-
第二节
对数与对数函数
复习目标
1.
对数与对数运算
(1)
对数的概念
.
1.
通过对数的概念
,
明确对
数来
(2)
常用对数与自然对数
. <
/p>
源于指数
,
利用指数的知识理解
(3)
对数的运算性质
.
与掌握对数
.
(4)
对数的换底公式
.
2.
在同底的条件下
,
对
数只能进
2.
对数函数及其性质
行加、
减运算
,
注
意应用的顺序
.
(1)
对数函数的概念
.
3.
掌握对数函数的图象与性质
,
(2)
对数函数的图象
.
一定要坚持分类讨论的思想
.
(3)
对数函数的性质
.
4.
应用对数函数的性质解决对
(4)
指数函数与对数函数的关系
.
数类问题要遵循定
义域优先的
会求一些与对数函数有关的简单的
原则
.
复合函数的定义域、值域、单调
性
.(
发展要求
)
学法指导
一、对数
如果
a
x
=N(a>0,
且
a
≠
1),
那么数
x
叫做以
a
为底
N
的对数
,
记作
x=log
a
N
.
其中
a
叫做底数
,N
叫做真数
底数的限制
a>0,
且
a
≠
1
对数式与指数式的互化
:a
x
=N
?
log
a
N=x
负数和零没有对数
1
的对数是零
,log
a
1=0
底数的对数是
1,log
a
a=1
对数恒等式
:
a
log
a
(M
·
N)=log
a
M+log
a
N
log
a
M
=log<
/p>
a
M-log
a
N
N
log
a
M
n
=nlog
a
< br>M(n
∈
R)
log
b
公式
:log
a
b=
log
(a>0,
且
a
≠
1;c>0,
且
c
≠
1;b>0)
a
c
c
log
a
N
=N
a>0
,
且
a
≠
1,
M>0,N>0
n
推广
:
log
m
b
n
=
m
log
a
b(a>0
且
a
≠
1,b>0);
a
1
log
a
b=
log
(a>0
且
a
≠
1;b>0
且
b
≠
1)
a
b
1.
法则理解
应用法则
log
a
M+log
a
N=log
a
(M
·
N)
时
,<
/p>
注意
M>0,
且
N>0,
而不能只考虑
到
M
·
N>0,
导致增解
.
2.
与换底公式有关的结论
log
a
b
·
log
b
c
·
log
c
d=log
a
d.
二、对数函数
1.
对数函数的概念、图象与性质
概念
底数
函数
y=log
a
x(a>0,
且
a
≠
1)
叫做对数函数
a>1
<
br>且 ④真数只能是自变量 y=log <
br>变换
<
br>因此可知函数的定义域为
关系为 <
br>0.5 <
br>点坐标是
<
br>a=log 4 ab=log
<
br>}. 已知 计算
<
br>log <
br>log )
=( <
br>2 <
br>2log
+ <
br>lg
<
br>+ <
br>要熟练掌握对数的定义 log <
br>2
由
其中
x x x <
br>:(1)
<
br>? 与 x <
br><0.
<
br>, <
br>(
?
2 <
br>或 <
br>正确 <
br>, ; <
br>?
<
br>若不存在 4+2a=8,
0
图象
定义域
值域
性质
在
(0,+
∞
)
上是增函数
2.
指数函数与对数函数的关系
指数函数
y=a
x
(a>0
且
a
≠
1)
与对数函数
y=log
a
x(a>0
且
a
≠<
/p>
1)
互为反
函数
,
它们的图象关于直线
y=x
对称
.
1.
概念理解
(1)
对数函数的定义是形式定义
,
其解析式的特征为①系数为
1;
②次
数
为
1;
③底数
a>0
a
≠
1;
x.
(2)
对数函数解析式中只有一个参数
a,
所以只需已知函数图象上一
点
坐标
,
即可确定一个对数函数
.
2.
与对数函数图象相关的知识点
<
/p>
(1)
如图是对数函数①
y=log
a
x;
②
y=lo
g
b
x;
③
y
=log
c
x;
④
d
x
的图
象
,
则
a,b,c,d
与
1
的大小关系是
0
在
(0,+
∞
)
上是减函数
(0,+
∞
)
R
过定点
(1,0),
即
x=1
时
,y=0
(2)
对
数函数图象之间的位置关系
:
在第一象限
,
图象从左到右
,
底数
由小到大
;
(3)
对数函
数图象以
y
轴为渐近线
,
进行图象变换时
,
渐近线也应随之
;
(4)
底数互为倒数的
对数函数的图象关于
x
轴对称
;
(5)
画对数函数图象应抓住三个关键点
:
(
1
,-1),(1,0),(a,1
).
a
3.
