-
二次函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练
初中函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练
一、
常用公式或结论
(
1
)横线
段的长
=
横标之差的绝对值
=
x
大
-x
小
< br>
=
x
右
-x
左
。
纵线段的长
=
纵标之差的绝对值
=
y
大
-y
小
=
y
上
-y
下
。
(
2
)点轴距离:
点
P
(
x
0
,
y
0
)到
X
< br>轴的距离为
y
0
,到
Y
轴的距离为
x
o
。
(
3
)
两点间的距离公式:
若
A
(
x
1<
/p>
,y
1
)
,
p>
B(
x
2
,y
p>
2
),
则
AB=
(
x
1
?
p>
x
2
)
2
?
(
y
1
?
y
2
)
< br>2
(
4
)
点到直线的距离:
点
P
(
x
0
,
y
0
)到直线
Ax+By+C=0
(
其中常数
A,B,C
最好化为整系数,也方便
< br>计算
)
的距离为:
d
?
Ax<
/p>
0
?
By
0
p>
?
C
A
?
B
2
2
或
d
?
kx
0
?
y
0
?
b
1
?
k
2
(
5
)<
/p>
中点坐标公式
:
若
A(
x
1
,y
1
)
,
B
(
x
2
,y
2
)
,则线段
AB
的中点坐标为(
(
6
)
直线的斜率公式:
若
A<
/p>
(
x
1
,y
p>
1
)
,
B
(
x
2
,y
2
)
(x
1≠
x
2
)
,则直线
AB
的斜率为:
k
AB
=
(
7
)
p>
两直线平行的结论:
已知直线
l
1
:
y=k
1
x+b
1
;
l
2
:
<
/p>
y=k
2
x+b
2
①若
l
1
//l
2
,
则
k
1
=k
2<
/p>
,②若
k
1
=k
2
,且
b
1
≠
b
2
,则<
/p>
l
1
//l<
/p>
2
。
(
8
)
p>
两直线垂直的结论:
已知直线
l
1
:
y=k
1
x+b
1
;
l
2
:
<
/p>
y=k
2
x+b
2
第
1
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x
1
p>
?
x
2
y
1
?
y
2
,
2
2
)
< br>
y
1
?
y
2
,
(
x
1≠
x
2
)<
/p>
x
1
?
x
2
二次函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练
①若
l
1<
/p>
┴
l
2
,则
p>
k
1
?
k
2
=-1
,②若
k<
/p>
1
?
k
2
=-1
,则
l
1<
/p>
┴
l
2
(
9
)
p>
直线与抛物线(或双曲线)截得的弦长公式
:
直线
y=kx+n
与抛物线
y=ax
2
+bx+c
(或双曲线
y=m/x
)截得的弦长公式是:
2
AB=
1
?
k
?
x
1
?
x
2
=
1
?
k
2
?<
/p>
(
x
1
?
x
2
)
2
?
4
x
1
x
2
证明如下:
设直线
< br>y=kx+n
与抛物线
y=ax
2
+bx+c
(或双曲线
y=m/x<
/p>
)交于
A
(
x<
/p>
1
,
y
1
)
,
B
(
x
2
, y
2
)两点,由两点间的距离公式可得:
AB=
(
x
1
?
x
2
)
p>
2
?
(
y
1
?
y
2
)
2
,因为
A
(
x
1
, y
1
)
,B
(
x
2
, y
2
)两点是直线
y=kx+n
与抛
物线抛物线
y=ax
2
+bx+c<
/p>
(或双曲线
y=m/x
)的交点,所以<
/p>
A
(
x
1
, y
1
)
,B
(
x
2
, y
2
)两点也在直线
y=kx+n
上,
∴
y
1
=kx
1
+n,
y
2
=kx
2
+n,
p>
∴
y
1
-y
2
=
(
kx
1
+n
)
—
(
kx
2
+n
)
=kx
1
-kx
2=
k
(
x
1
-x
2
)
,
2
∴
AB=
(
x
1
?
x
2
)
2
?
k
2
(
x
1
?
x<
/p>
2
)
2
=
(
1
?
k
2
)(
x
1
?
x
2
)
< br>2
=
1
?
k
?
x
1
?
x
2
=
p>
1
?
k
2
?
(
x
1
?
x
2
)
< br>2
?
4
x
1
x
2
而
x
1
,
x
2
显然是
直线
y=kx+n
与抛物线
y=ax<
/p>
2
+bx+c
(或双曲线
y=m/x
)组成方
程组后,消去
y
(用代入法)所得到的那个一元二次方程的两根,从而运用韦达
< br>定理
x
1
+x
< br>2
,
< br>x
1
?
x
2
可轻松求出,进而直线与抛物线(或双曲线)截得的弦长就
很容易计算或表示出来。
(
10
p>
)由特殊数据得到或联想的结论:
p>
①已知点的坐标或线段的长度中若含有
2
、
3
等敏感数字信息,
那很可能有特殊<
/p>
角出现。
②
在抛物线的解析式求出后,要高度关注交点三角形和顶点三角形的形状,若
第
2
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二次函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练
有特殊角出现,那很多问题就好解决了。
③还要高度关注已知或求出的直线解析式中的斜率
K
的值,
若
K=
?
