-
§
2.2
对数函数
2
．
2.1
对数与对数运算
1
< br>．
对数的概念
一般地，
如果
a
x
＝
N
(
a
>0
，
且
a
≠
1)
，
那么数
x
叫做以
a
为底
N
的对数，记作
x
＝
lo
g
a
N
，
其中
a
叫做对数的底数，
N
叫做真数．
说明：
(1)<
/p>
实质上，上述对数表达式，不过是指数函数
y
＝
a
x
的另一种表达形式，例如：
3
4
＝
81<
/p>
与
4
＝
log<
/p>
3
81
这两个式子表达是同一关系，因此
，有关系式
a
x
＝
N
?
x
＝
log
a
N
，从而
得对数恒等式：
a
log
a
N
＝
N
.
(2)
“
log
”同“
＋”“×”“
”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和
它的
幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面．
(3)
根据对数的定义，对数
log
a
N
(
a
>0
，且
a
≠
1)
具有下列性质：
<
/p>
①零和负数没有对数，即
N
>0
；
②
1
的对数为零，即
log
a
1
＝
0
；
③底的对数等于
1
，即
log
a
a
＝
1.
2
．
对数的运算法则
利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数
的加、减、乘、除
运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．<
/p>
(1)
基本公式
①
log
a
(
MN
)
＝
log
< br>a
M
＋
log
< br>a
N
(
a
>0
，
a
≠
1
，
M
>0
，
N
>0)
，即正数的积的对数，等于
同一底
数的各个因数的对数的和．
M
②
log
a
＝
log
a
M
－
log
a
N
(
a
>0
，<
/p>
a
≠
1
，
M
>0
，
N
>0)
，即两个正数的商的对数，等于被除
N<
/p>
数的对数减去除数的对数．
③
log
a
M
n
＝
n
·
log
a
M
(
a
>0
，
a
≠
1
，
M
>0
，
n
∈
R
)
，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数
乘以幂指数．<
/p>
(2)
对数的运算性质注意点
①必须注意
M
>0
，
N
>0
，例如
log
a
[(
－
3)
×
(
－
4)]
是存在的，但是
log
a
(
－
3)
与
log
a
(
－
4)
均不存在，故不能写成
log
a
[(
－
3)
×
(
－
4)]
＝
log
a
(
－
3)
＋
log
a
(
－
4)
．
M
log
a
M
②防止出现以下错误：
log
a
(
M
±
N
)
＝
lo
g
a
M
±
lo
g
a
N
，
lo
g
a
(
M
·<
/p>
N
)
＝
log<
/p>
a
M
·
log<
/p>
a
N
，
log<
/p>
a
＝
，
N
log
a
N
log<
/p>
a
M
n
＝
(log
a
M
)
n
.
3
．
对数换底公式
在实际应用中，常碰到底数不
为
10
的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底
log
c
N
公式：<
/p>
log
b
N
＝<
/p>
(
b
>0
，且
b
≠
1
；
c
>0
，且
c
≠
1
；
N
>0)
．
log
c
b
证明
设
log
b
N
＝
x
，则
b
x
＝
N
.
两边取以
c
为底的对数，<
/p>
log
c
N<
/p>
log
c
N
得<
/p>
x
log
c
b<
/p>
＝
log
c
N<
/p>
.
所以
x
＝
，即
log
b
N<
/p>
＝
.
log
c
b
log
c
b
换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，
即将复杂的或未知
的底数转化为已知的或
需要的底数，这是数学转化思想的具体应用．
由换底公式可推出下面两个常用公式：
1
(1)log
b
N
＝
或
log
b
N
·
log
N
b
＝
1 (
N
>0
，且
N
≠
1
；
b
>0
，且
b
≠
1)
；
log
N
b
m
(2)log
bn<
/p>
N
m
＝
log<
/p>
b
N
(
N
>0
；
b
>0
，且
b
≠
1
；
n
≠
0
，
m
∈
R
< br>)
n
.
题型一
正确理解对数运算性质
对于
a
>0
且
a
≠
1
，下列说法中，正
确的是
(
)
①若
M
＝
N
，则
log
a
M
＝
log
a
N
；
②若
log
a
M
＝
log
a
N
，
则
M
＝
N
；<
/p>
③若
log
a
M
2
＝
log
a
N
2
，则<
/p>
M
＝
N
；
④若
M
＝
N
，则
log
a
M
2
＝
log
a
N
2
.
A
．①与③
B
．②与④
C
．②
D
．①、②、③、④
解析
在
①<
/p>
中，当
M
＝
N<
/p>
≤
0
时，
log
a
M
与
log
a
N
均无意义，因此
< br>log
a
M
＝
< br>log
a
N
不成立．
在
②
中，当
log
a
M
＝
log
a
N
时，必有
M
>0
，
N
>0
，且
M
＝
N
，因此
M
＝
N
成立．
在
③
中，当
log
a<
/p>
M
2
＝
log<
/p>
a
N
2
时，有<
/p>
M
≠
0
，
N
≠
0
，且
M
2
＝
N
2
，即
|
M
|
＝
|
N
|
，但未必有
M
＝
N
.
例如，
M
＝
2
，
N
＝－
2
时，也有
log
a
M
2
＝
log
a
N
2
，但
M
≠
N
< br>.
