-
近世代数中英对照学习
一、字母表
atom
：原子
automorphism
：自同构
binary
operation
：二元运算
Boolean
algebra
：布尔代数
bounded
lattice
：有界格
center of a
group
：群的中心
closure
：封闭
commutative(Abelian)
group
：可交换群，阿贝尔群
commutative(Abelian)
semigroup
：可交换半群
comparable
：可比的
complement
：补
concatenation
：拼接
congruence
relation
：同余关系
cycle
：周期
cyclic group
：循环群
cyclic
semigroup
：循环半群
determinant
：行列式
disjoint
：不相交
distributive
lattice
：分配格
entry
：元素
epimorphism
：满同态
factor
group
：商群
free
semigroup
：自由半群
greatest
element
：最大元
greatest lower
bound
：最大下界，下确界
group
：群
homomorphism
：同态
idempotent
element
：等幂元
identity
：单位元，么元
identity
：单位元，么元
inverse
：逆元
isomorphism
：同构
join
：并
kernel
：同态核
lattice
：格
least element
：最小元
least upper
bound
：最小上界，上确界
left coset
：左陪集
lower
bound
：下界
lower
semilattice
：下半格
main
diagonal
：主对角线
maximal
element
：极大元
meet
：交
minimal
element
：极小元
minimal generating
set
：最小生成集
monomorphism
：单同态
normal
subgroup
：正规子群，不变子群
octic group(group of
symmetries of the
square)
：八阶群，平方对
称群
orbit
：轨道
order
：群的阶，元素的阶
partially ordered set
(poset)
：偏序集
partition
：分割
quotient
semigroup
：商半群
retract
：收缩
retraction
map
：收缩映射
semigroup with identity,
monoid
：含么半群，独异点
semigroup
：半群
semilattice
：子半格
string,
word
：字符串，单词
subgroup
：子群
sublattice
：子格
subsemigroup
：子半群
symmetric
group
：对称群
total ordering, chain, linear
ordering
：全序，链，线序
upper bound
：上界
upper
semilattice
：上半格
二、
本章内容及教学要点
：
8.1
Partially Ordered Sets Revisited
教
学
内
容
< br>：
poset
，
(least)
upper
bound
，
greatest
element
，
(greatest)l
ower
bound
，
least
element
，
maximal(m
inimal)
element
，
u
pper(lower) semilattice
8.2
Semigroups and Semilattices
教学内容
:
semigroup
，
Abelian semigroup<
/p>
，
monoid
，
subsemigroup
，
free
semigroup
，
minimal generating
set
，
congruence
relation
，
quotient semigroup<
/p>
，
semilattice
，
idempotent element
8.3
Lattices
教学内容：
lattice
，
sublattice
，
bounded
lattice
，
distributive
lattice
，
Boolean algebra
，
complement
，
atom
8.4
Groups
教学内容：
group
，
identity
< br>，
inverse
，
commu
tative(Abelian) group
，
order<
/p>
，
subgroup
，
< br>cyclic group
，
left coset
8.5
Groups and
Homomorphisms
教学内容：
monomorph
ism
，
epimorphism
，<
/p>
isomorphism
，
normal
subgroup
，
octic
group(group of symmetries of the square)
定理证明及例题解答
三、
前言
代数的概念与方法是研究计算机科学和工程的重要数学工具
.
众所周知，
在
许多实际问题的研究中都
离不开数学模型，
而构造数学模型就要用到某种数学结
构，而近
世代数研究的中心问题是代数系统的结构：半群、群、格与布尔代数等
等
.
近世代数的基本概念、
方法和结果已成为计算机科
学与工程领域中研究人员
的基本工具
.
在研究形式语言与自动机理论、
编码理论、
关系数据库理论、
抽象
数据类型理论中，
在描述机器可计
算的函数、
研究计算复杂性、
刻画抽象数据结
< br>构、研究程序设计学中的语义学、设计逻辑电路中有着十分广泛的应用
.
为什么要研究代数系统？代数是专门研究离
散对象的数学，
是对符号的操作
.
<
/p>
它是现代数学的三大支柱之一（另两个为分析与几何）
.
代数从
19
世纪以来
有
惊人的发展，
带动了整个数学的现代化
.
随着信息时代的到来，
计算机、
信息都
是数字（离散化）的，甚至电视机．摄像机、照相机都在
数字化
.
知识经济有人
也称为数字经济
.
