-
第三讲
点共线、线共点
< br>在本小节中包括点共线、
线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、
塞瓦定理
的应用。
1.
点共线的证明
点共线的通常证明方法是：
通过邻补角关系证明三点共线；
证明两点的连线
必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。
n
(
n
≥
4
)
点共线可转化为三点
共线。
例
1
<
/p>
如图，
设线段
AB
的中点为
C
，
以
AC
和
CB
为对角线作平行四边形
AECD
，
BFCG
< br>。又作平行四边形
CFHD
，
C
GKE
。求证：
H
，
< br>C
，
K
三点共线。
证
< br>连
AK
，
DG
< br>，
HB
。
G
由题意，
AD
EC
KG
，
知四边形
AKGD<
/p>
D
是平行四边形，
于是
< br>AK
DG
。
同
< br>样
可
证
K
B
行四边形，其对
AK
HB
。四边形
AHBK
是平
A
C
H
角线
A
B
，
KH
互相平分。
< br>而
C
是
AB
中点，线
E
段
KH
过
C
点，故
K
，
C
，
H
三点共线。
F
例
2
如图所示，菱形
ABCD
中，∠
A
=120
°，
O
为△
ABC
外接圆，
M
为其上
一点，连接
MC
交
AB
于
E
，
AM
交
CB
延长线于
F
。求证：
D
，
E
，
F
三
点共线。
证
如图，连
AC
，
D
F
，
DE
。
因为
M
在
O<
/p>
上，
C
F
B
M
E
O
A
D
则∠
AMC
=60
°
=
∠
ABC
=
∠
ACB<
/p>
，
有△
AMC
∽△
ACF
，得
MC
CF
CF
?
?
。
MA
CA
CD
又因为∠
AMC
=
BAC
，所以△
AMC
∽△
EAC
，得
MC
AC
AD
?
?
。
MA
AE
AE
CF
AD
?
所以
，又∠
BAD
=
∠
< br>BCD
=120
°，知△
CFD
∽
CD
AE
△
ADE
。所以∠
ADE
=
∠
DFB
。因为
AD
∥
BC
，所以∠
ADF
=
∠
DFB
=
∠
ADE
，于
是
F
，<
/p>
E
，
D
三点共线
。
1 / 9
例
3
四边形
ABCD
内接于圆，其边
AB
与
DC
的延长线交于
点
P
，
AD
与
BC
的
延长线交于点
< br>Q
。由
Q
作该圆的两条切线
QE
和
QF
，切点
分别为
E
，
F
。
求证：
P
，
E
，
F
三点共线。
证
如图。
F
A
连接
PQ
，
并在
PQ
上取一点
M
< br>，使得
D
G
< br>B
，
C
，
M
，
P
四点共圆，连
CM
，
PF
。设
PF
与圆的另
C
Q
易如
一交点为
E
’
，并作
QG
丄<
/p>
PF
，垂足为
G
。
B
(
E
'<
/p>
)
E
QE
2
=
QM
·
QP
=
QC
·
QB
①
M
∠
PMC
=
∠
ABC
=
∠
PDQ
。
从而<
/p>
C
，
D
，
Q
，
M
四点共圆，于
是
PM
·
P
Q
=
PC
·
P
D
②
由①，②得
PM
·
PQ
+
QM
·
PQ
=
PC
·
PD
+
QC
·
QB
，
P
即
PQ
2
=
QC
·
QB
+
PC
·
PD
。
易知
PD
·
PC
=
PE
’
·
PF
，又
QF
2
=
QC
·
QB
，有
PE
’
·
PF
+
QF
2
=
P
D
·
PC
+
Q
C
·
AB
=
P
Q
2
，
即<
/p>
PE
’
·
PF<
/p>
=
PQ
2
-
QF
2
。又
PQ
2
－
QF
2
=
PG
2
－
GF
2
=(
PG
+
GF
)
·
(
PG
－
GF
)
=
PF
·
(
PG
－
GF
)
，
从而
PE
’
=
PG
－
GF
=
PG
－
GE
’
，即
GF
=
GE
’
，故
E
’
与
E
重合。
所以
P
，
E
，
F
三点共线。
例
4
以圆
O
外一
点
P
，引圆的两条切线
PA
，
PB
，
A
，
B
为切点。割线
PCD<
/p>
交
圆
O
于
C
，
D
。又由
B
作
CD
的平行线交
圆
O
于
E
。若
F
为
CD
中点
，求
证：
A
，
F
，
E
三点共线。
证
如图，
连
A
F
，
EF
，
O
A
，
OB
，
O
P
，
BF
，
O
F
，
延长
F
C
交
BE
于
G
。
A
易如<
/p>
OA
丄
AP
，<
/p>
OB
丄
BP
，<
/p>
F
C
D
P
OF
丄
CP
，所以
P
，
A
，
F
，
O
，
B
五点共圆，
有∠
AFP
=
∠
AOP
=
∠
POB
=
O
∠
PFB
。
G
E
B
又因
CD
∥
BE
，所以有
∠
PFB
=
∠
FBE
，∠
EFD
=
∠
FEB
，
而
FOG
为
BE
的垂直平分线，故
EF
=
FB
，∠
FEB
=
∠
EBF
，
所以∠
AFP
=
∠
EFD
，
A
，
F
，
E
三
点共线。
2.
