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对数公式总结
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作者
:
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日期：
?
1
对数的概念
如果
a(a
＞
0
，
且ａ
≠
１
)
的ｂ次幂等于
N
，
即
a
ｂ
=N,
那么数
b
叫做以
a
为底
N
的对数
,
记作
:loga<
/p>
Ｎ
=
ｂ
,
其中
a
叫做对数的底数
,N
叫做真数
.
由定义知
:
①负数和零没有对数
;
②ａ
>0
且ａ
≠1,N<
/p>
＞
0;
③ｌ
oga1=
０，
l
ｏ
g
ａ
a=1,a
ｌｏ
ga
Ｎ
=N,lo
ｇ
a
ａ
b=b.
特别地
,
以
10
为底的对数叫常用对数
,
记作
lo
ｇ
1
０
N,
简记为
lgN;
以无理数
e(e
＝２
< br>.
７
18
２
< br>8…)
为底的对数叫做自然对数，记作
l
ｏｇ
eN
，简记为
l
ｎ
N.
2
对数式与指数式的互化
式子名称
abN
指数式
ab
＝Ｎ
(
底数
)(
指数）
(
幂值
)
对数式
lo
ｇ
aN=b(
底数
)
(
对数
)(
真数
)
３对数的运算性质
如果
a>
０
,
ａ
≠1,M>0
，Ｎ＞
0,<
/p>
那么
(1)
ｌ
o
ｇ
a(<
/p>
Ｍ
N)=log
ａ
M+
ｌｏ
g
ａ
N
．
(
2)
ｌ
og
ａＭ
N=lo
ｇ
aM
－
< br>lo
ｇ
aN.
（
3)lo
ｇ
aMn=nlogaM
(n
∈
R)
．
问：①公式中为什么要加条件ａ
>0
,
ａ
≠1
，Ｍ＞
0,N>0
？
< br>②
logaan
＝？
(n
∈
R)
③对数式与指数式的比较
.(
学生填表
)
式子
ab
＝
Nl
ｏ
ｇ
aN=b
名称
a
—
幂的底数
b
—
Ｎ
—
a
—
对数的底数
ｂ
—
N
—
运
算
性
质
a
ｍ
?an
＝
am+
ｎ
ａｍ
÷
an
＝
(
ａ
m)n=
(a>
０且ａ
≠1,n
∈
R)log
ａ
MN
＝
l
ｏ
gaM+logaN
lo
ｇ
aM
Ｎ
=
l
ｏ
g
ａ
M
ｎ
=(n
∈Ｒ
)
(a>0
，
a≠1,
Ｍ
>0,N
＞０）
难点疑点突破
对数定义中，为什么要规定ａ＞
0,
，且
a≠1?
理由如下
:
①若ａ＜
0,
则
N
的某些值不存在
,
例如
log
－２
8
②若
a=0,
则
N≠0
时
b
不存在；
N=
０时
b
不惟一，可以为任何正数
③若
a
＝
1
时，则
N≠1
时
b
不存在；Ｎ
=1
时ｂ也不惟一
,
可以为任何正数
为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于
1
的正数
解题方法技巧
1
（
1)
将下列指数式写成对数式
:
①
54=62
５
;<
/p>
②２
-6
＝１
6
4
；③
3x
＝２７
;
④
13m=5
73
．
（
< br>2
）将下列对数式写成指数式：
①ｌ
og1
２１６
=-4
；②
l
< br>ｏｇ
21
２８＝
7;
③
log327=x;
④ｌ
g0.0
１
=-2;
⑤
ln1
０
=
２
.303;
⑥
lgπ=k.
解析由对数定义：
ab=
Ｎ
l
o
ｇ
aN=b
．
解答（
1)
①ｌ
og5625=4.
②
log
2164=-
６．
③ｌｏｇ
327=x.
④
lo
g135.73=
ｍ
.
解题方法
指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：
ab=N
< br>l
ｏ
gaN
＝
< br>b.
（
2)
①
< br>12
－
4=16.
②２７＝１<
/p>
2
８
.
③
3x=2
７
.
④１
0-2=
０
.01.
⑤
e2.3
０
3=10.
⑥
10
ｋ＝
π
．
2
根据
下列条件分别求
x
的值
:
(
１
< br>)log
８
x=-23
；
(2)lo
ｇ
2(log
５
x)=0
；
(3)lo
ｇ
x
２
7=3
１
+l
ｏ
g32;
（
< br>4)
ｌ
o
ｇ
x(2+3)=-1.
解析（
1)
对数式化指数式，得：
x=
８－<
/p>
2
３＝
?
<
/p>
(
２
)log5
ｘ＝
20=1.
x=
？
<
/p>
(3)31+l
ｏ
g32
＝３
×
3lo
ｇ３２
=
？
27=x?
(4
）２
+
3=
ｘ
-
１＝１ｘ．
< br>
ｘ
=
？
解答
(1)x
＝
8
－
23=
（
23
）
-2
３
=
２
-2=
１
4
．
(2)
ｌ
og5x=
< br>２
0=1
，
x=5
１
=5.
(3)
ｌ
ogx27=
３
×
３
lo
ｇ
32
=3×
2
＝６
,
∴
x6=27
< br>＝
3
３
=(3)
６
,
故ｘ
=3.
（４）２＋
3=x-
１＝
1x,
∴
x
＝
12+
３＝２－
3.
