-
2015
年高考天津市理科数学真题
一、选择题
1
．
已知全集
U
?
{
1
,2,3,4,5,6,7,8}
，
集合
A={2,3,5,6}
，
集合
B={1,3,4,6,7}
，<
/p>
则集合
A
?
C<
/p>
U
B=
（
）
A
．
?
2,5
?
B
．
?
3,6
?
C
．
?
2,5,6
?
D
．
?
2,3,5,6,8
?
?
x
?
2
?
0.
?<
/p>
2
．
设变量
x<
/p>
,
y
满足约束条件
?
x
?
y
?
3
?
0.
则目
标函数
z
?
x
?
6
y
的最大值为
（
）
?
2
x
?
y
?
3
?
0.
?
A
．
3
B
．
4
C
．
18
D
．
40
<
/p>
3
．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出
S
的值为（
）
A
．
?
10
B
．
6
C
．
14
D
．
18
<
/p>
4
．设
x
?
R
，则“
|
x
?
2
|
＜
1
”是“
x
2
?
x
?
2
＞
0
”的（
）
A
．充分而不必要条件
C
．充要条件
B
．必要而不充分条件
D
．既不充分也不必要条件
CE
分别经过点
M
，<
/p>
N
，
5
．
如图，
在圆
O
中，<
/p>
M
，
N
是弦
AB
的三等分点，
弦
CD
，
若
CM
?
2
，
MD
?
4
，
CN
?
3
，则线段
NE
的长为（
）
A
．
8
3
B
．
3
C
．
10
3
D
．
5
2
x
2
y
2
6
．已知双曲线
2<
/p>
?
2
?
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的一条渐近线过点（
2
，
3
）
，且双曲线的一个焦点在抛物线
a<
/p>
b
y
2
?
4
7
x
的准线上，则
双曲线的方程为（
）
x
2
y
2
?
?
1
A
．
21
28
x
2
y
2
?
?
1
B
．
28
21
x
?
m
x
2
y
2
?
?
1
C
．
3
4
< br>x
2
y
2
?
?
1
D
．
4
3
7
．已知定义在
R
上的函数
< br>f
(
x
)
?
2
?
1
（
m
为实数）为偶函数，记
a
?
f
(log
0.5
3)
，
b
?
f
(log
2
5)<
/p>
，
c
?
f
(2
m
)
，则
a
，
b
，
c
的大小关系为（
）
A
．
a
＜
b
＜
c
B
．
a
＜
c
< br>＜
b
C
．
c
＜
a
＜
b
D
．
c
＜
b
< br>＜
a
?
2
?
|
x
|
，
x
?
2
，
8
．
< br>已知函数
f
(
x
)
?
?
函数
< br>g
(
x
)
?
b
?
f
(
2
?
x
)
，<
/p>
其中
b
?
R
，
若函数
y
?
f
(
x
)
?
g
(
x
)
恰有
2
（
，
x
＞
2
，
?
x
?
2
）
4
个零点，则
b
的取值范围是（
）
?
?
)
A
．
(
，
二、填空题
9
．
i
是虚数单位，若复数
(1
?
2
i
)(
a
?
i
< br>)
是纯虚数，则实数
a
的
值为
．
10
．一
个几何体的三视图如图所示（单位：
m
）
，则该几何体的
体积为
m
．
11
．
曲
线
y
?
x
2
与
直
线
y
?
x
所
围
成
的
封
闭
图
形
的
面
积<
/p>
为
．
12
．在
(
x
?
3
7
4
B
．
(
??
，
)
7
4
C
．
(0
，
)
7
4
2)
D<
/p>
．
(
，
7
4
1
6
)
的展开式中，
x
2
的系数
为
．
4
x
1
，
< br>4
b
?
c
?
2,cos
A
?
< br>?
13
．
在
?
ABC
中，
内角
A
,
B
,
C
所对的边分别为
a
,
b
,
c
.
已知
?
ABC
的面积为
3
15
，
则
a
的值为
．
14
．<
/p>
在等腰梯形
ABCD
中，
已知
AB
/
/
DC
,
AB
?
2,
BC
?
1,
?
ABC
?
60
?
。
动点
E
和
F
分别在线段
BC
和
???
?
???<
/p>
?
???
?
1<
/p>
???
?
???
?
???
?
DC
上，且
BE
?
?
BC
,
DF
?
DC
，则
AE
?
< br>AF
的最小值为
．
9
?
三、解答题
2
2
15
．已知函数
f
(x)
?
sin
x
?
sin
(
x
?
?
6
)
，
x
?
R
．
（Ⅰ）求
f
(
x
)
的最小正周期；
（Ⅱ）求
f
(
x
)
在区间
?
?
?
?
?
?
，
?
内的最大值和最小值．
?
3
4
?