在
④
中，若
M
＝
N
＝
0
，则
log
a
< br>M
2
与
log
< br>a
N
2
均无意义，因此
log
a
M
2
＝
log
a
N
2
不成立．
所以，只
有
②
成立．
答案
C
点评
正确理解对数运算性质公式，<
/p>
是利用对数运算性质公式解题的前提条件，
使用运
算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．
题型二
对数运算性质的应用
求下列各式的值：
32
(1)2log
3
2
－
log
3
＋
log
3
8
－
5lo
g
5
3
；
<
/p>
9
2
(2)lg25
＋
lg8
＋
lg5·
lg20
＋
(lg2)
2<
/p>
；
3
log<
/p>
5
2·
log
7
9
(3)
.
1
3
log
5
·
log
7
4
3
分析
利用对数的性质求值，
首先要明确解题目标是化异为同，
先使各项底数相同，
才
能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算．
解
(1)
原式＝
2log
3
2
－
(log
3
32
－
log
3
9)
＋
3log
3
2
－
3
＝
< br>2log
3
2
－
5log
3
2
＋
2
＋
3log
3
2
－
3
＝－
1.
10
(2)
原式＝<
/p>
2lg5
＋
2lg2
＋
lg
·
lg(2
×
10)
＋
(lg2)
2
2
＝
2lg(5
×
2)
＋
(1
－
lg2)·
(lg2
＋
1)
＋
(lg2)
2
＝
2
＋
1
－
(lg2)
2
＋
(lg2)
2
＝
3.
1
log
2·
2log
7
3
log
5
2·
log
7
9
2
5
(3)
∵
＝
1
1
3
log
4
log
5
·
log
7
4
－
log
5
3·
3
7
3
lg2
lg3
·
lg5
lg7
3
＝－
＝－
.
lg3
1
lg4
2
·
·
lg5
3
lg7
点评
对数的求值方法一般有两种：<
/p>
一种是将式中真数的积、
商、
幂、方根利
用对数的
运算性质将它们化为对数的和、
差、
< br>积、
商，
然后化简求值；
另一种
方法是将式中的和、
差、
积、商运用对数的运算法则将它们化为
真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．
题型三
对数换底公式的应用
计算：
(log
2
125<
/p>
＋
log
4
25
＋
log
8
5
)(log
5
2
＋
log
25
4
＋
< br>log
125
8)
．
分析
由题目可获取以
下主要信息：
本题是一道对数化简求值题，
在题目中各个对数的
底数都各不相同．
解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值．
解
方法一
原式＝
?
l
og
2
5
3
＋
log
2
25
＋
log
2
5
?
?
log
5
2
＋
log
5
4
＋
log
5
8
?
log
2
4
log
2
8
?
?
log
5
25
log
5
125
?
?
2log
2
5
log
2
5
?
?
2log
5
2
3log
5
2
?
3log
2
5
＋
＋
log
5
2
＋
＋
＝
?
2log
2
2
3log
2
2
?
?
2log
5
5
3log
5
5
?
?
1
3
＋
1
＋
?
log
2
5·
＝
?
(3log
5
2)
3
?
?
log
2
2
＝
13log
2
5·
＝
13.
log
2
5
lg125
lg25
lg5
?
?
lg2
lg4
lg8
?
＋
＋
＋
＋
方法二
原式＝
?
lg4
lg8
?
?
lg5
< br>lg25
lg125
?
?
lg2
3lg5
2
lg5
lg5
?
?
lg2
2lg2
3lg2
?
＝
?
?
lg2
＋
2lg2
＋
3lg
2
?
?
lg5
＋
2lg5
＋
3lg5
?
13lg5
?
?
lg2
?
＝
?
?
3lg2
?
?
3
lg5
?
＝
13.
点评
方法一是先将括号内换底，
然后再将底统一；
方法二是在解题方向还不清楚的情
况下，一次性地统一为常用对数
(
当然也可以换成其他非
1
的正数
为底
)
，然后再化简．上述
方法是不同
底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．
已知
log
(
x
＋
3)
(
x
＋
3
x
)
＝
1
，求实数
x
的值．
错解
由对数的性质
可得
x
2
＋
3
x
＝
x
＋
3.
解得
x
＝<
/p>
1
或
x
＝－
3.
错因分析
对数的底数和真数必须大于
0
且底数不等于
1
，这点在解题中忽略了．
x<
/p>
＋
3
x
＝
x
＋
3
，
?
?
2
正解
由对数的性质知
?
x
＋
3
x
>0
，
?
?
x
＋
3>0
且
x
＋
3
≠
1.
解得
x
＝
1
，故实数
x
的值为
1.
2
2
对数的定义及其性质是高考中的重
要考点之一，
主要性质有：
log
a<
/p>
1
＝
0
，
log
a
a
＝
1
，
a
log
a
N
＝
N
(
a
>0
，且
a
≠
1
，
N
>0)
．
1
．
(
上海高考
)
方程
9
x
－
6·
3
x
－
7
＝
0
的解是
________
．
解析
∵
9<
/p>
x
－
6·
3
x
－
7
＝
0
，即
3
2
x
－
6·
3
x
－
7
＝
< br>0
∴
(3
x
< br>－
7)(3
x
＋
1)
＝
0
∴
3
x
＝
7
或
3
x
＝－
1(
舍去
)
∴
x
＝
log
3
7.