解题技巧
①转化的思想是一个重要的数学思想
,
对数式与指数式有着密切的关系
,
在
解决有关问题时
,
经常进行着两种形式的相互转化
.
②熟练应用公式：
l
oga1
＝
0,l
ｏｇ
aa=
１，
a
ｌｏｇａ
M=
Ｍ
,lo
ｇ
aa
ｎ
=n.3
已知
logax
＝４，
loga
ｙ
=5
，求
A=
〔
x?3x
-1y
２〕１２的值．
解析思路一
,
已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式
,
再利用指数式的
运算求值
;
思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值
解答解法一∵
logax
＝
4,
ｌ
og
ａｙ
=
５
,
∴
x=a
４
,
ｙ
=
ａ
5,
∴
A=x
512
ｙ－
1
３
=(a
４
)
５
1
２
(a5
）－
13=a53?a
－
53=a0=1.
解法二对所求指数式两边取以
a
为底的对数得
logaA=loga(x5
１
2y-13
）
=
５
12
ｌ
og
ａｘ
-1
３
logay=51
２
×
4
－
13×
5=0
，
∴
A
＝
1.
解题技巧
有时对数运算比指数运算来得方便
,
因
此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把
指数运算转化为对数运算
.4
设
x,
ｙ均为正数
,
且
x?y
1+l
ｇ
x
＝
1(
ｘ
≠
１１
0)
，求
l
ｇ
(
ｘ
y
）的取值范围．
解析一个等式中含两个变量
x
、
y
，对每一个确定的正数
x
由等式都有惟一的正数
y
< br>与之对
应，故
y
是
x
的函数
,
从而
l
ｇ
(xy)
也是ｘ的函
数
.
因此求
lg(xy)
的取值范围实际上是一个求函
数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢<
/p>
?
能否对已知的等式两边也取对数？
解答∵
x>
０
,
ｙ＞０
,x?y1+lg
ｘ
=1
，
两边取对数得：
lgx+(1
＋
l
ｇ
x)
ｌ
gy=0.
即<
/p>
l
ｇｙ
=
－
lgx1
＋
l
ｇ<
/p>
x(x≠
１
10,l
ｇ
x≠
-
１
).
令
l
ｇ
x=
ｔ，
则ｌ
gy
＝
-t1+t
（ｔ
≠
-1).
∴
l
ｇ
(xy)
＝
l
ｇ
x
＋
l
ｇ
y=t
－ｔ
1
＋ｔ
=t2
１
+t
．
解题规律
对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；
而变量替换可把
较复杂问题转化为较简单的问题
.<
/p>
设
S=t2
１
+
t,
得关于
t
的方程ｔ
2-St-S=
０有实数解
.
∴
Δ
＝
S2+4S≥0,
解得
S≤
-
４或
S≥0,
故
l
ｇ
(x
ｙ
)
的取值范
围是
(
－
∞,
-4
〕∪〔０
,+∞).
5
求值
:
(
1
）
lg2
５
+lg2?lg50
＋（
lg
２
)2
；
(2)2log32-lo
ｇ
3329+lo<
/p>
ｇ
38-52log
５
< br>3
；
(3)
设
lga+lgb
＝
2
ｌ
g(a-2b)
，
求
log2a-
ｌｏ
g
２ｂ的值
;
（
4)
求
7lg
２
0?1
２
lg0.7
的
值
.
解析
(
１）
25
＝
52
，
5
０
=
5×
10.
都化成
lg
２与
l
ｇ
5
< br>的关系式
.
(2)
转化为
l
ｏｇ
32
的关系式
.
(
3)
所求ｌ
og2a-l
ｏ
g
２ｂ
=log2ab
由
已知等式给出了ａ
,
ｂ之间的关系，能否从中求出
ab
的
值呢
?
(4)
７ｌ
g
２
0?12lg0.7
是两个指数幂
的乘积，且指数含常用对数
,
设<
/p>
x=7
ｌｇ２０
?
１２
lg
０．
7
能否先求出ｌ
gx
，再求
x
？
解答
(1)
原式
=lg52+lg2?l
ｇ
(10×
5
）
+(lg
２
)
２
＝
2
ｌ
g5+lg2?(1+
ｌ
g5)
＋
(lg
２）
2
＝
lg
５
?
（
2+lg2)+lg2
＋
(
ｌｇ
2)
2
＝
lg
１０
2?(2+
ｌｇ
2
）＋
lg
２
+(
ｌ
g2)2
=(
１
-
ｌｇ
2)(
２＋
lg2)+l
ｇ２
+(lg
２
)2
=2-
ｌ
g2-
（ｌ
g2)2+lg2+(l
ｇ２）
2=2.
(2)
原式＝
2
ｌ
og32
－（
< br>lo
ｇ
325-l
ｏ
g332)+log323
－
5log59
＝
2log32-5log
３
2+
２
+3log3
2
－
9
=-7.
(3)
< br>由已知
lg
ａ
b
＝ｌｇ
(a-2b
）
2
(
ａ
-2
ｂ＞
0)
，
∴
ab=
（
a
－２
b)
２
,
即
a
２<
/p>
-
５
ab+4b2=
０．
∴
ab=1
或
ab=4,
这里
a
＞
0,b>
０
.
若
a
ｂ＝
1,
则
a-2b<
0,
∴
ab=1(
舍去
).
∴
ab=4,
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