3
,
则直线
3
与
X
轴的夹角为
30
0
;若
K=
?
1
;则直线与
X
轴的夹角为
45
0<
/p>
;若
K=
?
3<
/p>
,则直线
与
X
轴
的夹角为
60
0
二、基本公式或结论训练
--------
破解函数难题的基石
(一)横线段的长度计算:
【特点:两端点的
< br>y
标相等,长度
=
x
大
-
x
小
】
。
(
1
)若
A
(
2,0
)
,
B
(
10,0
)
,则
< br>AB=
————————
。
(
2
)若<
/p>
A
(
-2,0
)
,
B
(
-4,
0
)
,则
AB=
——————————
。
(
3
)若
M
(
-3,0
)
,
N
(
10,0
)
p>
,则
MN=
——————————
。
(
4
)若
O
(
0,0
)
,
A
(
6,0
)
,则
OA=
————————
。
(
5
)若<
/p>
O
(
0,0
)<
/p>
,
A
(
-4,0
)
,则
OA=
——————————
。
(
6
)若
O
(
0,0
)
,
A(t,0),
且
A
在<
/p>
O
的右端,则
OA=
———
。
(
7
)若
O
(
0,0
)
,
A(t,0),
且
A
在
O
的左端,则
OA=
———
。
第
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二次函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练
(
8
)若
A(-2t,6)
,B(3t,6),
且
A
在
B
的右端,则
AB=
——
——
。
(
9
)若
A
(<
/p>
4t,m
)
,B(1-2t,m),
p>
且
B
在
A
的左端,则
AB=
——————
。
(
10
)若
P
(
2m+3,a
)
,M(1-m,a),
且
P
在
M
的右端,则
PM=
————————
。
注意:横线段上任意两点的
y
标是相等的,反之
y
标相
等的任意两个点都在
横线段上。
(二)纵线段的长度计算:
【特点:两端点的
< br>x
标相等,长度
=
y
大
-
y
小
】
。
(
1
)若
A(0,5)
,
B
(
0,7
)
,则
AB=
——————————
。
(
2
)若
A
(
0
,
-4
)
,
B
(
0
,<
/p>
-8),,
则
AB=
——————
。
(
3
)若
A
(
0,2
)
,
B
(
0
,
-6
)
,则
AB=
————————
。
p>
(
4
)若
A
(
0,0
)
,
B
(
0
,
-9),
则
AB=
———
—————
。
(
5
)若
A(0,0)
,
B(0,-6)
,则
A
B=
————————
。
(
6
)若<
/p>
O(0,0)
,
A(0,t),
且
A
在
O
的上端,则
OA=
————————
。
(
7
)若
O
(
0,0
)
,
A
(
0
,
t),
且
A
在
O
的
下端,则
OA=
——————————
。
(
8<
/p>
)若
A
(
6
p>
,
-4t),B(6,3t),
且
A
在
B
的上端,则
p>
AB=
————————
。
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页
二次函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练
(
9
)若
M
(
m,1-2t),N(m,3-4t),
且
M
在
N
的下端,则
p>
MN=
————————
。
(
10
< br>)若
P
(
t,3n+2),M(
t,1-2n),
且
P
在
M
的上端,则
PM=
———
—————
。
注意:纵线段上任意两点的
x
标是相等的,反之
x
标相等的任意两个点都
在纵线段上。
(三)点轴距离:
一个点
(
x
标
,
y
标
)
p>
到
x
轴的的距离等于该点的
y
标的绝对值(即
的距离等于该点的
< br>x
标的绝对值(即
x
标
y
标
)
,到
y
轴
)
。
(
1
)点(
-4,-3)
到
x
轴的距离为
————————
,到
y
轴的距离为
————————
。
(
2
)若点
A
(
1-2t,
t
2
?
2
t
?
3
)
在第一象限,则点
A
到
x
轴的距离为
————
,到
y
轴的距离为
__________
。<
/p>
(
3
)
若点
M
(
t,
t
2
?
4
t
?