答案
log
3
7
x
?
?
e
，
x
≤
0
，
?
1
?
?
＝
____.
2
．
(
辽宁高考
)
设
g
(
x
)
＝
?
则
g
?
g
< br>?
?
2
?
?
?
ln
x
，
x
>0
，
?
1
?
1<
/p>
?
ln
1
?
＝
eln
1
＝
1
，
解析
g
?<
/p>
＝
ln
<0
，<
/p>
g
?
2
?
?
2
?
2
2
2
?
1
?
?
＝
1
.
∴
g
?
g
?
?
2
?
?
2
1
答案<
/p>
2
1
．对数式
log
(
a
－
3)
(7
－
a
)
＝
b
，实数
a
的取值范围是
(
)
A
．
(
－∞，
7)
B
．
(3,7)
C
．
(3,4)
∪
(4,7)
D
．
(3
，＋∞
)
答案
C
a
－
3>0
，
?
?
解析
由题
意得
?
a
－
3
≠
1
，
?
?
7
－
a
>0
，
解得
3<
a
<7
且
a
≠
4.
2
．设
a
＝
log
3
2
，则
log
3
8
－
2log
3
6
用
a
表示的形式是
(
)
A
．<
/p>
a
－
2
B
．
3
a
－
(1
＋
a
)
2
C
．
5
a
－
2
D
．－
a
2
＋
3
a
－
1
答案
A
解析
∵
a
＝
log
3
2
，
∴
log
3
8
－
2lo
g
3
6
＝
3l
og
3
2
－
2
(log
3
2
＋
1)
＝
3
a
－
2(
a
＋
1)
＝
a
－
2
.
3
．
log
5
6·
log
6
7·
log
7
8·
log
8
9·
log
9
10
的值为
(
)
1
A
．
1
B
．
lg5
C.
<
/p>
D
．
1
＋
lg2
lg5
答案
C
lg6
lg7
lg8
lg9
lg10
lg10<
/p>
1
解析
原式＝
·
·
·
·
＝
＝
.
lg5<
/p>
lg6
lg7
lg8
lg9
lg5
lg5
4
．已知
log
a
(
a
2
＋
( <
br>β <
br>1 <
br>f
<
br>f <
br>2 <
br>2 <
br>( (
1)
a
2
a
<0<
/p>
，则
a
的取值范围是
)
1
0
，
?
A
．
(0,1)
B.
?
?<
/p>
2
?
1
?
C.
?
?
2
，
1
?
D
．
(1<
/p>
，＋∞
)
答案
C
?
?
0<
a
<1
，
解析
由题意，得
?
?
2
a
>1
，
?
1
∵
a<
/p>
>0
，
a
≠
1
，
log
a
(
a
2
＋
1)
a
2
a<
/p>
，
∴
0<
a
<1.
∴
<
a
<1.
2
－
5<
/p>
．已知函数
f
(
x
)
＝
a
x<
/p>
1
＋
log
a<
/p>
x
(
a
>0
，
a
≠
1)
在
[1,3]
上最
大值与最小值之和为
a
2
，则
a
的
值为
(
)
1
1
A
．
4
B.
C
．
3
D.
4
3
答案
D
6
．若方程
(lg
x
)
2
＋
(lg7
＋
lg5)lg
x
＋
lg7·
lg5<
/p>
＝
0
的两根为
α
，
β
，则
αβ
等于
(
)
1
A
．<
/p>
lg7·
lg5
B
．
lg35
C
．
35
D.
35
答案
D
1
解析
∵<
/p>
lg
α
＋
lg<
/p>
β
＝－
(lg7
＋
lg5)
＝－
lg35
＝
lg
35
1
∴
α
·
＝
.
35
?
7
．已知
(log
2
x
)
＝
x
，则
?
?
2
?
＝
________.
答案
2
1
?
1
1
1
解析
令
log<
/p>
2
x
＝
，则
2
＝
x
，
∴
f
?
＝
2
?
2
?
＝
2.
2
8
．
log
2
－
1)
2
＋
1)
＝
________.
答案
－
1
(
2<
/p>
＋
1)(
2
－<
/p>
1)
解析
lo
g
2
－
1
(<
/p>
2
＋
1)
＝
log
2
－
1
2
－
1
1
＝
log
(
2
－
1)
＝－
1.
2
－
1
9
．
已知
lg2
＝
0.301 0
，
lg3
＝
0.477 1
，
lg
x
＝－
2
＋
0.778 1
，则
x
＝
________.
答案
0.06
解析
∵
lg
2
＝
0.301 0
，
lg3
＝
0.477
1
，
而
0.301
0
＋
0.477
1
＝
0.778 1
，
∴
lg
x
＝－
2
＋
lg2
＋
lg3
，
－
即
lg
x
＝
< br>lg10
2
＋
lg6.
－
－
∴
lg
x
＝
lg(6
×
10
2
)
，即
x
＝
6
×
10
2
＝
0.06. <
/p>
x
10
．
(1)
已知
lg
x
＋
lg
y
＝
2l
g(
x
－
2
y
)
，求
log
2
的值；
y
(2)
已知
log
18
9
＝
a,
18
b
＝
5
，试用
a
，
b
表示
< br>log
36
5.