这一切
的背后的科学基础，
就是数学，
尤其是专门研究离散对
象的代数
.
代数发端
于
“
用符号代替数
”
< br>，后来发展到以符号代替各种事物
.
在一个非空集合上，
确定了某些运算以及这些运算满足的规律，
于是该非空
集合中的元素就说是有了一种代数结构
.<
/p>
现实世界中可以有许多具体的不相同
的
代数系统
.
但事实上，
不同的代数系
统可以有一些共同的性质
.
正因为此，
我
们要研究抽象的代数系统，并假设它具有某一类具体代数系统共同拥有的性质
.
任何在这个抽象系统中成立的结论，均可
适用于那一类代数系统中的任何一个
.
代数学历史悠久
.
代数的发展可分成两个阶段
.
19<
/p>
世纪这前的代数称为古
典代数，
19
世纪至今的代数称为近世代数（抽象代数）
.
远在古希腊时期，
人们就知道可以用
符号代表所解问题中的未知数，
并且这
些符号可以像数一样进行
运算，
直到获得问题的解
.
古典代数的基本研究对象是
方程，
它是以讨论方
程的解法为中心
.
在古典代数中，
每
一个符号代表的总是一
个数，
但这个数可以是整数也可以是实数
.
古典代数的主要目标是用代数运算解
一元多次方程
.
它成功地解决了一元二次、一元三次和一元
四次方程的求解问
题
.
19
世纪初，人们逐渐认识到，符号
不仅可以代表数，而且可以代表任何事
物
.
< br>在这种思想认识的支配下，
人们开始将任意集合上所进行的代数运算作为研
究的对象，从而出现了近世代数体系和方法
.
19
世纪
3
0
年代，在寻找一元五次方程根式求解方法的过程中，年青的法
国数学家伽罗瓦
(E
.
Galois
)
首次得出了群的概念
—
用置换群的方
法彻底证明了
高于四次的代数方程的根式不可解性
.
起初他的奇思妙想和巧妙方法虽然并不
被当时人接受和理解，却发展出了
一门新的学科
—
抽象代数学
.
抽象代数学的研究对象是抽象的，
它不是以某一具体事物为研究对象，
而是
以一大
类具有共同性质的事物为研究对象
.
因此其研究成果适用于这
一类事物
中的每一个，从而收到事半功倍之效
.
抽象代数学的主要内容是研究各种各样的代数系统
.
它把一些形式上很不
相同的代数系统，
用统一的方法描述、
研究和推理，
从而得到反映出它们共性的
一些本质的结论，
< br>然后再把这些结论应用到具体的代数系统中
.
从而抽象产生了
广泛的应用
.
抽象代数学在计算机中有着十分重要的应用
.
100
多年来，随着科学的发
展，抽象代数越来越显示
出它在数学的各个分支、物理学、化学、力学、生物学
等科学领域的重要作用
.
抽象代数的概念和方法也是研究计算科学的重要数学
< br>工具
.
有经验和成熟的计算科
学家都知道，
除了数理逻辑外，
对计算科学最有用
的数学分支学就是代数，
特别是抽象代数
.
抽象代数是关于运算的学问，
是关于
计算规则
的学问
.
在许多实际问题的研究中
都离不开数学模型，
而构造数学模型就要用到某种
数学结构，而
抽象代数研究的中心问题就是一种很重要的数学结构
—
代数系统
：
半群、群、格与布尔代数等等
.
计
算科学的研究也离不开抽象代数的应用：半群
理论在自动机理论和形式语言中发挥了重要
作用；
有限域理论是编码理论的数学
基础，
在通讯中起过重要的作用；
至于格和布尔代数则更不用说了，
是电子线路
设计、
电子计算机硬件设计和通讯系统设计的重要
工具
.
另外描述机器可计算的
函数、
研究算术计算的复杂性、
刻画抽象数据
结构、
描述作为程序设计基础的形
式语义学，都需要抽象代数知
识
.
这一
章我们将介绍近世代数中最基本的代数系统：
群和半群，
它们在
计算学
科中有十分广泛的应用：
半群在形式语言和自动机理论中
有着重要的应用，
群则
可应用于编码理论之中
< br>.
四、
中英对照
8.1
Partially Ordered Sets Revisited
定义
8.1.1
A relation R on
A is a
partial
ordering(
偏序
)
if
it is
reflexive, antisymmetric, and
transitive
.