与对数函数性质的应用相
关联的知识
(1)
对数类函数的问题
求解时要树立定义域优先的意识
;
(2)
比较幂、对数大小的常用方法
①单调性法
:
构造函数
,
利用其单调性
;
②中间量
法
:
通过与特殊值比较大小判定结论
,
常见的有
a
0
=1,log
a
1=0,log
a
a=1;
③数形结合法
.
1.
函数
y
=
log
1
x
的定义域是
(
2
D
)
(A){x|x>0}
(B){x|x
≥
1}
(C){x|x
≤
1}
(D){x|0
≤
1}
解析
:
要使得函数
y=
所以
0
≤
1,
{x|0
≤
1}.
选
D.
?
log
1
x
?
0,
?
log
1
x
有意义则要满足
?
2
2
?
?
x
?
0,
2.(2
019
·天津卷
)
已知
a=log
5
2,b=log
0.5
0.2,c=0.5
0.2
,<
/p>
则
a,b,c
的大小
(
A
)
(A)a
(C)b
解析
:
因为
y=log
5
x
是增
函数
,
所以
a=log
5
2
5
5
=0.5.
因为
y=log
x
是减函数
,
所以
b=log
0.5
0.2>log
0.5
0.5=1.
因为
y=0.5
x
是减函数
,
所以
0.5=0.5
1
0.2
<0.5
0
=1,
即
0.5
所以
a
故选
A.
3.
函数
y
=log
a
(3x-2)(a>0,
且
a
≠
1)
的图
象经过定点
A,
则
A
(
C
)
2
(A)(0,
2
)
(B)(
,0)
3
3
(C)(1,0)
(D)(0,1)
解析
:
当
3x-2=1,
即
x=1
时
,y=log
a
1=0,
故定点
A
为
(1,0
).
4.16
、
17
世纪之交
,
随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发
展
,
改进数字计算方法成了当务之急
,
约翰·纳皮尔正是在研究天文学的
过程中
,
为了简化其中的计算而发明了对数
.
后来天才数学家欧拉发
现了对数与指数的关系
,
即
a
b
=N
?
b=log
a
N.
现在已知
2
a
=3,3
b
=4,
则
a
b=
.
解析
:
因为
2
a
=3
,3
b
=4,
所以
2
3,b=log
3
4,
ln3
ln
ln
4
所以
2
3
·
log
3
4=
ln
×
=
=2.
2
ln3
ln
2
答案<
/p>
:2
5.
已知定义域为
R
的偶函数
f(x)
在区间<
/p>
[0,+
∞
)
上
是增函数
,
若
f(1)
则实数
x
的取值范围是
.
解析
:
因为
f(x)
是偶函数
,
并且在区间
[0,+
∞
)
上是增函数
,
所以
f(x)
在区间
(-
∞
,0]
上是减函数
,
所以由
f(1)
得
|lg x|>1,
所以
lg
x>1
或
lg x<-1,
1
所以
x>10
或
0<
x<
10
.
1
所以实数
x
的取值范围为
{x|x>
10
或
0
10
1
答案
:{x|x>10
或
0
10
}
考点一
对数的基本运算
[
例
1] (1)
log
a
2=m,log
a
3=n,
求
a<
/p>
2m+n
;
(2)
(1
?
log
6
3)
2
?
6
2
?
6
18
;
log
6
4
(3)
计算
(log
3
2+l
og
9
2)
·
(log
4
3+log
8
3).
解
:(1)
法一<
/p>
因为
log
a
2=m,log
a
3=n,
所以
a
m
=2,a
n
=3,
所以
a
2m+n
=(a
m
2
·
a
n
=2
2
×
3
=12.
法二
因为
log
a
2=m,log
a<
/p>
3=n,
所以
a
2m+n
=(a
m
)
2
·
a
n
a
log
a
)
2
·
a
log
a
3
=2
2
×
3=12.
6
2
1
?
6
3
?
（
log
6
3
）
?
log
6
?
log
6
(6
?
3)
3
(2)
原式
=
log
6
4
=
1
?
2log
6
2
3
?
（
log
6
3
）
?
(1
?
log
6
3)(1
?
log
6
3)
log
6
4
2
1
?
2log
6
3
?
（
log
6
3
）
?
1
?
(log
6
3)
2
=
log
6
4
2
1
?
log
3
）
=
（
2log
2
6
6
6
?
log
3
=
log
log
2
6
6
6
2
=
log
=1.
log
2<
/p>
6
6
2
lg
2
lg3
lg3
(
3)
原式
=(
lg
)
·
(
+
)
lg3
lg9
4
lg8
2
lg
2
lg
3
lg
3
=(
lg
+
)
·
(
)
lg3
2lg
3
2lg
2
3lg
2
2
5lg
3
=
3lg
·
2lg
3
6lg
2<
/p>
=
5
.
4
在对数运算中
,
,
灵活使用对数的运
算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形
,
多个对数式要
尽量先化成同底的形式再进行运算
.
1.(1)
计算
2
2
2
的值是
;
(2)
计算
lg 4+lg
50-lg 2
的值是
.