解
(1)lg
x
＋
lg
y
＝
2lg(
x
－
2
y
)
，
∴
xy
＝
(<
/p>
x
－
2
y
)
2
，即
x
2
－
5
xy
＋
4
y
2
＝
0.
即
(
x
－
y
)(
< br>x
－
4
y
)
＝
0
，解得
x
＝
y
或
x
＝
4
y
，
x
>0
，
?
?
又
∵
?
y
>0
，
?
?
x
－
< br>2
y
>0
，
∴
x
>2
y
>0
，
∴
x
＝
y
，应舍去，取
x
＝
4
y
.
x
4
y
lg4
则
l
og
2
＝
log
2
＝
log
24
＝
＝
4.
y
y
lg
2
(2)
< br>∵
18
b
＝
5
，
∴
log
18
5
＝
b,
< br>又
∵
log
18
9
＝
a
，
log
18
5
< br>b
∴
log
36
5
＝
＝
lg
18
36
log
18
(18
×
2)
b
b
＝
＝
18
1
＋
log
18
2
1
＋
log
18
9
b
b
＝
＝
.
1
＋
(1
－
log
18
9)
2
－
a
1
1
1
11
．设
a
，
b
，
c
均为不等于
1
的正数，且
a
x
＝
b
y
＝
c
z
，
＋
＋
＝
0
，求
abc
的值．
x
y
z
< br>解
令
a
x
＝
b
y
＝
c
z
＝
t
(
t
>0
且
t
≠
1)
，
1
1
1
则有
＝
log
t
a
，
＝
log
t
b
，
＝
log
t
c
，
x
y
z
< br>1
1
1
又
＋
＋
＝
0
，
∴
log
t
a
bc
＝
0
，
∴
abc
＝
1.
x
y
z
12
．已知
a
，
b
，
c
是△
ABC
的三边，且关于
x
的方程
x
2
－
2
x
＋
lg(
c
2
－
b
2
)
< br>－
2lg
a
＋
< br>1
＝
0
有等根，试判定△
ABC
的形状．
解
∵
关于
x
的方程
x<
/p>
2
－
2
x
＋
lg(
c
2
－
b
2
)
－
2lg
a
＋
1
＝
0
有等根，
∴
Δ
＝
0
，即
4
－
4[lg(
c
2
－
b
2
)
－
2lg
a
＋
1]
＝
0.
即
lg(
c
2
－
b
2
)
－
2lg
a
＝
0
，故
c
2
－
b
2
＝
a
2
，
∴
a
2<
/p>
＋
b
2
＝
c
2
，
∴△
ABC
为直角三角形．
2
．
2.1
对数与对数运算
(
一
< br>)
学习目标
1
．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．
2
．了解常用对数与自然对数的意义．
3
．理解对数恒等式并能用于有关对数的计算．
自学导引
1
．
如果
a
(
a
>0
且
a
≠<
/p>
1)
的
b
次幂等
于
N
，
就是
a
b
＝
N
，
那么数
b
叫做以
a
为底
N
的对数，
记作
b
＝
log
a
N
，其中
a
叫做对数的底数，
N
叫做真数．
2
．对数的性质有：
(1)1
的对数为零；
(2)
底的对数为
1
；
(3)
零和负数没有对数．
3
．通常将以
10
为底
的对数叫做常用对数，以
e
为底的对数叫做自然对数，
log
10
N
可简
记为
lg
N
，
log
e
N
简记为
ln
N
.
4
．若
a
>0
，
且
a
≠
1
，则
a
b
＝
N
等价于
log
a
N
＝
b
.
5<
/p>
．对数恒等式：
a
log
a
N
＝
N
(
a
>0
且
a
≠
1)
.
一、对数式有意义的条件
例
1
求下列各式中
x
的取值范围：
(1)log
2
(
x
－
10)
；
(2)log
(
x
－
1)
(
x
＋<
/p>
2)
；
(3)log
(
x
＋
1)
(
x
－
1)
2
.
分析
由真数大于零，底数大于零且不等于
1
可得到关于
x
的不等式
(
组
)
，解之即可．
解
(1)
由
题意有
x
－
10>0
< br>，
∴
x
>10
< br>，即为所求．
?
?
x
＋
2>0
，
(2)
由题意有
?
?
x
－
1>0
且
x
－
1
≠
1
，
?
?
?
< br>x
>
－
2
，
即
?
∴
x
>1
且
x
≠<
/p>
2.
?
x
>1
且
x
≠
2
，
?
?
(
x
－
1)
2
>0
，
?
(3)
由题意有
?
?
?
x
＋
1>0
且
x
＋
1
≠
1
，
解得
x
>
－
< br>1
且
x
≠
0
，
x
≠
1
.
点评
在解决与对数有关的问题时
，
一定要注意：
对数真数大于零，
对数
的底数大于零
且不等于
1.
变式迁移
1
在
b
＝
log
(
a
－
2)<
/p>
(5
－
a
)
中，实数
a
的取值范围是
< br>(
)
A
．
a
>5
或
a
<2
B
．
2<
a
<5 <
/p>
C
．
2<
a
<3
或
3<
a
<5
D
．
3<
a
<4
答案
C
5
－
a
>0
?<
/p>
?
解析
由题意
得
?
a
－
2>
0
?
