-
高考理科数学《数列》题型归纳与训练
【题型归纳】
等差数列、等比数列的基本运算
题组一
等差数列基本量的计算
例
1
设<
/p>
S
n
为等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和，若
a
1
=1
，公差
d
=2
，
S
n
＋
2
?
S
n<
/p>
=36
，则
n
=
A
．
5
C
．
7
【答案】
D
【解析】解法一：由题知
S
n
?
na
1
?
2)
2
?
n
2
=4
n
＋
4=36
，所以
n
=8.
解法二：
S
n<
/p>
＋
2
?
S
n
=
a
n
＋
1
＋
a
n
＋
2
=2
< br>a
1
＋
(2
n
＋
1)
d
=2
＋
2(2
n
＋
1)=36
，解得
n
=8.
所以选
D
．
【易错点】
对
S<
/p>
n
＋
2
?
S
n
=36
，解析为
a
n
＋
2
，
发生错误。
题组二
等比数列基本量的计算
例
2
在各
项均为正数的等比数列
{
a
n
}
中，若
a
2
?
1,
a
8
?
a
6
?
2
a
4
，则
< br>a
6
的值是
________<
/p>
．
【答案】
4
【解析】设公比为
q
(
q
≠0)
，∵
a
2
=1
，则由
a
8
?
a
6
?
2
a
4
得
< br>q
?
q
?
2
q
，即
q
?
q
?
2
?<
/p>
0
，解得
q
2<
/p>
=2
，
4
∴
a
6
?
a
2
q
?
4
.
B
．
6
D
．
8
n
(
n
?
1)
d
?
n
?
n
?
n
?
1
?
?
n
2
，
S
n
＋
2
=(
n
＋
2)
2
，由
S
n
＋
2
?
S
n
=36
得，
(
n
＋
2
6
4
2
4
2
【易错点】
忘了条件
中的正数的等比数列
.
【思维点拨】
等差
< br>（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以
< p>选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题
.
等差
(
比
)
数列基本运算的解题
思路：
(1)
设基本量
a
1<
/p>
和公差
d
(
公比
q
)
．
(2)
列、解方程组：把条件转化为关于
a
1
和
d
(
q
)
的方程
(
组
)
，然后求解，注意整体计算，以减少运
算量．
1
等差数列、等比数列的判定与证明
题组一
等差数列的判定与证明
例
1
设数列
{
a
n
}
的各项都为正数，其前
n
项和为
S
n
，已知对任意
n
∈
N
*
，
S
n
是
a
2
n
和
a
n
的等差中项．
< br>
(1)
证明：数列
{
a
n
}
为等差数列；<
/p>
(2)
若
b<
/p>
n
=?
n
＋
5
，求
{
a
n
·
b
n
}
的最大项的值并求出取最大值时
n
的值．
【答案】
(1)<
/p>
见解析；
(2)
当
n
=2
或
n
=3
时，
{
a
n
·
b
n
}
的最大项的值为
6.
【解析】
(1)
由已知可得
2
S
n
=
a
2
n
＋
a
n
，且
a
n
>0
，
当
n
=1
时，
2
a
1
=
a
< br>2
1
＋
a
1
，解得
a
1
=1
；
当
n
≥2
时，有
2
S
n
?1
=
a
2
n
－
1<
/p>
＋
a
n
?1
，
所以
2
a
n
=2
S
n
?2
S
n
?1
=
a
2
n
?
a
2
< br>n
－
1
＋
a
n
?
a
n
?1
，
所以
a
2
n
?
a
2
n
－
1
=
a
n
＋
a
n
?1
，即
(
a
n
< br>＋
a
n
?1
)(
a
n
?
a
n
?1
)=
a
n
＋
a
n
?1
，
因为
a
n
＋
a
n
?1
>0
，
所以
a
n
?
a
n
?1
=1(
n
≥2)
．
故数列
{
a
n
}
是首项为<
/p>
1
，公差为
1
的
等差数列．
(2)
由
(1)
可知
a
n
=
n
，
< br>设
c
n
=
a
n
·
b
n
，则
c
n
=<
/p>
n
(?
n
＋
5)=?
n
2
＋<
/p>
5
n
=?