<
/p>
解析
:(1)log
2
2
=log
2
1
2
=log
2
2
=-
1
.
2
?
1
2
(2)lg 4+lg 50-lg 2=lg(4
×
50
÷
2)=lg 100=2.
答案
:(1)-
1
(2)2
2
2.(2019
·杭州市期末检测
)
设
a=log
2
3,b=log
3
8,
则
2
a
=
;ab=
.
ln
3
ln8
ln
2
3ln
2
解析
:
a=log
2
3
得
2
a
=3,ab=log<
/p>
2
3
×
log<
/p>
3
8=
ln
×<
/p>
=
=
=3.
l
n
2
2
ln
3
ln
2
3
答案
:3
3
考点二
对数函数的图象及应用
[
例
2]
(
1)
已知函数
y=log
a
(x+b)(a,b
为常数
,
a>0,
且
a
≠
1)
的图
象如图
,
则下列结论成立的是
(
)
(A)a>1,b>1
(B)a>1,0
(C)0
(D)0
(2)
设方程
10
=|lg(-x)|
的两个根分别为
1
,x
2
,
则
(
(A)x
1
x
2
<0 (B)x
1
x
2
=0
(C)x
1
x
2
>1 (D)0
1
2
<1
解析
函数
y=log
a
(x+b)
递减
,
所以
0
同时
?
?
log
a
(1
?
b
)
?
0,
1
?
b
?
1,
?
log
b
?
0
?
?
?
0
?
b
?
1,
?
0
故选
D.
a
(2)
作出
y=10
x
,
y=|lg(-x)|
的大致图象
,
如图
.
显然
1
<0,x
2
)
不妨设
x
1
2
,
则
x
1
<-1
2
<0,
所以
1
0
=lg(-x
1
),
x
1
10
x
2
=-lg(-x
2
),
此时
10
<
10<
/p>
,
x
1
x
2
即
lg(-x
1
)<-lg(-x
2
),
由此得
lg(x
1
x
2
)<0,
所以
0
1
x
2
<1,
故选
D.
应用对数型函数的图象可求解的问题
(1)
对一些可通过平移、
对称变换作出其图象的对数型函数<
/p>
,
在求解其
单调性
(
单调区间
)
、值域
(
最值
)
、零点时
,
常利用数形结合思想
.
(2)
常将一些对数型方程、不等式问题转化为相应的函数图象问题
利用数形结合法求解
.
<
/p>
1.(2018
·绍兴市柯桥区二模
)<
/p>
若
log
a
2<
log
b
2<0,
则
B
)
(A)0
(B)0
(C)a>b>1 (D)b>a>1
lg
2
lg
2
解析
:log
a
2
b
2<0,
所以
a,b
都小于
1,log
a
2
b
2
?
l
g
<
?
lg
a
lg
b
a>lg b
?
a>b,
综上
0
故选
B.
2.(2019
·温州适应性测试
)
已知实数
a>0,b>0,a
≠
1,
且
满足
ln
b=
a
1
,
a
则下列判断正确的是
(
C
)
(A)a>b
(B)a
(C)log
a
b>1
(D)log
a
b<1
解析
:
由
ln
b=
a
?
1
=
a
a
-
1
a
得
ln b-
a
+
1
a
=0,
设
f(x)=ln x-
则
f
′
(x)=
1
x
-
x
+
1
1
x
(x>0),
?
(
x
?
1)
2
=
2
x
x
1
x
-
1
2
x
x
x
,
则函数
f(x)=ln
x-
且
f(1)=0,
x
+
在
(0,+
∞
)
上单调递减
,
所以
当
0
时
,ln x-
当
x>1
时
,ln x
-
x
+
1
x<
/p>
x
+
1
x
>0,
即
ln x>
x
-
1
x
x<
/p>
-
1
x
;
<0,
即
ln
x<
,
x
-
1
x
在平面直角坐标系内画出函数
y=
ln x
与
y=
由图易得若
ln b=
a
?
1
=
a
的图象如图所示
,
a
-
1
a
,
则
0
1
错误
;<
/p>
当
a>1
时
,1
函数
y=log
a
x
为增函数
,
则
log
a
b>log
a
a=1,
当
0
时
,0
函数
y=log
a
x
为减函数
,
则
log
a
b>log
a
a=1,C
,D
错
误
故选
C.
考点三
对数函数的性质及应用
[
例
3]
已
知函数
f(x)=
log
(x
2
-2ax+3).
1
2
(1)
若
f(-1)=-3,
求
f(x)
的单调区间
(2)
是否存在实数
a,
使
f(x)
在
(-
∞
,2)
上为增函数
若存在
,
求出
a
的
范围
;
,
说明理由
.
解
:(1)
由
f(-
1)=-3,
得
log
(4+2a)=
-3.
1
2
所以
所以
a=2.
-
-
-
-
-
-
-
-
-
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