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log
即英语名词：
logarithms<
/p>
对数
美
['l
?
g
?
r
?θmz]
英
['l
?
g
?
r
?θmz]
如果
a
=n
，那么
< br>log
a
n=b
。其中，
a
叫做
“
底数
”
，
n
叫做
“
真数
”
，
b
叫做
“
以
a
为底的
n
的对数
”
。
f(x)=log
a
x
函数叫做
对数函数
。对数函数中
x
的
定义
域
是
x>0
，
零
和
负数
没有
对数
；
a
的定义域是
a>0
且
a≠1
。
发明者
约翰
·
奈皮尔
时
间
1550-1617
年
目录
1.
1
起源
2. 2
定义
3.
3
基本性质
4. 4
推导
log
起源
在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到
十七世纪初的苏格兰数学家
——
纳皮尔（
Nap
ier
，
1550-1617
年）男爵
。
b
在纳皮尔所处的年代，
哥白尼
的
“
太阳中心说
”
刚刚开
始流行，这导致天文学成为当
时的热门学科。可是由
于当时
常量
数学
的局限性，天文学家们不得不花费很
大的精力去计算那些繁杂的
“
天文数字
”
，因此浪费了
若干年甚至毕生的宝贵时间。纳皮尔也是当时的一位
天文爱好者，为了简化
计算，他多年潜心研究大数字
的计算技术，终于独立发明了对数。当然，纳皮尔所
发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不
完全一样。在
纳皮尔
那个时代，
“
指数
”
这个概念还尚
未形成，因此纳
皮尔并不是像现行代数课本中那样，
通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对
数概念的。那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是
怎么一回事
呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，
还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了
一种计
算特殊多位数之间乘积的方法。让我们来看看下面这
个例
子：
2
n
n=0
1
10
1
2
11
2
4
12
3
8
4
16
13
5
32
14
6
64
15
7
128
8
256
16
9
512
17
1024
2048
4096
8192
16384
32768
65536
131072
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表
示
2
的指数，第二行表示
2
的对应幂。如果我们要计算第
二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数
字的加
和来实现。比如，计算
64×
2
56
的值，就可以先查询
第一行的对应数字：
< br>64
对应
6
，
< br>256
对应
8
；然后再
把第一行中的对应数字加和起来：
6+8=14
；
第一行中
的
14
，
对
应
第
二
行
中
的
16
384
，
所
以
有
：
64×
256=16384
。
纳皮尔
的这种计算方法，实际上已
经完全是现代数学中
“
对数运算
”
的思想了。
回忆一下，我
们在中学学习
“
运用对数简化计算
”<
/p>
的时
候，采用的不正是这种思路吗：计算两个复杂数的乘
积，先查《常用对数表》
，找到这两个复杂数的常用
对数，再把这两个常用对数值相加，再通过《常用对
数的反对数表》查出加和值的反
对数值，就是原先那
两个复杂数的乘积了。这种
“
化乘除为加减
”
，从而达
到
简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？
经过多年的探索，纳皮尔男爵于
1614
年出版了他的
名著《奇妙的对数定律
说明书》
，向世人公布了他的
这项发明，并且解释了这项发明的
特点。所以，纳皮
尔是当之无愧的
“
对
数缔造者
”
，理应在数学史上享有
这份
殊荣。伟大的导师
恩格斯
在他的著作《自然辩证
法》中，曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、
牛顿
和
莱布尼兹
的
微积分
共同称为十七世纪的三大数学
发明。
法国著名的数学家、<
/p>
天文学家
拉普拉斯
（
Pierre
Simon
Laplace
，
1749-1827
）曾说对数可以缩短计
算时间，
“
在实效上等于把天文学家的寿命延
长了许
多倍
”
。
log
定义
自然语言表达式
：
若
a
n
=b(a>0
且
a≠1)
则
n=log
a
b
标准语言表达式
：
若
a^n
=b(a>0
且
a≠1)
则
n=log
（
a^b
）<
/p>
log
基本性质
1
、
a
log
a
b=b a^{log(a^b)}=b
2
、
log
a
(MN)=l
og
a
M+log
a
< br>N
log{a^(MN)}=log(a^M)+log
（
a^N
）
3
、
log
a
(M÷
N)=log
a
M-log<
/p>
a
N
log{a^(M/N)}=log(a^M)-log(a^N)
< br>4
、
log
a
< br>(M
n
)=nlog
a
M
log{a^(M^n)}=nlog(a^M)
5
、
log(a
n
)(M)=1/nlog
a
M
< br>log{
（
a^n
）
^M}=1/nlog(a^M)
log
推导
1
、因为
n=log
a
b
，代入则
a
n
=b
，即
a
(log(a)
(b))
=b
。
2
、令
log
a
< br>(MN)=b,
则有
a
b=MN
；