If
the relation R on A is
a
partial
ordering,
then
(A,R)
is
a
partially
ordered
set
or
poset
(
偏序集
)
with
ordering R
.
由于集合中
的偏序关系是
Z
，
R
< br>上的
“≤”
、
“≥”
的推广，故常用
“≤”
表
示一般的偏序关系，偏序集用
(A,
≤)
表示
.
Note that
the symbol ≤ is
being used to denote
the distinct partial orders
.
定义
8.1.2
Two elements a and b of the
partially ordered set (S,
≤)
are comparable if either a≤b or b≤a
.
If every two elements of
a
poset (S, ≤) are comparable,then ≤ is a total
ordering
.
在一个偏序集中，往往有一些特殊元素需要加以注意和研究：
定义
8.1.3
Let (A, ≤) be a poset and B
a nonempty subset of A
.
An element a in A is called
an
upper bound of
B(B
的上界
)
if b≤a
for all b in
B
.
The element a is called a
least upper
bound(B
的上确界
)
of B
if
(1)
a is an upper bound
of B and
(2)
any other
upper bound a
1
of B, if exists, then
a≤a
1
.
An element a
in B is
called a
greatest
element(B
的最大元
)
of
B
if x≤a for all x in
B
.
An element a in A is called
a
lower bound of
B(B
的下界
)
if
a≤b for all b in
B
.
The element a is called a
greatest
lower
bo
und(B
的下确界
)
of B
if
(1)
a is a lower bound of
B and
(2)
any
other lower bound
a
1
of B, if exists, then
a
1
≤a
.
An element a in B
is called a
least
element(B
的最小元
)
of
B if a
≤x for all x in
B
.
定义
8.1.4
Let (A, ≤) be a poset and B
a nonempty subset of A
.
An element a in B is called
a
maximal element of
B(B
的极大元
)
if for every element b of B, a≤b
implies a=b
.
An element a in
B
is
called
a
minimal
element
of
B(B
的极小元
)
if
for
every
e
lement b of B, b≤a implies
a=b
.
例
8.1.1
Let A be the poset of nonnegative real
numbers with
the
usual
partial
order
≤
.
Then
0
is
a
minimal
element
of
A
.
There are no maximal element of
A
.
The poset Z with the
usual
partial
order
≤
has
no
minimal
elements
a
nd
no
maximal
elements
.
例
8.1.2
Let A={a,b,c}. Then in the
poset (P(A),
?
), the empty
set
?
is a least element of A, and the set A
is a greatest element
of
A
.
例
8.1.3
设
A=P({a
，
b
，
c})
，偏序关系为集合的包含关系
“
?
”
，
B={{b
，
c}
，
{a
，
c}}
，则
B
的上界为
{a
，
b
，
c}
，下界为
{c}
，
Ф
；最
大
(
小
)
元不存在，极大
(
小
)
元都是
{b
，
c}
，
{a
，
c}
.
例
8.1.4
设
A={2
，
3
，
4
，<
/p>
6
，
7
，
8
，
12}
，
A
上的偏序关系为
|(
整除
关系
)
；
B={8
，
12}
，
C={2
，
4
，
12}
，则
B
无上界
，下界为
2
，
4
；最大
(
小
)
元无，极大
(
小
)
< br>元
8
，
12
；
C
的上界
12
，下界为
2
；最大元为
12
，最小元为
2
，
极大元
12
，极
小元为
2
.
定理
8.1.1
Let A be a finite nonempty
p
oset with partial order
≤
.
Then
A
has
at
least
one
maximal
element
and
at
least
one
minimal
element
.
定理
8.1.2
A
poset
has
at
most
one
greatest
element
and
at
most one
least element
.
定理
8.1.3
Let (A, ≤) be a poset
.
Then a nonempty subset B of
A
has
at
most
one
lub
and
at
most
glb
.
(
设
(A,
≤)
为偏序集，
?
≠B
?
A.
若
B
有上
(
下
)
确界，则它们是惟一的
)
证明
定理
8.1.3
定义
8.1.5
A poset A for which all
two-element subsets have a
least upper
bound in A is called an
upper
semilattice(
上半格
)
.
In an upper semilattice A,
we can define a binary operation
∨
(+) as a
∨
b=lub{a,b}
.
Then (A,
∨
) is an algebraic
structure
.
定义
8.1.6
A poset A for which all
two-element subsets have a
greatest
lower bound in A is called an
lower sem
ilattice(
下半
格
)
.