?
a
－<
/p>
2
≠
1
∴
2<
a
<5
且
a
≠
3.
二、对数式与指数式的互化
例
2
将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：
1
(1)5
4
＝
625
；
(2)log
8
＝－
3
；
2
1
?
－
2
(3)
?
?
4
?
＝
16;
(4)log
10
1
000
＝
3.
分析
利用
a
x
＝
N
?
x
＝
log
a
N
进行互化．
解
(1)
∵
5
4
＝
625
，
∴
log
5
625
＝
4.
1
?
－
3
1
(2)
∵
log
8
＝－
3
，
∴
?
?
2
?<
/p>
＝
8.
2
1<
/p>
?
－
2
1
(3)
∵
?
＝
16
，
∴
log
16
＝－
2.
?
4
?
4
(4)
∵
log
10
1 000
＝
3
，
∴
10
3
＝
1 000.
点评
指数和对数运
算是一对互逆运算，
在解题过程中，
互相转化是解决相关问题的
重
x
要途径．在利用
a
＝
N
?
x
＝
log
a
N
进行互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位
置．
变式迁移
2
将下列对数式化为指数式求
x
值：
3
2
(1)log
x
27
＝
；
(
2)log
2
x
＝－
< br>；
2
3
1
(3)log
5
(log
2
x
)
＝
0;
(4)
x
＝
log
27
；
9
1
(5)
x
＝
log
16.
2
3
3
2
解
(1)
由
log
x
27
＝<
/p>
，得
x
＝
27<
/p>
，
∴
x
＝
27
＝
3
2
＝
9.
2
2
3
3
2
2
1
2
(2)
由
log
2
x
＝－
，得
2
－
＝
x
，
∴
x
< br>＝
＝
.
3
3
3
2
2
2
(3)
由
log
5
(log
2
x
< br>)
＝
0
，得
log
2
x
＝
1
，
∴
x
＝
2
1
＝
2.
1
1
－
(4)
由
x
＝
log
27
，得
27
x
＝
，即
3
3
x
＝
3
2
，
9
9
2
∴
x
＝－
.
3
1
?
x
1
－
x
< br>4
(5)
由
x
< br>＝
log
16
，得
?
＝
16
，即
2
＝
2
，
< br>
?
2
?
2
∴
x
＝－
4.
三、对数恒等式的应用
，
＋
例
3
(1)
a
log
a
b
·
log
b
c
·
log
c
N
的值
(
a<
/p>
，
b
，
c
∈
R
，且不等于
1<
/p>
，
N
>0)
；<
/p>
1
(2)4
(
log
2
9
－
log
2
5)
．
2
解
(
1)
原式＝
(
a
log
a
b
)log
b
c
·
log
c
N
＝
b
log
b
c
·
log
c
N
＝
(
b
log
b
c
)log
c
N
< br>
＝
c
log
< br>c
N
＝
N
.
2log
2
9
< br>9
(2)
原式＝
2(log
2
9
－
log
2
5)
＝
＝
.
2log
2
5<
/p>
5
点评
对数恒
等式
a
log
a
N
＝
N
中要注意格式：
(1)
它们是同底的；
(2)
指数中含有对数形
式；
(3)
其值为
真数．
1
变式迁移
3
计算：
3log
3
5
＋
(
3)log
3
.
5
1
< br>1
1
1
解
原式＝
5
＋
3
log
3
＝
5
＋
(3log
3
< br>)
2
5
5
2
1
6
5
＝
5
＋
＝
.
5
5
1
．
一般地，如果
a
(
a
>0
，
a
≠
1)
的
b
次幂
等于
N
，就是
a
b
＝
N
，那么
b
叫做以
a
为底
N
的对数，记作
log
a
N
＝
b
，其中
a
叫做对数的底数，
N
叫做真数．
2
．利用
a
b
＝
N
?
b
＝
log
a
N
(
其中
a
>0
，
a
≠
1
，
N
>
0)
可以进行指数与对数式的互化．
3
．对数恒等式：
a
log
a
N
＝
N
(
a
>0
且
< br>a
≠
1)
．
一、选择题
1
．下列指数式与对数式互化不正确的一组是
(
)
A
．<
/p>
10
0
＝
1
与
lg1
＝
0 <
/p>
1
1
1
1
B
．
27
－
＝
与
log
27
＝－
3
3
3
3
1
1
C
．
log
3
＝
9
与
9
< br>＝
3
2
2
D
．
log
5
5
＝
1
与
5
1
＝
5
答案
C
2
．指数式
b
6
＝
a
(
b
>
0
，
b
≠
1)
所对应的对数式是
(
)
A
．
log
6
a
＝
a
B
．
log
6
b
＝
a
C
．
log
a
b
＝
6
D
．
log
b
a
＝
6
答案
D
3
．若
l
og
x
(
5
－
2)
＝－
1
，
则
x
的值为
(
)
A.
5
－
2
B.
5
＋
2
C.
5
－
2<
/p>
或
5
＋
2
D
．
2
－
5
答案
B
4
．如果
f
(10
x
)
＝
x
，则
f
(
3)
等于
(
)
A
．
lo
g
3
10
B
．
lg3
C
．
10
3<
/p>
D
．
3
10
答案
B
解析
方法一
令
10
x
＝<
/p>
t
，则
x
＝
lg
t
，
∴
f
(
t
)
＝
lg
t
，
f
(3)
＝
lg3.