?
?
n
－
5
2
?
?
2
＋
25
4
，
因为
n
∈
< br>N
*
，
所以当
n
=2
或
n
=3
时，
{
a
n
·
b
n
}
的最大项的值为
6.
【易错点】
S
n
是
a
2
n
和
a
n
的等差中项，无法构
建一个等式去求解出
a
n
。
【思维点拨】
等差数列的判定与证明的方法：
①<
/p>
定义法：
a
n
?
1
?
a
n
?
d
(
n
?
N
*
)
或
a
n
?
< br>a
n
?
1
?
d
(
n
?
2,
n
?
N<
/p>
*
)
?
?
a
n
?
是等差数列；
②
定义变形
法：验证是否满足
a
n
?
1
?
a
n
< br>?
a
n
?
a
n
?
1
(
n
?
2,
n<
/p>
?
N
*
)
；
③
等差中项法：
2
a
*
n
?
1
?
a
n
?
a
n
?
2
(
n
< br>?
N
)
?
?
a
n
?
为
等差数列；
④
通项公式法：通项公式
形如
a
n
?
p
n
?
q
(
p<
/p>
,
q
为常数
)<
/p>
?
?
a
n
?
为等差数列；
⑤
前
n
项和公式法：
S
n
?
pn
2
?
qn
(
p
,
q
为常数
)
?
?
a
n<
/p>
?
为等差数列．
注意：
2
（
1
）若判断一个数列不是等差数列，
只需找出三项
a
n
,
< br>a
n
?
1
,
a
n
?
2
，使得
2
a
n
?
1
?
a
n
?
a
n
?
2
即可；
（
2
）如果要证明一个数列是等差数列，则必须
用定义法或等差中项法．
题组二
等比数列的判定与证明
例
2
设数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，已知
a
1
=1
，
S
n
＋
1
=4
a
n
< br>＋
2.
(1)
设
b
n
=
a
n
＋
1
?2
a
n
，证明：数列
{
b
n
}
是等比数列；
(2)
求数列
{
a
n
}
的通项公式．
【答案】
(1)
见解析；
(2)
a
n
=(3
n
?1)·2
n
?2
.
<
/p>
【解析】
(1)
由
a
1
=1
及
S
n
＋
1
=4
a
n
＋
2
，得
a
1
＋
a
2
=
S
2
=4
a
1
＋
2.
∴
a
2
=5
，
< br>
∴
b
1
=
a
2
?2
a
1
=3.
又
?
?
?
S<
/p>
n
＋
1
＝
4
a
n
＋
2
，
①
?
?
S
n
＝
4
a
n
－
1
＋
< br>2
，
②
①
?
②，得
a
n
＋
1
=4
a
n
?4
a
n
?1
，
∴
a
n
＋
1
?2
a
n
=2(
a
n
?2
a
n
?1
)
．
< br>
∵
b
n
=
a
n
＋
1
?2
a
n
，<
/p>
∴
b
n
=2
b
n
?1
，
故
{
b
n
}
是首项
b
1
=3
，公比为
2
的等比数列
.
<
/p>
(2)
由
(1)
知
b
n
=
a<
/p>
n
＋
1
?2
a
n
=3·2
n<
/p>
?1
，
∴
a
n
＋
1
a
n
2
n
＋
1
?
2
< br>n
=
3
4
，
故
?
?
a
n
?
1
3
?
2
n
?
?
是首项为
2
，公差为
4
的等差数列．
∴
a
n
1
3
3
n
－<
/p>
1
2
n
=
2
＋
(
n
?1)·
4
=
4
，
故
a
n
=(3
n
?1)·2
n
?2
.
