-
全等三角形问题中常见的辅助线的作法
(
含答案
)
总论：全等三角形问题最主要的
是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等
【三角形辅助线做法】
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.
等腰三角形“三线合一”法：
遇到等腰三角形，可作底边上
的高，利用“三线
合一”的性质解题
2.
倍长中线：
倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全
等三角形
3.
角平分线在三种添辅助线
4.
垂直平分线联结线段两端
5.
用“截长法”或“补短法”
：
遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，
6.
图形补全法：
有一个角为
60
度或
120
度的把
该角添线后构成等边三角形
7.
角度
数为
30
、
60
度的作垂线法：
遇到三角形中的一个角为
30
度或
60
度，可
以从角一边上
一点向角的另一边作垂线，目的是构成
30-60-90
的特殊
直角三角形，然后计
算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个
角。从而为证明全等
三角形创造边、角之间的相等条件。
8.
计算数值法：
遇到等腰直角三角形，正
方形时，或
30-60-90
的特殊直角三角形，或
40-60-80
的特殊直角三角形
,
常计算边的长度与角的度数，
这样可以得到在数值上相等的二
条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，
构造二条边之间的相等，二
个角之间的相等。
1)
遇到等腰三角形，可作底边上的
高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是
全等变换中的“对折”法
构造全等三角形
．
2)
遇到三角形的中线，倍长中线，
使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，
利用的思维模式是全等变换中的“旋转”
法
构造全等三角形
．
3)
遇到角平分线在三种添辅助线的
方法，
（
1
）
可以自角平分线上的某一点向角的两
边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“
对折”
，所考知识点常常是角平
分线的性质定理或逆定理．
（
2
）可以在角平分线上的一点作该角平分
线的垂线与角的
两边相交，形成一对全等三角形。
（
3
）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度
的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角
形。
4)
过图
形上某一点作特定的平分线，
构造全等三角形，
利用的思维模式
是全等变换
中的“平移”或“翻转折叠”
5)
截长法与补短法，
具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，
或是
将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这
种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
6)
已知某线段的垂直平分线，
那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点
作连线，出一对
全等三角形。
特殊方法：
在求有关三
角形的定值一类的问题时，
常把某点到原三角形各顶点的线段连
接起来，利用三角形面积的知识解答．
一、倍长中线（线段）造全等
例
1
、已知，如图△
ABC
< br>中，
AB=5
，
AC=3
，则中线
AD
的取值范围是
< br>_________.
解：延长
AD
< br>至
E
使
AE
＝
2AD
，连
BE
，由三角形性质知
E AE <
br>BG ，故 <
br>， <
br>，
ADB
AB-BE
<2AD
故
AD
的
取值范围是
1
A
B
D
C
例
2
、如图，△
ABC<
/p>
中，
E
、
F
分别在
AB
、
AC
上，
DE
⊥
D
F
，
D
是中点，试比较
BE+CF
与
EF
的
大小
.
解：
(
倍长中线
,
等腰三角形“三线合一”法
)
延长
FD
至
G
使
FG
＝
2EF
，连
BG
，
EG,
显然
BG
＝
FC
，
在
△
EFG
中，注意到
DE
⊥
DF
，由等腰三角形的三线合一知
EG
＝
EF
在△
BEG
中，由三角形性质知
EG
A
E
F
B
D
C
故：
EF
例
3
、如图，△
ABC
中，
BD=DC=AC
，
是
DC
的中点，求证：
AD
平分∠
BAE.
A
B
D
E
C<
/p>
解：延长
至
G
使
AG
＝
2AE
，连
，
DG,
显然
DG
＝
AC
，
∠
GDC=
∠
ACD
由于
DC=AC
∠
ADC=
∠
DAC
在△
ADB
与△
ADG
中，
BD
＝
AC=DG
AD
＝
AD
∠
ADB=
∠
ADC+
∠
ACD=
∠
ADC+
∠
GDC
＝∠
ADG
故△
≌△
ADG
，故有∠
BAD=
∠
DAG
，
即
AD
平分∠
BAE
应用：
1
、以
的两
边
AB
、
AC
为腰分别向外作等腰
Rt
?
ABD
和等
?
ABC
腰<
/p>
Rt
?
ACE
，
?
BAD
?
?
CAE
?
90
?
,
连接
DE
，
M
、
N
分别
是
BC
、
DE
的中点．探究：
AM
与
DE
的位置关系
及数量关系．
（
1
）如图①
当
?
ABC
为
直角三角形时，
AM
与
DE
的位置关系是
，
线段
AM
与
DE
的数量关系是
< br>
；
（
2
）
将图①中的等腰
Rt
?
ABD
绕点
< br>A
沿逆时针方向旋转
?
(0<<
/p>
?
<90)
后，
如图②所示，
（
1
）
< br>问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．
?
解：<
/p>
（
1
）
ED
?
2
AM
，
AM
?
ED
；
证明：延长
AM
到
G
，使
MG
?
AM
，连
BG
，则
ABGC
是平行四边形
∴
AC
?
BG
，
?
ABG
?
?
BAC
?
180
?
又∵
?
DAE
?
?
BAC<
/p>
?
180
?
<
/p>
∴
?
ABG
?<
/p>
?
DAE
再证
：
?
DAE
?
?