In a lower
semilattice A, we can define a binary operation
∧
(
〃
)
as a
∧
b=glb{a,b}
.
Then (A,
∧
) is an
algebraic structure
.
定理
8.1.4
(a)
Let
A
be
a
n
upper
semilattice
.
Then
for
all
a,b,c
∈
A,
< br>a
∨
(b
∨
c)=(a
∨
b)
∨
c, a
∨
a=a and a
∨
b=b
∨
a
.
(b)
Let
A
be
a
lower
semilattice
.
Then
for
all
a,b,c
∈
A,
< br>a
∧
(b
∧
c)=(a
∧
b)
∧
c, a
∧
a=a and a
∧
b=b
∧
a
.
ASSIGNMENTS
：
PP209-210
：
6
，
8
，
9
，
10
，
11
，
12
，
30
，
32
8.2
Semigroups and Semilattices
定义
8.2.1
A
binary
operation(
二元运算
)
on
the
set
S
is
a
function f: S×
S
→<
/p>
S
.
A
binary operation exhibits the property of closure
wherein
the result of the operation on
two members a and b of S is also a
member of S
.
定义
8.2.2
A set S with a binary
operation
﹡
on S such that for
all
a,b and c in S, (a
﹡
b)
﹡
c=a
﹡
(b
﹡
c) is called a
semigroup(
半群
)
and
is
denoted
by
(S,
﹡
)
of
simply
S
if
the
operation
is
understood
.
设
(S,
﹡
)
是一个代数结构
.
若
﹡
是一个可结合的二元运算，即：
?
a<
/p>
，
b
，
c
∈
S
，
(a
﹡
b)
﹡
c=a
﹡
(b
﹡
c)
，则称
(S,
﹡
)<
/p>
为
半群
.
定义
8.2.3
Let
(S,
﹡
) be a
semigroup
.
If a
﹡<
/p>
b=b
﹡
a for all a,b
in
S,
then
(S,
﹡
)
is
called
a
(commutative)
Abelian
semigroup(
可交换半群，阿贝尔半群
)
.
If there is an element 1 in
(S,
﹡
) such that 1
﹡
a=a
﹡
1
=a for all a in S, then 1 is called the
identity(
单位元，
么元
)
of (S,
﹡
) and
(S,
﹡
) is called a
semigroup
with
identity
or a
monoid(
含么半群，独异点
)
.
例
8.2.1
(Z,+)
，
(Z,×
)
都是半群；
(Z,
－
)
不是半群；设
A
为任一集合，
则
(P(A),
∪
)<
/p>
，
(P(A),
∩
)
都是半群
.
(Z,+)
，
(Z,×
)
，
(P(A),
∪
)
，
(P(A),
∩
)
都是可交换半群
.
(Z,+)
，
(Z,×
)
都是含么半群，么元分别是
0
和
1
.
(P(A),
∪
)
，
(P(A),
∩
< br>)
也都是含么半群，么元分别是
?
和
A
.
定义
8.2.4
Let
(S,
﹡
)
be
a
semigroup
and
T
be
a
nonempty
subset
of
S
.
If
﹡
is
a
binary
operation
on
T
,
then
T
is
a
subsemigroup(
子半群
)
of S
.
(T
,
﹡
)
is
a
subsemigroup
of
(S,
﹡
)
if
and
only
if
T
is
a
nonempty subset of S and
for every a, b
∈
T
,
a
﹡
b
∈
T<
/p>
.
例
8.2.2
({
所有偶数
},+)
是
(Z
，
+)
的子半群<
/p>
.
例
8.2.3
Let S be the set of all functions from
a nonempty set A
to itself with the
binary operation composition of
functions
.
Then
S
is
a
semigroup
and
the
identity
function
I
:
A
→
A,
defined
by
I(a)=a for all
a
∈
A, is the identity of A so
that S is a monoid
.
例
8.2.4
设
A
是有限个符号组成的集合，称为字母表，
A
上的串就是
A
中有限个字
母组成的有序集合，空串记为
?
.
<
/p>
A*
表示
A
上的
串集合，
A*
上的连接运算
?
定义为
α,β
∈
A*<
/p>
，
α
?
β=αβ
，则
(A*,
?
)
是一个含么半群，
称为由
A
上的自由半群
(The
free
semigroup
on
the
alphabet
A)
.
例
8.2.5
Let
Z
n
={[0],[1],[2],
…
,[n-1]}
be
the
set
of
integers
modulo
n.