【易错点】
对于
b
n
=a
n
＋
1<
/p>
?2a
n
，
在条
件中无法构造出来，等比数列的判定与证明常用的方法不清楚
.
【思维点拨】
等比数列的判定与证明常用的方法：
（
1
）定义法：
a
n
?
1
a
?
q
(
q
为常
数且
q
?
0)
?
数列
{
a
n
}
是等比数列．
n
（
2
）等比中项法：
a
2
*
n
?
1
?
a
n
?
a
n
?
2
(
n
?<
/p>
N
,
a
n
?
0)
?
数列
{
a
n
}
是等比数列．
3
n
*
（
3
）通项公式法：
a
n
?
tq
(
tq
?
0,
n
?
N
)
?
数列
{
a
n
}
是等比数列．
n
（
4
）前
n
项
和公式法：若数列的前
n
项和
S
n
?
?
Aq
?
A
(
A
?
0,
q
?
0,
q
?
1)
，则该数列是等比数列．
其中前两种方法是证明等比
数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中．
注意：
（
1
）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
（
2
）只满足
a
n
?
1
?
qa
n
?
q
?
0
?
的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要
a
1
?
0
.
等差数列、等比数列的性质
题组一
等差数列性质的应用
例
1
若
{
a
< br>n
}
是等差数列，首项
a
1
>0
，
a
2 016
＋
a
2 0
17
>0
，
a
2 016
·
a
2 017
<0
，则使前
n
项和
S
n
>0
成立的最
大正整数
n
是
A
．
2 016
C
．
4 032
【答案】
C
【解析】因为
a
1
>0
，
a
2
016
＋
a
2 017
>0
，
a
2
016
·
a
2 017
<0
，所以
d
<0
，
a
2 016
>0
，
a
2
017
<0
，
所以
S
4
032
?
B
．
2
017
D
．
4
033
4032(
a
1
?
a
4032
)
4032(
a
2016<
/p>
?
a
2017
)
4033(
a
1
?
a
4033
)
?
?
0
，
S
4 033
?
?
4033
a
2017
?
0
，所以
2
2
2
使前
n
项和
S
n
>0
成立的最大正整
数
n
是
4
032.
【易错点】
等差数列的求和
与等差数列的某一项有关系。
题组二
等比数列性质的应用
例
2
已知数列
{
a
n
}
是等比数列，
S
n
为其前
n
项和，若
a
1
＋<
/p>
a
2
＋
a
3
=4
，
a
4
＋
a
5
＋
a
6
=8
，则
S
12
=
A
．
40
C
．
32
【答案】
B
【解析】由等比数列的性质可知，数列
S
3
，
S
6
?
S
3
，
S
9
?
S
6
，
S
12
?
S
9
是等比数列，即数列
4,8
，
S
9
?
S
6
，
S<
/p>
12
?
S
9
是等比数列，因此
S
12
< br>=4
＋
8
＋
16
＋
32=60
，选
B
．
【易错点】
B
．
60
D
．
50
<
/p>
S
2
n
?
1
?
q
n
，等式不会转化
.
S<
/p>
n
【思维点拨】
等差（比）数列的性质是每年高考的热点之一，利用等差（比）数列的性质进行求解可使题目减少运
4
算量，题型以选择题或填空题为主，难度不
大，属中低档题
.
应用等差数列性质的注意点：
（
1
）熟练掌握等差数列性质的实质
等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前
n
项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵
活应用这些性质可以有效、方
便、快捷地解决许多等差数列问题
.
（
2
）应用等差数列的性质解答问题的关键
寻找项数之间的关系，
但要注意性质运用的条件，如若<
/p>
m
?
n
?
p
?
q
，则
a
m
?
a
n
?
a
p
< br>?
a
q
(
m
,
n,
p,
q
?
N
*
)
，需要当序号之和相等、
项数相同时
才成立，再比如只有当等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
中的
n<
/p>
为奇
数时，才有
S
n
=
na
中
成立
.
