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第八章
多属性效用理论
(Multi-attribute
Utility Theory)
主要参考文献
:
92, 68, 86,
118, 129
§
8.1
优先序
一、二元关系
1.
无差异
(Indifferent
to)
～
2.(
严格
)
优于
(Strict preference
to)
3.
不劣于
(preference
of indifference to)
?
A
～
B
A
B
A
A
B
且
B
B
且非
B
A
A
?
在单目标问题，有时存在可测属性
(
或代用属性
)
如成本、收益来衡量偏好，这时
决策问题
简化为各方案属性的比较和排序。
< br>但在一般场合，需要用效用
(
价值
)
函数来度量偏好，在多目标决策问题中，即使各目标
的属性
值或效用已知，偏好次序仍不明确，还需作进一步研究。
因此，在任何
二、二元关系的种类<
/p>
(
用
R
表示二元
关系
)
?
传递性，若
xRy,
yRz
则
xRz
?
自反性
reflectivity:
xRx
?
非自反性：
(Irreflexivity)
非
xRx
?
对称性
(Symmetry)
若
< br>zRy,
则
yRx
?
非对称性
(asymmetry)
若
xRy
，则
非
yRx
?
反对称性
(anti-symmet
ry)
若
xRy
且
yRx
则必有
x = y
?
连通性
(
connectivity) completeness, Comparability
对
x,
y
∈
X
xRy
或
/
和
yRx
任何次序关系必须满足传递性
.
传递性看似合理，实则不然，例如，
20.000
～
20.001
20.001
～
20.002
…
99.999
～
100,
但是
20
≠
100
连通性在仔细验证前也不能假设其成立
,
因为存在不可比方案
;
但是
,
若将不可比归入
无
差异类，连通性就可成立
.
连通性
?
传递性
完全序
§
8
.2
多属性价值函数
一、价值函数的存在性
定理
8.3
1
X<
/p>
?
R
N
,
?
?
X
上的弱序，
且
?
①
x
,
y
?
X
若
x
≥
y
?
x
?
y
;
?
②
x
,
y
,
z
?
X
若
x
?
?
?
?
y
?
z
则
必存在唯一的
0
＜λ
＜
1
使
y
～λ
x
+(1-
λ
)
z
;
?
?
?
?
则存在定义在
< br>X
上的实值函数
v
，满足
x
?
?
y
?
v(
x<
/p>
)
＞
v(
y
)
?
?
?
x
?
y
?
v(
x
) =
v(
y
)
?
?
?
Note
:
1.
条件①为单调性
(Monotonicity),
即支配性
(dominance):
只要某一属性值增加偏好
也增加
.
2.
条件②为偏好空间的连续性
(c
ontinuity),
即阿基未德性
(Archimedea
n).
3. v(
x
)=f(
v
1
(
x
1
),
?
,
v
n
(
x
< br>n
)
)
f
的形式通常十分复杂，
即使
v<
/p>
i
(
x
i
)
为线性
v
的形式仍十分
?
复杂
.
例：
x
1
,
x
2
的价值函数为线性
,
即
:
v
1<
/p>
=k
1
x
1
v
2
=k
2
x
2
且
k
2
=1.5k
1
,
但是
v(
x
)
≠
v
1
(
x
1
)+
v
2
(
x
2
)
?
因此
,
价值函数的设定相当困难
.
二、加性价值函数
1.
定义：
若
v(<
/p>
y
)=
?
n
?
v
(
y
)
,
则称价值函数
V
(
y
)
是加性的
i
i
i
?
1
?
2.
加性
价值函数的存在条件
定理
8.6(P133)
(n
≥
3)
定义在
Y
R
上的价值函数
v(
y
)=v(
y
1
,
?
,
y
n
)
< br>对任何
y
’,
y
”
∈
Y ,
?
?
?
N
< br>y
’
?
y
” iff v(
y
’)
≥
v(
y
”)
则属性集满
足互相偏好独立条件时当且仅当存在定义在
Y
i
,
?
?
?
< br>i=1,
…
,n
上的实值函数
v
i
使
y
’
?
y
”
?
v
1
(
y
1
’)+
…
+
v
n
(
y
n
’)
≥
v
1
(
y
1
”)+
…
+
v
n
< br>(
y
n
”)
?
3.
互相偏好独立的定义：<
/p>
属性集Ω
称为互相偏好独立
,
若Ω
的每个非定正常子集Θ
偏好独立于其补集
?
(
Ω
=
Θ
U
?
)
?
?
2