3
)
在第二象限,
则点
M
到
x
轴的距离为
;
到
y
轴的
距
离为
———
。
(
4
)若点
A
(
-t,2t-1)
在第三象限,则点
A
到
x
p>
轴的距离为
—
,到
y
轴的距
离为
。
(
p>
5
)若点
N
(
p>
t
,
-t
+2t-
3)
点在第四象限,则点
N
到
x
轴的距离为
——————
,
到
y
轴的距离为
_________
。
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2
2
二次函
数问题涉及到的常用公式或结论及其训练
(
< br>6
)若点
P
(
< br>t ,t
+2t-3)
在
x
p>
轴上方,则点
P
到x轴的距离为
____________
。
(
7
)若点
Q
(t,
t
-
2t-6
)在x轴下方,则点
Q
到x轴
的距离为
_____________
。
(
8
)
若点
D
(t,
t
+4t-5
)在y轴左侧,则点
D
到
y轴的距离为
____________
。
(
9
)
若点
E
(
n
,
2n+6)
在y轴的右侧,
则点
p>
E
到y轴的距离为
___________
____
。
(
10
)若动点
P
< br>(t,
t
-2t+3
)在x轴上
方,且在y轴的左侧,则点
P
到
x轴的
距离为
_________________
,到y轴的距离为
——————————
。
(
11
)若
动点
P
(t,
t
-2t+3
)在x轴上方,且在y轴的右侧,则点
P
到
x轴的距离为
———————
,到y轴的距离为
————————————
。
(
12
)若动点
P
(t,
t<
/p>
-2t+3
)在x轴下方,且在y轴的左侧,则点
P
x轴的距离为
———————
,到y轴的距离为
——————————
。
(
13
< br>)若动点
P
(t,
t
-2t+3
)在x轴下方,且在y轴的右侧,则点
P
到
x轴的距离为
———————
p>
,到y轴的距离为
——————————
。
注意:在涉及抛物线,直线,双曲
线等上的动点问题中,在动点坐标“一
母示”后,还要高度关注动点运动变化的区域(例
如:动点P在抛物线y
=
x
-2x+3
上位于x轴下方,y轴右侧的图象上运动)
,以便准确写出动点
第
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2
2
2
2
2
p>
2
2
二次函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练
(或
y
标
)
坐标中参数字母的取值范围,以及点轴距离是等于相应
x
标
的相反数,
还是其本身。
(四)中点坐标的计算:
若【
A
(
x
1
,y
1
)
,
B(
x
2
,y
2
),
,则线段
AB
的中点坐标为(
x
?
x
1
2
2
,<
/p>
y
1
?
y
2
2
)
】
(
1
)若
A
(-
4
,3)
,
B
(
6
,
7
)
,则
< br>AB
中点为
————————————
< br>。
(
2
)若
M
(
0
,
-6
)
,
N
(
6
,
p>
-4
)
,则
MN<
/p>
的中点坐标为
————————————
。
1
(<
/p>
3
)若
P
(
p>
1
,
,
Q
(
1
,
)
,则
PQ
的中点坐标为
——
——————
。
-3
)
2
3
2
(
4
)若
A(1,2),B(-3,4),
且
B
为
AM
的中点,则
M
点的坐标为
——————————
。
< br>
(
5
)若
A(-1,3),B(0,2),
且
A
为
BP
中点,则
P
点坐标为
————————————
。
(
6
)点
P
(-
5,0
)关于直线x=
2
的对称点
的坐标为
————————————
。
(
7
)点<
/p>
P
(
6,0
)关
于直线x=
1
的对称点的坐标为
———
—————————
。
(
8
)点
P
(
6,2
)关于直线x=
3
的对称点的坐标为
___________
。
(
9
)点
Q
(-
4,3
)关于直线x=-
3
的对称点的
坐标为
——————————
。
(
10
)点
M
(-
4
,-
2
)关于直线x=
2
< br>的对称点的坐标为
————————————
。
第
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页
二次函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练
(
11
)点
P
(
4
,-
3
)关于直线x=-
1
的对称点的坐标为
————————————
。
(
12
)点
M
(-
4,2
)关于直线y=-
1
的对称点的坐标为
——————————
。
(
13
)点
T
(
4
,-
3
)关于直线y=
1
的对称点的坐标为
——————————
。
(
14
)点
Q
(
0
,-
3<
/p>
)关于x轴的对称点的坐标为
————————————
。
(15
)点
N
(
4,0
)关于y轴的对称点的坐标为
——————
。
(五)由两直线平行或垂直,求直
线解析式。
【两直线平行,则两个
k
值
相
等;两直线垂直,则两个
k
值之积为
-1.
】
(
1
)某直线与直线
y=2x+3
平行,且过点(
1
,
-1
)
,求此直线的解析式。
(
2
p>
)某直线与直线
y=
?
1
x+1
平行,且过点(
2
,
3
)
,求此直线的
解析式。
2
(
3
)某直
线与直线
y=
?
2
x
?
5
平行,且过点(
-3
,
0
)
,求此直线的解析式。
3
(
4
)某直
线与
y
轴交于点
P
(
0,3
)
,且与直线
y=
1
x
?
1
平行
,
求此直线的解
p>
2
析式。
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