-
实用标准
§
7
向量应用举例
7
.
1
点到直线的距离公式
7
.
2
向量的应用举例
[
学习目标
]
1.
了解直线法向量的概念
.2.
会
用向量方法解决某些简单的平面几何问题、
力学
问题及一些实际
问题
.3.
进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的
工具.
[
知识链接
]
1
.向量可以解决哪些常见的几何问题?
答
(1)
解
决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系.
(2)
解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题.
2
.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的?
答
(1)
建立平面几何与向量的联系,
用向量表示问题中涉及的几何元素
,
将平面几何问题转
化为向量问题;
(2)
通过向量运算,研究几何元素之间的关系,距离,夹角等
问题;
(3)
把运算结果“翻译”成
几何关系.
[
预习导引
]
1
.直线的法向量
< br>(1)
直线
y
=
kx
+
b
的方向向量为
(1
,
k
)
,法向量为
(
k
,-<
/p>
1)
.
(2)
直线
Ax
+
B
y
+
C
=
0(
A
+
B
≠
p>
0)
的方向向量为
(
B
,-
A
)
,法向量为
(
A
,
B
)
.
2
.点到直线的距离公式
设点
M
(
x
0
,
y
0
< br>)
为平面上任一定点,则点
M
到
直线
Ax
+
By
+
C
=
0(
A
+
B
≠
0)
的距离
d
=
|
Ax
0
+
By
0
+
C
|
p>
.
A
2
+
B
2
3
.向量方法在
几何中的应用
(1)
证明线段平行问
题,包括相似问题,常用向量平行
(
共线
)
的等价条件:
a
∥
b
(
b
≠
0)
?
a
=
2
2
2
2
λ
b
?
x
1
p>
y
2
-
x
2
y
1
=
0.
(2)
证明垂直问题,
如证明四边形是矩形、
正方形等,
常用向量垂直的等价条件:
非零向量
a
,
b
,
a
⊥
b<
/p>
?
a
·
b
=
0
?
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=
0.
(3)
求夹角问题,往往
利用向量的夹角公式
cos
θ
=
p>
a
·
b
x
1
x
2
+
y
1
y
2
< br>=
2
2
2
2
.
|
a
||
b
|
x
1
+
y
1
x<
/p>
2
+
y
2
文案大全
实用标准
(4)
求线段的长度或证明线段相等,
可以利用向量的线性运算、
向量模的公式:
|
< br>a
|
=
x
+
y
.
4
.向量方法在物理中的应用
(1)
力、速度、加速度、位移都是向量.
(2)
力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减
运算,运动的叠加亦用到向量的
合成.
(3)
动量
m
v
是数乘向量.
(4)
功即是力<
/p>
F
与所产生位移
s
的数量积.
2
2
要点一
直线法向量
< br>(
或方向向量
)
的应用
例
1
已知△
ABC
的三顶点
A
(
0
,-
4)
,
B
(4,0)
,
C
(
-
6,2)
,点
D
、
E
、
F
分别为边
BC
、
CA
、
AB
的中点.
(1)
求直线
DE<
/p>
、
EF
、
FD<
/p>
的方程;
(2)
求
AB
边上的高线
CH
所在的直线方程.
解
<
/p>
(1)
由已知得点
D
(
-
1,1)
,
< br>E
(
-
3
,
-
1)
,
F
(2
,
-
2
)
.
设点
M
(
x
,
y
)
p>
是直线
DE
上任一点,
→
→
→
→
则
DM
∥
DE
,
DM
=
(
x
+
1
,
y
p>
-
1)
,
DE
p>
=
(
-
2
,-
2)
,∴
(
-
2)
×
(
x
+
1)
-
(
-
2)(
y
-
1)
=
0
,即
x
-
y
+
2
=
0
为直线
DE
的方程.
同理可求,直线
EF
、
F
D
的方程分别为
x
+
< br>5
y
+
8
=
0
,
x
+
y
=
0.