16
．<
/p>
为推动乒乓球运动的发展，
某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组
队参加。
现有来自甲协会的运动员
3
名
，其中种子选手
2
名；乙协会的运动员
5
名，其中种子选手
3
名。从这
8
名运动员中随机选择
4
人参
加比赛。
（Ⅰ）
设
A
为事件“选出的
4<
/p>
人中恰有
2
名种子选手，
且这
2
名种子选手来自同一个协会”，
求事件
A
发生的概率；
（Ⅱ）设
X
为选出的
4
人中种子选手的人数，求随机变量
X
的分布列和数学期望．
17
．
如图
，
在四棱柱
ABCD
?
A
1
BC
侧棱
A
1
1
D
1
中，
1
A
?
底面
ABCD
，
< br>AB
?
AC
，
< br>AB
?
1
，
AC
?
AA
1
?
2
，
AD
?
CD
?
5
，且点
M
和
N
分别为
BC
1
和
D
1
D
的中点．
（Ⅰ）求证：
MN
?
平面
ABCD
；
（Ⅱ）求二面角
D
1
?
AC
?
B
1
的正弦值；
NE
和平面
ABCD
所成角的正弦值为
（Ⅲ）设
E
为棱
A
1
B
1
上的点。若直线
1
，求线段
A
1
E
的长。
3
18
．已知数列
?
a
n
?
满足
a
n
?
2
?
qa
n
（
q
为实数，且
q
?
1
）
，
n
?
N
，
a
1
?
1
，
a
2
?
2
，且
a
2
?
a
1
，
a
3
+
a
4
，
*
a
4
+
a
< br>5
成等差数列。
（Ⅰ）求
q
的值和
?
a
n
?
的通项公式
；
（Ⅱ）设
b
n
?
log
2
a
2
n
*
，
n
?
N
，求数
列
?
b
n
?<
/p>
的前
n
项和．
a
2
n
-1<
/p>
x
2
y
2
3
19
．
已知椭圆
2
?
2
?
1(
a
＞
b
＞
0)
的左焦点为
F
(
?
c
,0)
，
离心率为
，
点
M<
/p>
在椭圆上且位于第一象限，
a
b
3
b
2
4
3
直线
FM
被圆
x
?
y
?
截得的线段的长为
c
，
|
FM
|
?
．
4
3
2
2
（Ⅰ）求直线
FM
的斜
率；
（Ⅱ）求椭圆的方程；
（Ⅲ）设动点
P
在椭圆上，若直线
FP
的斜率大于
2
，求
直线
OP
（
O
为原点）的斜率的取值范围。
20
．已
知函数
f
(
x
)
?
nx
?
x
,
x
?
R
,
其中
n
?
N
，且
n
?
2
.
（Ⅰ）讨论
f<
/p>
(
x
)
的单调性
；
（Ⅱ）设曲线
y
?
f
(
x
)
与
x
轴正半轴的交点为
P
，曲线在点
P
处的切
线方程为
y
?
g
(
x
)
，
求证：对于任意的正实数
x
，都有
f
(
x
)
?
g
(
x
)
；
（Ⅲ）若关于
x
的方程
f
(
x
)
?
a
（
a
为实数）有两个正实数根
x
1
，
x
2
，求证：
x
2
?
x
1
?
n
*
a
?
2
．
1
?
n
2015
年高考天津市理科数学真题
答案
一、选择题
1
．
答案：
A
解析过程：
?
}
，选
A
U
B
?
{2,
5,8}
,
所以
A
?
?
U
B
?
{2,5
2
．
答案：
C
解析过程：
?
x
?
2
?
0.
?
不等式
?
x
?
y
< br>?
3
?
0.
所表示的平面区域如下图所示，
?
2
x
?
y
?
3
?
0.
?<
/p>
当
z
?
x
?
6
y
所表示直线经过点
B
(0,3)
< br>时，
z
有最大值
18
，选
C
3
．
答案：
B
解析过程：
输入
S
?
20,
i
?
1
；
i
?
2
?
1,
S
?
20
?<
/p>
2
?
18,2
?
5
不成立；
i
?
2
?
2<
/p>
?
4,
S
?
18
?
4
?
14,4
?
5
不成立
i
?
2
?
4
?
8,
S
?
14
?
8
?
6,8
?
5
成立
输出
6
,<
/p>
选
B
4
．
答案：
A
解析过程：
|
x
?
2
|
＜
1
?
?
1
＜
x
?
2
＜
1
?
1
＜
x
＜
3
< br>，
x
2
?
x
?
2
＞
0
?
x
＜
-
2
或
x
＞
1
所以“
|
x
?
2
|
＜
1
”是“
x
2
?
x
?
< br>2
＞
0
”的充分不必要条件，选
A
5
．
答案：
A
解析过程：
由相交弦定理可知，
AM
?
MB
?
CM
?
MD
,
CN
?
NE
?
AN
?
NB
，
又因为
M
,
N
是弦
AB
的三等分点，
<
/p>
所以
AM
?
MB
?
AN
?
NB
?
CN
?
NE
?
CM
?
MD
，
所以
NE
?
6
．
答案：
D
解析过程：
CM
?
MD
2
?
4
8
?
?
，选
A
CN
3
3
x
2
y
2
b
双曲线
2
?
2
?
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的渐近线方程为
y
?