应用等比数列性质时的注意点：
（<
/p>
1
）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性
质，特别是性质
“
若
m
＋
n
=
p
＋
q
，则
a
m
·
a
n
=
a
p
·
a
q
”
，可以减少运算量，提高解题速度．<
/p>
（
2
）在应用
相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设
而不求思想的运用
.
等差数列与等比数列的综合
例
1
已知
{
a
n
}
是等差数列，公差
d
不为零，前
n
项和是
S
n
.
若
a
3
，
a
4
，
a
8
成等比数列，则
A
．
a
1
d
>0
，
dS
4
>0
C
．
a
1
d
>0
，
dS
4
<0
【答案】
B
5
5
【解析】
由
a
2
得
(
a
1
＋
2
d
)(
a
1
＋
7
d
)=(
a
1
＋
3
d
)
2
，
整理得
d
(5
d
＋
3
a
1
)=0
，
又
d
≠0
，
∴
a
1
=?
d
，
则
a
1
d
=?
d
2
<0
，
4
=
a
3
a
8
，
3
3
2
2
又∵
S
4
=4
a
1
＋
6
d
=?
d
，∴
dS
4
=?
d
2
<0
，故选
B
．
3
3
【易错点】
对三项成等差
数列的中项性质应用
.
例
2
已知
数列
{
a
n
}
满足：
a
n
＋
1
?
a
n
=
d
(
n
∈
N
*
)
，前
n
项和记为
S
n
，
a
1
=4
，
S
3
=21.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
16
a
(2)
设数列
{
b
n
}
满足
b
1
=
，
b<
/p>
n
＋
1
?
b
n
?
2
n
，求数列
{
b
n
}
的通项公式．
<
/p>
7
1
＋
【答案】
(1)
a
n
=3
n
＋
1
；
(2)
b
n
=
×2
3
n
1
.
7
3×2
【解析】
(1)
由已知数列
{
a
n
}
为等差数列，公差为
d
，则
S
3
=3×4
＋
d
=21
，解得
d
=3
，
2
5
B
．<
/p>
a
1
d
<0
，
dS
4
<0
D
．
a
1
d
<0
，
dS
4
>0
所以数列
{
a
n
}
的通项公式为
< br>a
n
=3
n
＋
1.
(2)
< br>由
(1)
得
b
< br>n
＋
1
?
b
n
=2
3
n
1
.
当<
/p>
n
≥2
时，
b<
/p>
n
=(
b
n
?
b
n
?1
)
＋
(
b
n
?1
?
b
n
?2
)
＋
…
＋
(
b
2
?
b
1
)
＋
b
1
，<
/p>
所以
b
n
?
2
3
n
?
2
＋
?
2
3
n
?
< br>5
16
2
4
[1
?
2
3(
n
?
1)
]
16
1
3
n
?
1
?
L
?<
/p>
2
?
?
?
?
?
2
?
n
?
2
?
．
7
1
?
2
3
7
7
4
16
1
＋
又
b
1
=
满足
b
n
=
×2
3
n
1
，
7
7
1
＋
所以
?
n
∈
N
*
，
b
n
=
×2
3
n
1
.
7
【易错点】
累加法的联想和使用
.
考点
5
等差数列与等比数列的创新问题
题组一
等差数列与等比数列的新定义问题
S
2
n
例
1
设
S
n
为数列
{
a
n
}
的前
n
项和，若
(
n
∈
N
*
)
是非零常数，则称该数列为
“
和等比数列
”
．若数列
{
c
n
}
是首
S
n
项为
2
、公差为
d
(
d
≠0)
的等差数列，且数列
{
c
n
}
是
“
和等比数列
”
，则
d
=________.
【答案】
4
【解析】由题意可知，数列
{
c
n
}
的前
n
项和为<
/p>
S
n
?
n
(
c
1
?
c
n
)
2
n
(
c
1
?
c
2
n
)
S
2
n
，前
2
n
项和为
S
2
n
?