→
→
→
→
→
p>
→
(2)
设点
N<
/p>
(
x
,
y
)
是
CH
所在的直线
上任一点,则
CN
⊥
AB
,
CN
·
AB
=
0
,
CN
=
(
x
+
6
,
y
-
2)
,
AB
=
(4,4)
,∴
4(
x
+
6)
+
4(
y
-
2)
=
< br>0
,即
x
+
y
+
4
=
0
为所求直线
CH
所在的直线方程.<
/p>
规律方法
对
于解析几何中的有关直线平行与垂直问题,常常可以转而考虑与直线相关的向
量的共线与
垂直,这样一来将形的问题转化为相关数的问题,从而容易将问题解决.
跟踪演练
1
求点
P
0
(
-
1,2)
到直线
l
:
< br>2
x
+
y
-
10
=
0
的距离.
解
方法一
取直线
l
的一个法向量为
n
=
(2,1)
,
→
在直线
l
上任取一点
P
(5,0)
,∴
PP
< br>0
=
(
-
6,2)
,
→
∴点到直线
l
的距离
d
就是
PP
0
在法向量
p>
n
上的射影.
→
设
PP
0
与<
/p>
n
的夹角为
θ
.
→
|
PP
0<
/p>
·
n
|
∴
d
=
|
PP
0
||cos
θ
|<
/p>
=
|
PP
0
p>
|
·
→
|
PP
0
|
·
|
n
|
→
→
→
|
PP
0
·
n|
?
-
12
+
2
?
=
=
?
?
=
2
5.
|n
|
5
?<
/p>
?
文案大全
实用标准
故点
P
0
到直线
l
的距离为
2
5.
方法二
由点到直线的距离公式得
d
=
|
Ax
0
+
By
0
+
C
|
|2
=
A
2
+
B
2
1
5
1
×
2
-
10|
=
2
5.
要点二
向量在平面几何中的应用
例
2
如图,已知
Rt
△
OAB
中,∠
AOB
=
90
°,
OA
=
3
,
OB
=
2
,
M
在
OB
上,且
OM
=
1
,
N
在
OA
上,且
ON
=
1
,
P
为
AM
与
BN
的交点,求∠
MPN
.
→
→
→
p>
→
→
1
→
1
解
设
OA
=
a
,
OB
=
b
,且
AM
,
BN
的夹角为
θ
,则
OM
=
b
,
ON
=
a
,
2
3
→
→
→
1
→
→
→
1
又∵
AM
=
OM
-
OA
=
b
-
a
,
BN
=
ON
-
OB
=
a
-
b
p>
,
2
3
→
→
?
1
?
?
1
?
< br>∴
AM
·
BN
< br>=
?
b
-
a
?
·
?
a
-
b
?
=-<
/p>
5
,
?
2
?
?
3
?
→
→
|
AM
|
=
10
,
|
BN
|
< br>=
5
,
∴
cos
θ
=
2
=-
,
2
5
·
10<
/p>
-
5
3
π
又∵
θ
∈
[0
,π
]
,∴
θ
=
,
4
→
→
又∵∠
MPN
即为向量
AM
,
BN
的夹角,
3
π
∴∠
MPN
=
.
4
→
→
规律方法
(1)
本题可以选择
OA
,
OB
作为基向
量,
这是两个互相垂直的向量,
选用这组特殊的
基向量可以简化运算.
(2)
本题也可以建立平面直角坐标系进行求解.
把平面几何中求角的问题转化为向量的夹角
问
题是平面向量的工具性体现之一,转化时一定要注意向量的方向.
跟踪演练
2
已知△
ABC
中,∠
BAC
=<
/p>
60
°,
AB
=
4
,
AC
=<
/p>
3
,求
BC
的长
.
解
以<
/p>
A
为原点建立如图所示平面直角坐标系,
则
A
(0,0)
,
B
(4cos
60
°,
4sin
< br>60
°
)
,
C
(3,0)
,
文案大全
实用标准
→
→
∴
AC
=
(3,0)
,
AB
=
(2
,
2
3)
,
→
→
→
∵
BC
=
AC
-
AB
=
(1
,-
2
3
)
,
→
∴<
/p>
|
BC
|
=
p>
1
+
(
-
2
3
)
=
13.
2
要点三
利用向量解决物理中的问题
例
3
在风速为
75(
6
-
2)
km/h
的西风中,飞机以
150 km/h
< br>的航速向西北方向飞行,求
没有风时飞机的航速和航向.
解
设向量
a
表示风速,
b
表示无风时飞机的航行速
度,
c
表示有风时飞机的航行速度,则
c
=
a
+
b<
/p>
.