?<
/p>
x
，
a
a
b
由点
(2
，
3)
在渐近线上，所以
b
3
，
?
a
2
双曲线的一个焦点在抛物线
y
2
?
4
7
x
准线方程
x
?
?
7
上，
所以
c
?
7
，由此可解得
a
?
2,
b
?
3
，
x
2
y
2
?
?
1
，选
D
所以双曲线方程为
4
3
7
．
答案：
C
解析过程：
因为函数
f
?
x
?
?
2
x
?
m
?
1
为偶函数，所以
m
?
0
，即
< br>f
?
x
?
?
2
?
1
，
x
log
2
1
?
?
所以
a
?
f
(log
0.5
3)
?
f
?
log
2
?
?
2
3<
/p>
?
1
?
2
log
2
3
?
1
?
3
?
1
?
2,
3
?
?
1
< br>b
?
f
?
log
2
5
?
?
2
log
2
5
?
1
?
4
,
c
?
f
?<
/p>
2
m
?
?
f
(0)
?
2
0
?
1
?
0
所以
c
?
a
?
b
< br>，选
C
8
．
答案：
D
解析过程：
?
?
?
2
?
x
,
x
?
2,<
/p>
?
2
?
2
?
x
,
x
?
0
由
f
?
x
?
?
?
得
f
(2
?
x
)
?
?
，
2
2
x
?
0
?
?
x
,
?
?
?
x
?
< br>2
?
,
x
?
2,
?
2
?
x
?
x
2<
/p>
,
x
?
0
?
所以
y
?
f
(
x
)
?
f
(2
?
x
)
?
?
4
?
x
?
2
?
x
,
0<
/p>
?
x
?
2
，
?
2
2
?
2
?
x
?
(
x
?
2)
,
x
?
2
?
?
x
2
?
x
?
2,
x
?
0
?
即
y
?
f
(
x
)
?
f
(2
?
< br>x
)
?
?
2,
0
?
x
?
2
?
x<
/p>
2
?
5
x
?
8,
x
?
2
?
y
?
f
(
x
)
< br>?
g
(
x
)
?
f
(
x
)
?
f
(2<
/p>
?
x
)
?
b
,
所以
y
?
f
?
x
?
?
g
?
x
?
恰有
4
< br>个零点等价于方程
f
(
x
)
?
f
(2
?
x
)
?
b
?
0
< br>有
4
个不同的解，
即函数
y
?
b
与函数
y
?
f
(
x
)
?
f
(2
?
x
< br>)
的图象的
4
个公共点，
由图象可知
7
?<
/p>
b
?
2
.
选
D
4
二、填空题
9
．
答案：
-2
解析过程：
?
1
?
2
i
?
?
a
?
i
?<
/p>
?
a
?
2
?
?
1
?
2
a
?
i
是纯虚数，
所以
a
?
2
?
0
，即
a
?
?
2
10
．
< br>答案：
?
解析过程：
由三视图可知，该几何体
是中间为一个底面半径为
1
，
高为
2
的圆柱，两端是底面半径为
1
，高为
1
的圆锥，
2
所以该几何体的体积
< br>V
?
1
?
?
?
2
?
2
?
8
3
1
2
8
?
1
?
?
?
1
?
?
.
3
3
11
．
答案：
1
6
解析过程：
两曲线的交点坐标为
(0,0),(1,1)
，
所以它们所围成的封闭图形的面积
1
1
1
1
< br>1
S
?
?
?
x
?
x
2
?
dx
?
(<
/p>
x
2
?
x
3
)
?
.
0
0
6
2
3
12
．
答案：
15
16
解析过程：
1
6
)
展开式的通项为
4
x
1
1
r
6
?
r
r
6
?
2
r
T
r
?<
/p>
1
?
C
6
x
(
?
)
r
?
(
?
)
r
C
6
x
，
4
x
4
(
x
?<
/p>
由
6
?
2
r
?
2
得
r=2
，
2
2
2
所以
T
3
?
(
?
< br>)
C
6
x
?
1
4
15
2
15
x
，所以该项系数为
16
16
13
．
答案：
8
解析过程：
因为<
/p>
0
?
A
?
?
，所以
sin
A<
/p>
?
1
?
cos<
/p>
2
A
?
15
，
4
又
S
?
ABC
?
1
15
bc
sin
A
?
bc
?
3
15,
?
bc
?
24
，
2
8
?
b
?
c
?
2
解方程组
?
得
b
?
6,
c
?
4
，由余弦定理得
?
bc
?
24
1
a
2
?
b
2
?
c
2
?
2
bc
cos
A
?
6
2
< br>?
4
2
?
2
?
6
?
4
?
(
?
)
?
64
，
4
所以
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8
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14
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答案：
29
18
解析过程：
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1
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17
2
1
17
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2
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9
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2
18<
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18
18
三、解答题
15
．
答案：
（Ⅰ）
< br>?
；
（Ⅱ）最大值
解析过程：<
/p>
（Ⅰ）解：由题意得
1
3
，最小值
?
2
4
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