方法二
令
10
x
＝
3
，则
x
＝
lg3
，
∴
f
(3)
＝
lg3.
1
5
．
21
＋
·
log<
/p>
2
5
的值等于
(
)
2<
/p>
A
．
2
＋
5
B
．
2
5 <
/p>
5
5
C
．
2
＋
D
．
1
＋
2
2
答案
B
1
1
1<
/p>
解析
21
＋<
/p>
log
2
5
＝<
/p>
2
×
2
log<
/p>
2
5
＝
2
×
2log
2
5
2
2
2
1
＝
2
×
5
＝
2
5.
2
二、填空题
6
．若
5
lg
x
＝
25
，则
x
的值为
________
．
答案
100
解析
∵
5<
/p>
lg
x
＝
5
2
，
∴
lg
x
＝
2
，
∴
x
＝
10
2
＝
100.
＋
7
．设
log
a
2
＝
m
，
log
a
3
＝
n
，则
a
2
m
n
的值为
_______
_
．
答案
12
解析
∵
log
a
2
＝
m
，
log
a
3
＝
n
，<
/p>
∴
a
m
＝
2
，
a
n
＝
3
，
＋
∴
a
2
m
n
＝
a
2
m
·
a
n<
/p>
＝
(
a
m
)
2
·
a
n
＝
2
2
×
3
＝
12.
8
．已知
lg6
≈
0.778
2
，则
10
2.778
2
≈
________.
答案
600
解析
10
2.778 2
≈
10
2
×
10
lg6
＝
600.
三、解答题
9
．求下列各式中
x
的值
1
－
2
x
?
(1)
若
log
3
?
?
9
?
＝
1
，则求
x
值；
(2)
若
log
2 003
(
x
2
－
1)
＝
0
，则求
x
值．
1
－
2
x
1
－
2
x
?
解
< br>
(1)
∵
log
3
?
＝
1
< br>，
∴
＝
3
9
?
9
?
∴
1
－
2
x<
/p>
＝
27
，即
x<
/p>
＝－
13
(2)
∵
log
2 003
(
x
2
－
1)
＝
0
∴
x
< br>2
－
1
＝
1
，即
x
2
＝
2
∴
x
＝
±
2
2
10
．求
x
的值：
(1)
x
＝
log
4
；
(2)
x
＝
log
9
3
；
(3)
x
＝
71
－
log
7
< br>5
；
2
1
(4)log
x
8
＝－
3
；
(5)log
x
＝
4.
2
2
解
(1)
由已知得：
?
?
x
＝
4
，
?
2
?
1
x
∴
2
－
x
＝
2
2
，－
＝
2
，
x
＝－
4.
2
2
1
(2)
由已知得：
9
x
＝
3
，即
3
2
x
＝
3
.
2
1
1
∴
< br>2
x
＝
，
x
＝
.
2
4
7
(3)
x
＝
7÷
7log
7
5
＝
7÷
5
＝
.
5
－
3
(4)
由已知得：
x
＝
8
，
1
?
3
1
1
3
即
?
＝<
/p>
2
，
＝
2
，
x
＝
.
?
x
?
x
2
?
1
?
< br>4
1
(5)
由已知得：
x
＝
?
?
＝
.2.2.1
对数与对数运算
< br>(
二
)
?
2
?
16
学习目标
1
．掌握对数的运算性质及其推导．
2
．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．
自学导引
1
．对数的运算性质：如果
a
>0
，
a
≠
1
，
M
>0
，
N
>0
，那么，
(1)l
og
a
(
MN
)
＝
log
a
M
＋
log
a
N
；
M
(2
)log
a
＝
log
< br>a
M
－
log
< br>a
N
；
N
(3)log
a
M
n
＝
n
log
a
M
(
n
∈
R
)
．
log
c
b
2
．对数换底公式：
log
a
b
＝
.
log
c
a
一、正确理解对数运算性质
例
1
若
a
>0
，
a
≠
1
，
x
>0
，
y
>0
，
x
>
y
，下列式子中正确的个数有
(
)
①
log
a
x
·
log
a
y
＝
log
a
(
x
＋
y
)
；
②
log
a
x
－
log
a
y
＝
log
a
(
x
－
y
)
；
x
③
log
a
＝
log
a
x
÷
log
a
y
；
y
④
log
a
(
xy
)
＝
log
a
x
·
log
a
y
.
A
．
0
个
B
< br>．
1
个
C
．
2
个
D
．
3
个
答案
A
解析
对
数的运算实质是把积、
商、
幂的对数运算分别转化为对数的加、
减、
乘的运算．
在
运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，
如
log
a
x
≠
log
a
·
x
，
log
a
x
是不可
分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的
．
点评
正
确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．
变式迁移
1
若
a
>0
且
a
≠
1
，
x
>0
，
n
∈
N
*
，则下列各式正确的是
< br>(
)
1
A
．
log
a
x
＝－
log
< br>a
B
．
(log
a
x
)
n
＝
n
log
a
x
x
1
C
．
(l
og
a
x
)
n
＝
log
a
x
n
D
．
log
a
x
＝
log
a
x
答案
A
二、对数运算性质的应用
例
2
计算：
7
(
1)log
5
35
－
< br>2log
5
＋
log
5
7
－
log
5
1.8
；
3
(2)2(lg
2)
2
＋
lg
2·
l
g5
＋
(lg
2)
2
－
lg2
＋
1
；
lg
27
＋
lg8
－
lg
1
000
(3)
；
lg1.2
(4)(lg5)
2
＋
lg2·
lg50.