→
→
→
p>
如图,作向量
OA
=
a
,
OB
=
b
,
OC
=
c
,则四边形
OACB
为平行四边形.<
/p>
过
C
、
B
分别作
OA
p>
的垂线,交
AO
的延长线于
D
、
E
点.
< br>
→
→
由已知,
|
OA
|
=
< br>75(
6
-
2)
,
|
OC
|
< br>=
150
,∠
COD
=
45
°
.
在
Rt
△
COD
中,
OD
=
OC
cos 45
°=
75
2
,
CD
=
75
2.
又
ED
=
BC
=
OA
=
75(
6
-
2)
,
∴
OE
=
OD
+
ED
=
75
6.
又
BE
=
CD
=
75
2.
在
< br>Rt
△
OEB
中,
OB
=
OE
+
BE
=
150
2
,
2
2
BE
1
→
sin
∠
BOE
=
=
,∴
|
OB
|
=
150
2
,∠
BOE
=
30
°
.
OB
2
故没有风时
飞机的航速为
150
2 km/h
,航
向为西偏北
30
°
.
规律方法
用向量的有关知识研究物理
中有关力与速度等问题的基本思路和方法如下:
(1)
认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的相互关系;
(2)
通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题;
(3)
利用向量知识解决这个向量问题,并获得
这个向量问题的解;
(4)
利用这个
结果,对原物理现象作出解释.
跟踪演练
3
如图,在细绳
O
处用水平力
F
2
缓慢拉起所受重力为
G
的物体,绳子与铅垂方
向
的夹角为
θ
,绳子所受到的拉力为<
/p>
F
1
.
文案大全
实用标准
(1)
求
|
F
1
|
,
|
F<
/p>
2
|
随角
θ
p>
的变化而变化的情况;
(2)
当
|
F
1
|
≤
2|
G
< br>|
时,求角
θ
的取值范围.
p>
|
G
|
解
(1)
如图,
p>
由力的平衡及向量加法的平行四边形法则,
得
|
F
1
|
=
,
|
F
2
p>
|
=
|
G
|tan
θ
.
cos
θ
当
θ
从
0
°趋
向于
90
°时,
|
F
1
|
,
|
F
2
|
都逐
渐变大.
|
G
|
(2)
由
(1)
< br>,得
|
F
1
|
=
,
cos
θ
1
由
|
F
1
|<
/p>
≤
2|
G
|
p>
,得
cos
θ
≥
.
2<
/p>
又因为
0
°≤
θ
<
90
°,所以
0
°≤
θ
≤
60
°
.
1
.
已知直线
l
1
:
3
x
+
y
-
2
=
p>
0
与直线
l
2
p>
:
mx
-
y
+
1
=
0
的夹角为
45
°,
则实数
m
的值为
________
.
1
答案
2
或-
2
解析
设直
线
l
1
,
l<
/p>
2
的法向量为
n
1
,
n
2
,<
/p>
则
n
1
=
(3,1)
,
n<
/p>
2
=
(
m
,-
1)
.
|
n
1
·
n
2
|
|3
m
-
1|
2
由题意
cos 45
°=
=<
/p>
=
.
2
|
p>
n
1
|
·
|
n
2
|
2
10
·
1
+
m
1
2
整理得
2
m
-
3
m
-
2
=
0
,解得
m
=
2
或
m
=-
.
2
2
.已
知
A
(1,2)
,
B
(
-
2,1)
< br>,以
AB
为直径的圆的方程是
_
_____________
.
答案
x
+<
/p>
y
+
x
-
3
y
=
0
解析
设
P<
/p>
(
x
,
y
)
为圆上任一点,则
→
2
2
AP
=
(
x
-
1<
/p>
,
y
-
2)
p>
,
BP
=
(
x
+
2
,
y
-
1)
,
→
→
由
< br>AP
·
BP
=
< br>(
x
-
1)(
< br>x
+
2)
+
(
y
-
2)(
y
-
1)
=
0
,
化简得
x
+
y
+
x
-
3
y
=
p>
0.
3
.正方形
OABC
的边长为
1
,点
D
、
E
分别为
AB
、
BC
的中点,试求<
/p>
cos
∠
DOE
的值.
文案大全
2
2
→
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