Then
(Z
n
,+)
and
(Z
n
,
〃
)
are
both
commutative
monoid
.
定义
8.2.5
Let
(S,
﹡
) be a semigroup and a
be a element of S
.
Define a
n
recursively by a
1
=a and a
n
=a
﹡
a
n-1
for
n>1
.
Obviously, a
k
﹡
a
m
=a
k+m
for all integers
k,m>0
.
定义
8.2.6
Let
(S,
﹡
) be a semigroup and a
be a element of S
.
Let
the
set
n
:n>0}={a,a
2
< br>,a
3
,
…
}
.
Then
is
a
subsemigroup
of
S.
It
is
called
the
cyclic
semigroup
generated by a(
由
a
生成的循环子半群
).
定理
8.2.1
Let
(S,
﹡
)
be
a
semigroup
and
a
1
,a
2
,
…
,
a
k
∈
S
.<
/p>
Let
A={a
1
,a
2
,
…
,a
k
} and A*=
1
,a
2
,
…
,a
k
> be
the set consisiting of all
finite
products
of
a
1
,a
2
,
…
,a
k
.
Then
A*
is
a
semigroup.
Furthermore, A* is the smallest
semigroup of S containing A
.
定义
8.2.7
The semigroup A* is called
the semigroup generated
by
A
.
If for every proper
subset B of A, B
*≠A*
, then A
is called a
minimal
generating set of
A*(
最小生成集
).
定义
8.2.8
Let
(S,
﹡
) and
(T
,
〃
) be
semigroups and
f
:
S
→
T
be a
function such that f(a
﹡
b)=f(a)
〃
f(b) for
all a,b in S
.
The function
f
is called a
homomorphism from S to T (
从<
/p>
S
到
T
的同态映
射
).
定理
8.2.2
Let (S,
﹡
) and
(T
,
〃
) be
semigroups and
f
:
S
→
T
be a
homomorphism from S to
T
.
(a)
If
S
1
is a subsemigroup of S,
then f(S
1
) is a subsemigroup
of
T.
(b)
If T
1
is a
subsemigroup of T
, then f
-1<
/p>
(T
1
) is a
subsemigroup of
S
.
定义
8.2.9
Let
(S,
﹡
) be a semigroup and R
be an equivalence
relation on
S
.
If R has the property
that if aRb and cRd then (a
﹡
c)R(b
﹡
d) for all a,b,c,d
∈
S, Then R is called a
congruence
relation(
< br>同余关系
).
定理
8.2.3
The equivalence classes of a congruence
relation R
on
a
semigroup
（
S,
﹡
)
form
a
semigroup
under
the
binary
operation
。
defined by [a]
。
[b]=[a
﹡
b]
< br>.
定义
8.2.10
The semigroup formed by a
congruence relation R
on a
semigroup (S,
﹡
)
is called the
quotient
semigroup(
商半
群
)
and is denoted by
S/R
.
定理
8.2.4
Let (S,
﹡
) and
(T
,
〃
) be
semigroups and
f
:
S
→
T
be a
homomorphism from S to
T
.
Define the relation R on
S by aRb if
f(a)=f(b)
.
Then
the relation R is a congruence
relation
.
证明
定理
8.2.4
定
义
8.2
.11
A
commutative
semigroup
（
S,
﹡
)
is
a
semilattice(
半格
)
if
a
﹡
a=a
for
all
a
< br>∈
S
.
An
element
a
of
a
semigroup is
called an
idempotent
element(
等幂元
)
if
a
﹡
a=a
.
定理
8.2.5
Let
(S,
﹡
) be a
semilattice
.
Define the
relation
≤
on
S by a
≤
b if
a
﹡
b=b for
a,b
∈
S
.
Then
(S,
≤
) is a
poset and a
﹡
b is
the
least
upper
bound
of
a
and
b
.
Hence
(S,
﹡
)
is
an
upper
semilattice
.
Similiarly
(S,
﹡
)
can
be
considered
as
a
lower
semilattice by the relation
≤
on S by
a
≤
b if
a
﹡
b=a for
a,b
∈
S
.
证明
定理
8.2.5
ASSIGNMENTS
：
PP388
：
4
，
10
，
14
，
16
，
18
8.3
Lattices
定义
8.3.1
A
poset
(S,
≤
)
that
is
both
an
upper
and
a
lower
semilattice is a
lattice(
格
)
.