线共点的证明
证明线共点可用有关定理
(
如三角形的
3
条高线交于一点
< br>)
，或证明第
3
条直
线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明。
例
5
以△
ABC
的两边
AB
，
AC
向外作正方形
ABDE
，
ACFG
。
△
ABC
的高为
AH
。求证：
< br>AH
，
BF
，
< br>CD
交于一点。
2 / 9
证
如图。延长
HA
到
M
，
M
使
AM
=
B
C
。连
CM
，
BM
。
设
C
M
与
BF
交于点
K
。
E
在△
ACM
和△
BCF
中，
G
AC
=
CF
，
AM
=
BC
，
A
∠
MAC
+
∠
HAC
=180
°，
D
F
K
∠
HAC
+
∠
HCA
=90
°，
并且∠
BCF
=90
°
+
∠
HCA
，
B
C
H
因此∠
BCF
+
∠
HAC
=
180
°
∠
MAC
=
∠
BCF
。
从而△
MAC
≌△
BCF
，∠
ACM
=
∠
CFB
。
所以∠
MKF
=<
/p>
∠
KCF
+
∠<
/p>
KFC
=
∠
KC
F
+
∠
MCF
=90
°，
即
BF
丄<
/p>
MC
。
同理<
/p>
CD
丄
MB
。<
/p>
AH
，
BF
，<
/p>
CD
为△
MBC
的
3
条高线，故
AH
< br>，
BF
，
CD
< br>三线交于一点。
例
6
设
P
为△
ABC<
/p>
内一点，∠
APB
－∠
< br>ACB
=
∠
APC
－∠
ABC
。又设
D
，
E
分别
是△
APB
及△
APC
的
内心。证明：
AP
，
BD
，
CE
交于一点。
证
如图，过
P
向三边作垂线，垂足分
别为
R
，
S
，
T
。
连
RS
，
ST
，
RT
，
设
< br>BD
交
AP
于
< br>M
，
CE
交
AP
于
A
N
。
易知<
/p>
P
，
R
，
A
，
S
；
P
，
T
，
B
，
R
；
R
M
N
S
D
P
，
S<
/p>
，
C
，
T
分别四点共圆，则
E
∠
APB
－∠
ACB
=
∠
PAC
+
∠
PBC
P
=
∠
PRS
+
∠
PRT
C
B
T
=
∠
SRT
。
同理，
∠
APC
－∠
ABC
< br>=
∠
RST
，
< br>
由条件知∠
SRT
=
∠
RST
，所以
RT<
/p>
=
ST
。
又
RT<
/p>
=
PBsinB
，
ST
=
PCsinC
，
所以<
/p>
PBsinB
=
PCsinC
，那么
PB
PC
?
。
AB
AC
由角平分线定理知
AN
AC
AB
AM
?
?
?
。
NP
PC
PB
MP
故
M
，
N
重合，即
AP
，
BD
，
CE
交于一点。
例
7
O
1
与
O
2
外切于
P
点，
QR
为两圆的公切线，其中
Q
，
R
分别为
O
1
，
O
2
上的切点，
过
Q
且垂直于
QO
2
的直线与过
R<
/p>
且垂直于
RO
1
的直线交
于点
I
，
IN
垂直于
O
1
< br>O
2
，
垂足为
< br>N
，
IN
与
QR
交于点
M
。
< br>证明：
PM
，
RO
1
，
QO
2
三条直线交于一点。
3 / 9
证
如图，设
RO
1
与
QO
2
交于点
O
，
连
MO
，
PO
。
因为∠
O
1
QM
=<
/p>
∠
O
1
NM
=90
°，
所以
Q
，
共圆，有∠
QMI
< br>=
∠
QO
1
O
2
。
而∠
IQ
O
2
=90
°
=
∠
RQO
1
，
所以∠
IQM
=
∠
O
2
QO
1
，
故
△
QIM
∽△
QO
2
O
1
，得
QO
1
O
1
O
2
?<
/p>
QM
MI
I
R<
/p>
Q
M
O
1
N
O
P
O
2
O
1
，
N
，
M
四点
< br>
同理可证
RO
2
O
1
O
2
?
。因此
RM
MI
QM
QO
1
①
?
MR<
/p>
RO
2
因为
QO
1
∥
RO
2<
/p>
，所以有
O
1
O
QO
1
②
?
OR<
/p>
RO
2
由①，②得
MO
∥
QO
1
。
又由于
O
1
P
=
O
1
Q
，
PO
2<
/p>
=
RO
2
，
所以
O
1
O
O
1
Q
O
1
P
，
?
?
OR
RO
2
PO
< br>2
即
OP
∥
RO
2
。从而
MO
∥
QO
1
∥
< br>RO
2
∥
OP
< br>，故
M
，
O
，
P
三点共线，所以
PM
，
RO
1
，
QO
2
三条直线相交于同一点。
< br>
3.
塞瓦定理、梅涅劳斯定理及其应用
定理
1
<
/p>
(
塞瓦
(Ceva)
定理
):
设
P
，
Q
，
R
分别是△
ABC
的
< br>BC
，
CA
，
< br>AB
边上的点。若
AP
，
BQ
，
CR
相交
于一点
M
，则
<
/p>
A
BP
CQ
AR
?
?
?
1
。
PC
QA
RB
Q
M
B
P
C
证
如图，由三角形面积的性质，有
<
/p>
AR
S
?
AMC
BP
S
?
AM
B
CQ
S
?
B
MC
,
,
.
?
?
?
RB
S
?
BMC
PC
S
?
AMC
QA
< br>S
?
AMB
以上三式相乘，得<
/p>
4 / 9
BP
CQ
AR
?
?
?
1
.
PC
QA
RB
-
-
-
-
-
-
-
-
-
上一篇：民法典对婚姻彩礼的规定
下一篇：液晶DIY制作系列(2)—— 液晶屏篇