分析
利用对数运算性质计算．
9
解
(1)
原式＝
log
5
(5
×
7)
－
2(log
5
7
－
< br>log
5
3)
＋
log
5
7
－
log
5
5
＝
log
5
5
＋
log
5
7
－
2log
5
7
＋
2log
5
3
＋
log
5
7
－
2log
5
3
＋
log
5
5
＝
2log
5
5
＝
2.
(2)
原
式＝
lg
2(2lg
2
＋
lg5)
＋
(lg
2
－
1)
2
＝
lg
2(lg2
＋
lg5)
＋
1<
/p>
－
lg
2
＝
lg
2
＋
1
－
lg
2
＝
1.
3
3
lg3
＋
3lg2
－
2<
/p>
2
3lg3
＋
6
lg2
－
3
3
(3)
原式＝
＝
＝
.
lg3
＋
2lg2
－
1
2(lg3
＋
2lg2
－
1)
2<
/p>
(4)
原式＝
(lg5)
2
＋
lg2·
(lg2
＋
2lg5)
2
＝
(lg5)
＋
2lg5·
lg2
＋
(lg2)
2
＝
(lg5
＋
lg
2)
2
＝
1.
点评
要灵活运用有关公式．注意公式的正用、逆用及变形使用．
变式迁移
2
求下列各式的值：
1
1
(1)log
5
35
＋
2log
2
－
log
5
－
log
5
14
；
<
/p>
2
50
2
(2)
[(1
－
log
6
3)
＋
log
6
< br>2·
log
6
18]÷
log
6
4.
解
(1)
原式
1
＝
log
5
(5
×
7)
－
2log
2
2
＋
log
5
(5
2
×
2)
－
log
< br>5
(2
×
7)
2
＝
1
＋
log
5
7
－
1
＋
2
＋
log
5
2
－
log
5
2
－
log
5
7
＝
2.
2
(2)
原式＝
[log
6
2
＋
log
6
2·
log
6
(3
×
6)]÷<
/p>
log
6
2
2<
/p>
＝
log
6<
/p>
2(log
6
2
＋
log
6
3
＋
1)÷
(2log
6
2)
＝
1.
三、换底公式的应用
2
1
例
3
< br>
(1)
设
3
< br>x
＝
4
y
＝
36
，求
＋
的值；
x
y
(2)
已知
log
18
9
＝
a,
18
b
＝
5
，求
log
36
45.
解
(1)
由
已知分别求出
x
和
y
< br>.
∵
3
x
＝
36,4
y
＝
< br>36
，
∴
x
＝
log
3
36
，
y
＝
log
4
36
，
由换底公式得：
log
36
36
1
log<
/p>
36
36
1
x<
/p>
＝
＝
，
y
＝
＝
，
log
36
3
log
36
3
log
36
4
log
36
4
1
1
∴
＝<
/p>
log
36
3
，
＝
log
36
4
，
x
y<
/p>
2
1
∴
＋
＝
2log
36
3<
/p>
＋
log
36
4
x
y
＝
log
36
(3
2
×
4)
＝
log
36
36
＝
1.
(2)
∵
log
18
9
＝
a,
18
b
＝
5
，
< br>∴
log
18
5
＝
b
.
log
18
45
log
18
(9
×
5)
∴
log
36
45
＝<
/p>
＝
log
18
36
log
18
(18
×
2)
log
18
9
＋
log
18
5
a
＋
b
a
＋
b
＝
＝
＝
.
18
2
－
a
1
＋
log
18
2
1
＋
log
18
9
点评
指数式化为对数式后，
两对数式的底不同，
但式子两端取倒数
后，
利用对数的换
底公式可将差异消除．
变式迁移
3
(1)
设
log
3
4·
log
4
8·
log
8
m
＝
log
4
16
，求
m
；
(2)
已知
log
12
27
＝
a
，求
lo
g
6
16
的值．
解
(1)
利用换底公式，得
lg4
lg3
·
lg8
lg
4
·
lg
m
l
g8
＝
2
，
∴
lg
m
＝<
/p>
2lg3
，于是
m
＝
9.
(2)
由
< br>log
3lg3
12
27
＝
a
，得
2lg2<
/p>
＋
lg3
＝
a<
/p>
，
∴
lg3<
/p>
＝
2
a
lg2<
/p>
lg3
2
a
3<
/p>
－
a
，
∴
lg2
＝
3
－
a
.
∴
log
16
＝
4lg2
4
6
lg3
＋
l
g2
＝
2
a
3
－
a
＋
1
＝
4(3
－
a
)
3
＋
a
.
1
．
对于同
底的对数的化简常用方法是：
(1)
“
收
”
，将同底的两对数的和
(
差
)
化成积
(
商
)
的对数；
(2)
“
拆
”
，将积
(
商
)
的对数拆成对数的和
(
差
)
．
2
．对于常用对数的化简要充分利用
“
lg5
＋
lg2
＝
1
”
来解题．
< br>3
．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．
< br>
一、选择题
1
．
lg8
＋
3lg5
的值为
(
)
A
．－
3
B
．－
1
C
．
1
D
．
3
答案
D
解析
lg8
＋
3lg5
＝
lg8
< br>＋
lg5
3
＝
< br>lg1 000
＝
3.
