平均值之间的差异程度，其统计量
t
值的计算公式
为：
2
）如果
要评断两组样本平均数之间的差异程度，其统计量
t
值的计算公
式为：
3
、根据自由度
df=n-1
，查
t
值表，找出规定的
t
理
论值并进行比较。理论值差异的
显
著水平
为
0.01
级或
0.05
级。不同自由度的显著水平理论值记为
t(df)0.01
和
t(df)0.05
4
、比较计算得到的
t
值和理论
t
值，推断发生的概率，
依据下表给出的
t
值与差异显著
性
关系表作出判断。
T
值与差异显著性关系表
t
P
值
差异显著程度
差异非常显著
差异显著
t
<
t
(
df
)0.05
P
>
0.05
差异不显著
5
、根据是以上分析，结合具体情况，作出结论。
假设
是呈
正态分布
的独立的
随机变量
（随机变量的
期望值
是
，
方差
是
）。
为样本均值。
为
样本方差。
它显示了数量
呈
正态分布
并且均值和方差分别为
0
和
1
。另一个相关数量
T
的
< br>概率密度函数
是：
令：
等于
n
?
1
。
T
的分
布称为
t
-
分布。参数
一般被称为
自由度
。
是
伽玛函数
。
分布的矩为：
假设数量
A
在当
T
呈
t
-
分布（
T
的
自
由度
为
n
?
1
）满足
这与
是相同的
A
是这个
概率分布
的第
95
个百分点
那么
等价于
因此
μ
的
90
%
置信区间
为：
下表列出了自由度为
的
t-
分布的单侧和双侧区间值。例如，当样本数量
n
=5
时，则自由度
=4
，
我们就可以查找表中以
4
开头的行。
该行第
5
列值为
2.132<
/p>
，
对应的
单侧
值
为
95%
（
双
侧
值为
90%
）。这也就是说，
T
小于
2.132
的
概率为
95%
（即单侧），记为
Pr(
?∞
<
T
< 2.132) =
0.95
；
同时，
T
< br>值介于
-2.132
和
2.13
2
之间的概率为
90%
（即双侧）
，
记为
Pr(?2.132
<
T
< 2.132) =
0.9
。
这是根据分布的对称性计算得到的，
Pr(
T
<
?2.132)
= 1
?
Pr(
T
>
?2.132) = 1
?
0.95 = 0.05,
因此，
Pr(
?
2.132 <
T
< 2.132) = 1
?
2(0.05) = 0.9.
注意
关于表格的最后一行的值：自由度为无限大的
t-
分布和正态分布等价。
单
97.5
99.5
75%
80%
85%
90%
95%
99%
侧
%
%
99.75
%
99.9
%
99.95
%
双
50%
60%
70%
80%
90%
95%
98%
99%
99.5%
99.8
99.9%
侧
%
1
1.00
1.37
1.96
3.07
6.31
0
6
3
8
4
12.71
31.8
2
63.66
127.3
318.3
636.6
2
0.81
1.06
1.38
1.88
2.92
6
1
6
6
0
4.303
6.96
5
9.925
14.09
22.33
31.60
3
0.76
0.97
1.25
1.63
2.35
5
8
0
8
3
3.182
4.54
1
5.841
7.453
10.21
12.92
4
0.74
0.94
1.19
1.53
2.13
1
1
0
3
2
2.776
3.74
7
4.604
5.598
7.173
8.610
5
0.72
0.92
1.15
1.47
2.01
7
0
6
6
5
2.571
3.36
5
4.032
4.773
5.893
6.869
6
0.71
0.90
1.13
1.44
1.94
8
6
4
0
3
2.447
3.14
3
3.707
4.317
5.208
5.959
7
0.71
0.89
1.11
1.41
1.89
1
6
9
5
5
2.365
2.99
8
3.499
4.029
4.785
5.408
8
0.70
0.88
1.10
1.39
1.86
6
9
8
7
0
2.306
2.89
6
3.355
3.833
4.501
5.041
9
0.70
0.88
1.10
1.38
1.83
3
3
0
3
3
2.262
2.82
1
3.250
3.690
4.297
4.781
10
0.70
0.87
1.09
1.37
1.81
0
9
3
2
2
2.228
2.76
4
3.169
3.581
4.144
4.587
11
0.69
0.87
1.08
1.36
1.79
7
6
8
3
6
2.201
2.71
8
3.106
3.497
4.025
4.437
12
0.69
0.87
1.08
1.35
1.78
5
3
3
6
2
2.179
2.68
1
3.055
3.428
3.930
4.318
13
0.69
0.87
1.07
1.35
1.77
4
0
9
0
1
2.160
2.65
0
3.012
3.372
3.852
4.221
14
0.69
0.86
1.07
1.34
1.76
2
8
6
5
1
2.145
2.62
4
2.977
3.326
3.787
4.140
15
0.69
0.86
1.07
1.34
1.75
1
6
4
1
3
2.131
2.60
2
2.947
3.286
3.733
4.073
16
0.69
0.86
1.07
1.33
1.74
0
5
1
7
6
2.120
2.58
3
2.921
3.252
3.686
4.015
17
0.68
0.86
1.06
1.33
1.74
9
3
9
3
0
2.110
2.56
7
2.898
3.222
3.646
3.965
18
0.68
0.86
1.06
1.33
1.73
8
2
7
0
4
2.101
2.55
2
2.878
3.197
3.610
3.922
19
0.68
0.86
1.06
1.32
1.72
8
1
6
8
9
2.093
2.53
9
2.861
3.174
3.579
3.883
20
0.68
0.86
1.06
1.32
1.72
7
0
4
5
5
2.086
2.52
8
2.845
3.153
3.552
3.850
21
0.68
0.85
1.06
1.32
1.72
6
9
3
3
1
2.080
2.51
8
2.831
3.135
3.527
3.819