，所以
=
S
n
2
2
2
n
(
c
1
?
c
2
n
)
2
< br>nd
2
S
2
n
2
=2
＋
=2
＋
，所以当
d
< br>=4
时，
为非零常数．
S
n
4
＋
nd
－
d
4
－
d
n
(
< br>c
1
?
c
n
)
1
＋
n
d
2
【易错点】
数列新定义型创新题<
/p>
.
【思维点拨】
数列新定义型创新题的一般解题思路：
(1)
阅读审清
“
新定义
”
；
(2)
结合常规的等差数列、等比数列的相关知识，化归、转化到
“
新定义
”
的相关知识；
<
/p>
(3)
利用
“
新
定义
”
及常规的数列知识，求解证明相关结论．
题组二
等差数列与等比数列的文化背景问题
例
2
《九章算术》卷第六《均输》中，提到如下问题：
“
今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问
< br>中间
二节欲均容，各多少？
”
其
中
“
欲均容
”
的意思是：使容量变化均匀，即每节的容量成等差数列．在这个
．．
问题中的中间
两节容量分别是
．．
A
．
<
/p>
67
41
升、
升
66
33
B
．
2
升、
3
升
6
C
．
3
37
升、
升
22
33
D
．
67<
/p>
37
升、
升
<
/p>
66
33
【答案】
D
【解析】设从上而下，记第
i<
/p>
节的容量为
a
i
升，故
a
1
?
a
2
?
a
3<
/p>
?
a
4
?
3
，
a
7
?
a
8
?
a
9
?
4
，设公差为
d
，
13
?
a
?
?
< br>?
3
a
1
?
21
d
?
4
67
37
?
1
22
则有
?
，解得
?
，故
a
5
?
，
a
6
?
，选
D
．<
/p>
7
66
33<
/p>
?
4
a
1
?
6
d
?
3
?
d
?
?
66
?
【易错点】
数学文化和数学知识的结合需要学生的应用意识
.
公式法求和
题组一
等差数列的求和公式
S
1
S
2
S
< br>15
例
1
< br>设等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且满足
S
17
＞
0
，
S
18
＜
0
，则
，
，
…
，
中最大的项为
a
1
a
2
a
15
S
7
A
．
a
7
S
9
C
．
a
9
【答案】
C
【解析】
因为
{
a
n
}
是等差数列，
所以
S
17
=
S
8
B
< br>．
a
8
S
10
D
．
a
10
17(
a
1
?
a
17
)
18(
a
1
?
a
18
)<
/p>
=17
a
9
＞<
/p>
0
，
所以
a
9
＞
0
，
又
S
18
=
=9(
a
9
＋
a
10
)
2
2
S
9
＜
< br>0
，所以
a
10
＜
0
，即该等差数列前
9
项均是正数项，从第
10
项开始是负数项，
则
最大，故选
C
．
a
9
【易错点】
等差数列的公差和求和的关系
.
题组二
等比数列的求和公式
例
2
在等
比数列
{
a
n
}
中，
a
1
＋
a
n
=34
，
a
2
·
a
n
?1
=64
，且
前
n
项和
S
n
=62
，则项数
n
等于
A
．
4
C
．
6
【答案】
B
【解析】设等比数列
{
a
n
}
的公比为
q
，由题意得
a
2
a
n
?1
=
a
1
a
n
=64
，
又
a
1
＋
a
n
=34
，解得
a
1
=2
，
a
n
=32
或
a
1
=32
，
a
n
=2.
B
．
5
D
．
7
a
1
(1
?
q
n
)
a
1
－
a
n
q
2
－
32
< br>q
当
a
1
=2
，
a
n
=32
时，
S
n
=
=
=
=62
，
解得
q
=2.
又
a
n
=
a
1
q
n
?1
，
所以
2×2
n
?1
=2
n
=32
，
解得
n
=5.
1
－
q
1
－
q
1
?
q
7
<
/p>
a
1
(1
?
q
n
)
a
1
－
a
n
q
32
?