In a lattice (S,
≤
),
we denote
lub{a,b} by a
∨
b(called the
join(
并
)
of a and b) and glb{a,b} by
a
∧
b(called the
meet(
交
)
of
a and b)
.
There
are two binary operation on S
.
The lattice will be
denoted
by
(S,
∨
,
∧
)
to
emphasize
the
binary
operations
involved.
定理
8.3.1
Let
(S,
∨
,
∧
)
be
a
lattice
.
Then
the
following
properties are
satisfied for all a,b,c
∈
S:
(a)
Commutativity
(
交换律
)
a
∨
b=b
∨
a
a
∧
b=b
∧
a
(b)
Associativity
(
结合律
)
(a
∨
b)
∨
c=a
∨
(b
∨
c)
(a
∧
b)
∧
c=a
< br>∧
(b
∧
c)
(c)
Absorption(
吸收
律
)
a
∨<
/p>
(a
∧
b)=a
a
∧
(a
∨
b)=a
例
8.3.1
设格
(S,
∨
,
∧
)<
/p>
，其中
S
是集合
A
的幂集，偏序关系
≤
就是集
合的包含关系
.
则对
U
，
V
∈
S<
/p>
，
U
∨
V
＝
U
∪
V
，
U
∧
V
＝
U
∩
V
.
例
8.3.2
设格
(S,
∨
,
∧
)<
/p>
，其中
S
是正整数集，偏序关系
≤
就是整除关
系
.
则对
a
，
b
∈
S
，
a
∨
b
＝
lcm(a,b)
，
a
∧
b
＝
gcd(a,b)
.
例
8.3.3
The rational numbers, real numbers, and
integers with
the
usual
partial
ordering
all
form
a
lattices
where
a<
/p>
∨
b
＝
max(
a,b)
，
a
∧
b
＝
min(a,b)
.
定义
8.3.2
A
nonempty
subset
T
of
a
lattice
(S,
∨
,
∧
)
is
a
sublattice(
子格
)
of S if for all
a
，
b
∈
T
，<
/p>
a
∨
b
and
a
∧
b are in
T
.
定义
8.3.3
A lattice (S,
∨
,
∧
)
is
bounded(
有界的
)
if the set S,
considered
as
a
poset,
has
a
greatest
element
and
a
least
element
.
The
greatest
element
is
denoted
by
1
and
the
least
element is denoted by
0
.
In a bounded
lattice, 0
∨
a=a and
1
∧
a=a for all
a
∈
S
.
例
8.3.4
格
(P(A),
∪
,
∩
)<
/p>
是一个有界格，
A
是最大元，空集
?
是最小元
.
定义
8.3.4
Let (S,
∨
,
∧
)
and (S
1
,
∨
1
,
∧
1
) be
lattices
.
A function
f:
S
→
S
1
is
a
homomorphism(
格
同
态
)
if
for
all
a,b
∈
S,
f(a
∨
b)=f(a)
∨
1
f(b) and
f(a
∧
b)=f(a)
∧
1
f(b)
.
If
S
and
S
1
are
bounded
lattices,
then
f:
S
< br>→
S
1
is
a
homomorphism
(
有
界
格
的<
/p>
同
态
)
from
bounded
lattice
S
to
bounded lattice
S
1
if it is a homomorphism
and also f(0)=0
1
and
f(1)=1
1
, where
0
1
,1
1
are the greatest element and least element
of S
1
respectively
.
定义
8.3.5
Let (S,
∨
,
∧
)
and (S
1
,
∨
1
,
∧
1
) be
lattices
.
A function
f:
S
→
S
1
is a
isomorphism(
格同构
< br>)
if it is a homomorphism and
f is one-to-one
correspondence
.
例
8.3.5
设
A
＝
{a,b,c},
B={a,b}
.
则从格
(P(A),
∪
,
∩
)
到格
(P(B),
∪
,
∩
)<
/p>
可以定义一个格同态
f: P(A)
→
P(B),
f(C)=C-{c}
.
定义
8.3.6
A lattice (S,
∨
,
∧
)
is
a distributive
lattice(
分配格
)
if
for
all
a,b,c
∈
S
,
a
∧
(b
∨
c)
=(a
∧
b)
∨
(a
∧
c)
a
∨
(b
∧
c
)
=(a
∨
b)
∧
(a
∨
c)
例
8.3.5
哈斯图为下列图形的格不是分配格
.
1
?
1
?
a
?
a
?
b
?
c
?