2
．已知
lg2
＝
a
，
lg3
＝
b
，则
log
3
6
等于
(
)
A.
a
＋
b
a
＋
b
a
B.
b
C.
a
a
＋
b
D.
b
a
＋
b
答案
B
解析
log
lg6
lg2
＋
lg3
a
＋
b
3
6
＝
lg3
＝
lg3
＝
b
.
< br>3
．若
lg
a
< br>，
lg
b
是方程
2
x
2
－
4
x
＋
1
＝
0
的两个根，则
?
< br>?
lg
a
b
?
?
2
的值等于
< br>(
A
．
2
B.
1
2
C
．
4
D.
1
4
答案
A
解析
由根与系数的关系，得
lg
a
＋
lg
b
＝
2
，
lg
a
·
lg
b
＝
1
2
< br>，
∴
?
?
lg
a
b
?
?
2
＝
(l
g
a
－
lg
b
)
2
＝
(lg
a
＋
lg<
/p>
b
)
2
－
4lg
a
·
lg
b
＝
2
2
－
4
×
1
2
＝
2.
4
．若
2.5
x
＝
1
000,0.25
y
＝
1 000
，则
1
1
x
－
y
等于
(
)
)
1
1
A.
B
．
3
C
．－
D
．－
3
3
3
答案
A
解析
由指数式转化为对数式：
x
＝
log
2.5
1 0
00
，
y
＝
l
og
0.25
1
000
，
1
1
1
则
－
＝<
/p>
log
1 000
2.5
－
log
1 000
0.25
＝
log
1
000
10
＝
.
x
y
3
2
2
5
．设函数
f
(
x
)
＝
l
og
a
x
(
a
>0
，且
a
≠
1)
，若
f
(
x
1
x
2<
/p>
?
x
2 005
)
＝
8
，则
f
(
x
2
1
)
＋
f
(
x
2
)
＋?＋
f
(
x
2 005
)
的值等于
(
)
A
．
4
B
．
8
C
．
16
D
．
2log
a
8
答案
C
解析
因
为
f
(
x
)<
/p>
＝
log
a
x<
/p>
，
f
(
x
1
x
2
?
x
2 005
)
＝
8
，
2
2
所以
f
(
x
2
1
)
< br>＋
f
(
x
2
)
＋
?
＋
f
(
x
2
005
)
2
2
＝
log
a
x
2
1
＋
log
a
x
2
＋
?
＋
log
a
x
2 005
＝
2log
a
|
x
1
|
＋
2log
< br>a
|
x
2
|
＋
?
＋
2
log
a
|
x
2 005
|
＝
2log
a
|
x
1
x
2
?
x
2 005
|
＝
2
f
(
x
1
< br>x
2
?
x
2 005
)
＝
2
< br>×
8
＝
16.
二、填空题
6
．设
lg2
＝
a
，
lg3
＝
b
，那么
lg
1.8
＝
__________.
a
＋
2
b
－
1
答案
2
1
1
18
1
2<
/p>
×
9
解析
lg
1.8
＝
lg
1.8
＝
lg
＝
lg
2
2
10
2
10
1
1
＝
(lg2
＋
lg9
－
1)
＝
(
a
＋
2
b
－
1)
．
2
2
7
．若<
/p>
log
a
x
＝<
/p>
2
，
log
b<
/p>
x
＝
3
，
log
c
x
＝
6
，则
log
abc
x
的值为
____
．
答案
1
1
1
解析
<
/p>
log
abc
x
＝
＝
log
x
abc
log
x
a
＋
log
x
b
＋
log
x
c
∵
log
a
x
＝
2
，
log
b
x
＝
3
，
log
c
x
＝
6
1
1
1
∴
log
x
a
＝
，
log
x
b
＝
，
log
x
c
＝
，
2
3
6
1
1
∴
log
abc
x
＝
＝
＝
1.
1
1
1
1
＋
＋
2
3
6
< br>8
．已知
log
6
3
＝
0.613 1
，
log
6
x
＝
0.386 9
，则
x
＝
________.
答案
2
解析
由
log
6
3
＋
log
6
x
＝
0.613 1
＋
0.386
9
＝
1.
得
log
6
(3
x
)
＝
1.
故
3
x
＝
6
，<
/p>
x
＝
2.
三、解答题
9
．求下列各式的值：
1
32
4
(1)
lg
－
lg
8
＋
lg
245
；
2
49
3
(2)(lg5)
2
＋
2
lg2
－
(lg2)
2
.
1
4
3
< br>解
(1)
方法一
原式＝
(5lg2
－
2lg7)
－
·
lg2
2<
/p>
3
2
1
＋
(2lg7
＋
lg5)
2
5
1
＝
lg2
－
lg7
－
2lg2
＋
lg7
＋
lg5
2
2
1
1
1
＝
lg2
＋
lg5
＝
(lg2
＋
lg5)
2
2
2
-
-
-
-
-
-
-
-
-
上一篇：对数知识点整理
下一篇：(完整版)freeverse