2
q
1
?
n
?1
1
同理，当
a
1
=32
，
a
n
=2
时，由
S
n
=
=
=
< br>=62
，解得
q
=
.
又
a
n
< br>=
a
1
q
n
?1
=32×
?
< br>=2
，所
2
?
< br>?
2
1
?
q
1
－
q
1
?
q
以
?
1
?
n
?1
1
?
2
?
=
16
=
?
1
?
2
?
< br>?
4
，即
n
?1=4
，
n
=5.
综上，项数
n
等于
5
，故选
B
．
【易错点】
等比数列中项性质的求解
.
例
3
已知等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
S
3
=9
，
a
1
，
a
3
，
a
7
成等比数列．
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
若
a
n
≠
a
1
(
当
< br>n
≥2
时
)
，数列
{
b
n
}
满足
b
n
=2
an
，求数列
{
b
n
}
的前
< br>n
项和
T
n
.
【答案】
(1)
a
< br>n
=
n
＋
1
或
a
n
=
3
；
(2)
T
n
=2
n
＋
2
?4.
【解析】
< br>(1)
设等差数列
{
a
n
}
的公差为
d
.
由题意得
a
2
3
=
a
1
a
7
，即
(
a
1
＋
2
d
)
2
=
a
1
1
(
a
1
＋
6
d<
/p>
)
，化简得
d
=
2
a
1
或
d
=0.
当
d
=
1
2
a
=3
a
3×2
1
9
1
时，
S
3
1
＋
2
×
2
a
1
< br>=
2
a
1
=9
，得
a
1
=2
，
d
=1
，
∴
a
n
=
a
1
＋
(
n
?1)
d
=2
＋
(
n
?1)=
n
＋
1
，即
a
n
=
n
＋
1
；
当
d
=0
时，由
S
3
=9
，得
a
1
=3
，
∴
a
n
=3.
综上，
a
n
=
n
＋
1
或
a
n
=3.
(2)
由题意可知
b
n
=
2
a
n
=2
n
＋
1
，
< br>
∴
b
b
n
＋
1
1
=
4
，
b
n
=2
.
∴
{
b<
/p>
n
}
是以
4
为首项，
2
为公比的等比数列，
∴
T
b
n
=
1
(1
< br>?
q
n
)
4(1
?
2
n
)
n
1
?
q
?
1
?
2
=2
＋
2
?4.<
/p>
【易错点】
等差数学与等比数列的互相
交叉使用
.
【思维点拨】
1
．两组求和公式
< br>(1)
等差数列：
S
1
?
a
n
)
n
(
n
=
< br>n
(
a
2
=
na
?
n
?
1)
1
2
d
；
?
(2)
等比数列：
S
?
na
1
,
q
?
1
n
?
?<
/p>
a
1
(1
?
q
n
)
a
1
?
a
n
q
．
?
< br>?
1
?
q
?
1
?
q
,
q
?
1
8
2
．在进
行等差
(
比
)
数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于
a
1
和
d
(
q
)
的方程
组求解，但要注意消元
法及整体计算，以减少计算量．
注：在运用等比数列前
n
项和
公式时，一定要注意判断公比
q
是否为
1
，切忌盲目
套用公式导致失误．
错位相减法求和
例
1
已知
等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，若
S
3
?
7,
S
6
?
63
，则数列
?
na
n
?
的前
n
项和为
A
．
?
3
?
?
n
?
1<
/p>
?
?
2
n
B
．
3
?
?
n
?
1
?
?
2
n
C
< br>．
1
?
?
n
?
1
?
?
2
n
D
．
1
?
?
n
?
1
?
?
2
n
【答案】
D
?
a
1
1
?
q
3
?
?
7
1
?
q
3
1
7
< br>?
1
?
q
?
?
【解析】
当
q
?
1
时，
不成立；
当
q
?
1
时，
，
两式相除得
，
解得
q
?
2
，
?
6
3
6
1
?
q
1
?<
/p>
q
63
?
a
1
1
?
q
?
63
?
?
1
?
q
?
?
?
?
n
?
1
n
?
1
n
?
1
则<
/p>
a
1
?
1
，所以
a
n
?
a
1
q
?
2
，所以
n
?
a
n
?
n
?
2
，则数列
?
na
n
?
的前
n
项和为
T
n
?
1
?
< br>2
?
2
?
3
?
2
2
?
L
?
n
?
2
n
?
1
，
2
T
n
?
1
< br>?
2
?
2
?
2
2
?
L
?
?
n
?
1
?
?
2
n
?
1
?
n
?
2
n
< br>，
两式相减得到：
?
T
n
?
1
?
2
?
2
< br>?
L
?
2
所以
T
n
?
1
?
?
n
?<
/p>
1
?
?
2
，故选
D
．
n
2
n
?
1
1
?
2
n
?
n
?
2
?
?
n
?
2
n
?
?<
/p>
1
?
n
?
?
2
n
?
1
，
1
?
2
n
【易错点】
注意错位相减的运算步骤
.
*
例
2
<
/p>
已知等差数列
?
a
n
?
满足
:
a
n
?
1
?<
/p>
a
n
(
n
?
N
)
，
a
1
?
1
，该数列的前三项分别加上
1
，
1
，
3
后成等比数
< br>列，
a
n
?
2log
2
b
n
< br>?
?
1
.
(1)
求数列
?
< br>a
n
?
，
?
b
n
?
的
通项公式
;
(2)
求数列
?
a
n
?
b
n
?
的前
< br>n
项和
T
n
.
【答案】
(1)
a
n
?
2
< br>n
?
1
，
b
n
=
；
(
2)
T
n
=
3
?
2
n
?<
/p>
3
.
2
n
9
<
/p>
【解析】
(1)
设等差数列
?
a
n
?
< br>的公差为
d
，且
d>
0
，
由
a
1
?
1
，
a
2
?
1
?
d
,<
/p>
a
3
?
1
?
2
d
，
分别加上
1
，
1
，
3
后成等比数列，
得
?
2
?
d
?
?
2
?
4
?
2
d
?
，
解得
d=
2
，
∴
< br>a
n
?
1
?
?
n
?
1
?
?
2
?
2
n
?
1
.
∵
a
n
?
2log
2
b
n
?
?
1
，
∴
log
2
b
n
?
?
n
，即
b
n
=
(2)
由
(1)
得
a
n
·
b
n
=
2
1
.
n
2
2
n
?
1
.
2
n
+
…
< br>+
∴
T
n
=
2
n
?
1
，①
n
2<
/p>
T
n
=
①
?
②，得
+
…
+
2
n
?
1
，②
2
n
?
1
< br>T
n
=
+
2
+
…
+
2
n
?
1
.
n
?
1
2
1
n
?
1
2
n
?
< br>1
1
2
n
?
1
2
n
?
3
2
∴
T
n
=
1
?
?
n
=
3
?
n
?
2
< br>?
n
=
3
?
n
.
1
2
2
2
2
1
?
2
1
?
【易错点】
注意错位相减的运算步骤
.
【思维点拨】
错位相减法
适用于各项由一个等差数
列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列．把
S
n
=
a
1
＋
a
2
＋
…
＋
a
n
两边同乘
< br>以相应等比数列的公比
q
，得到
qS
n
=
a
1
q
＋
a
2
q
＋
…
＋
a
n
q
，两式错位相减
即可求出
S
n
.
裂项相消法求和
2
例
1
<
/p>
已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?
n
?
2
n
，则数列<
/p>
?
?
1
?
?
的前
6
项和为
a
?
a
?
n
n
?
1
?
2
15
5
C<
/p>
．
11
A
．
【答案】
A<
/p>
4
15
10
D
．
11
B
．
10
-
-
-
-
-
-
-
-
-
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