ABG
∴
DE
?
2
AM
，
?
BAG
?
?
EDA
延长
MN
交
DE
于
H
∵
?
BAG
?
?
DAH
?
90
?
∴
?
HDA
?
?
DAH
?
90
?
∴
AM
?
ED
（
2
）结论仍然成立．
证明：如图，延长
CA
至
F
，使
AC
?
FA
，
F
A
交
DE
于
点
P
，并连接
BF
∵
DA
?
BA
，
EA
?
AF
∴
?
BAF
?
90
?
?
?
DAF
?
?
EAD
∵在
?
FAB
和
?
EAD
中
?
FA
?
AE
?
?
?
BAF
?
?
EAD
?
BA
?
DA
?
B
M
C
G
D
F
P
A
N
E
B
A
D
N
H
E
M
C
∴
?
FA
B
?
?
EAD
（
SAS
）
∴
BF
?
DE
，
?
F
?
?<
/p>
AEN
∴
?<
/p>
FPD
?
?
F<
/p>
?
?
APE
?<
/p>
?
AEN
?
90
?
∴
FB<
/p>
?
DE
又∵<
/p>
CA
?
AF
，<
/p>
CM
?
MB
<
/p>
∴
AM
//
FB
，且
AM
?
∴
AM
?
DE
，
AM
?
二、截长补短
< br>
1
、如图，
?
ABC
中，
AB=2AC
，<
/p>
AD
平分
?
BA
C
，且
AD=BD
，求证：
CD
⊥
AC
解：
（截长法）在
AB
上取中点
< br>F
，连
FD
△
ADB
是等腰三角形，
F
是底
AB
中点，由三线合一知
DF
⊥
AB
，故∠
AFD
＝
90
°
△
ADF
≌△<
/p>
ADC
（
SAS
）
1
FB
2
1
DE
2
∠
ACD
＝∠
AFD
＝
90
°即：
CD
⊥
A
2
、如图，
< br>AD
∥
BC
，
< br>EA,EB
分别平分∠
DAB,
∠
CBA
，
CD
过点
E
，求证
;AB
＝
AD+BC
解：
（截长法
）在
AB
上取点
F
，使
AF
＝
AD
< br>，连
FE
△
ADE
≌△
AFE
（
SAS
）
A
D
E
B
C
∠
ADE
＝∠
AFE
，
∠
ADE+
∠
BCE
＝
180
°
∠
AFE
+
∠
BFE
＝
180
°
故∠
ECB
＝∠
EFB
△
FBE
≌△
CBE
（
AAS
）
故有
BF
＝
BC
从而
;AB
＝
AD+BC
A
B
Q
P
C
0
3
、如图，已知在△
ABC
内，
?
BAC<
/p>
?
60
，
?
C
?
40
，
P
，
Q
分
0
别在
BC
，
CA
上，并且
AP
，
BQ
分别是
?
BA
C
，
?
ABC
的角平分线。求证：
BQ+AQ=AB+BP
解：
（补短法
,
计算数值法）延长
AB
至
D
，使
BD
＝
BP
，连
DP
在等腰△
BPD
中，可得∠
BDP
＝
40
°
从而∠
BDP
＝
40
°＝∠
ACP
△
ADP
≌△
ACP
< br>（
ASA
）
故
AD
＝
AC
又∠
QBC
＝
40
°＝∠
QCB
故
BQ
＝
QC
BD
＝
BP
从而
BQ+AQ=AB+BP
4
、如图，在四边形
ABCD
中，
BC
＞
BA,AD
＝
CD
，
BD
平分
?
ABC
，<
/p>
求证：
?<
/p>
A
?
?
C
?
180
0
解：
（补短法）延长
BA
至
F
，使
BF
＝
BC
，连
FD
△
BDF
≌△
BDC
（
SAS
）
故∠
DFB
＝∠
DCB
，
FD
＝
DC
又
AD
＝
CD
故在等腰△
BFD
中
< br>
∠
DFB
＝∠
DAF
故有∠
BAD+
∠<
/p>
BCD
＝
180
°
5
、如
图在△
ABC
中，
AB
＞
AC
，∠
1
＝∠
2
，
P
< br>为
AD
上任意一点，求证
;AB
-AC
＞
PB-PC
A
A
D
B
C
< br>1
P
2
B
D
C
解：
（补短法）延长
AC
至
F
，使
AF
＝
AB
，连
PD
△
ABP
≌△
AFP
（
SA
S
）
故
BP
＝
PF
由三角形性质知
PB
－
PC
＝
PF
－
PC < CF
＝
AF
－
AC
＝
AB
－
AC
应用：
分析：
此题连接
AC
< br>，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等
边三角形的性质
通过证明三角形全等解决它们的问题。
解：有
BC
?
AD
?
AE
连接
AC
，过
E
作
EF
//
BC
并
AC
于
F
点
则可证
?
AEF
为等边三角形
即
AE
?<
/p>
EF
，
?
AEF
?
?
AFE
?
60
?
∴<
/p>
?
CFE
?
12
0
?
又∵
A
D
//
BC
，
?
B
?
60
?
∴
?
BAD
?
120
?
又∵
?
DEC
?
60
?
∴
?
AED
?
?
FEC
在
?
ADE
与
?
F
CE
中
?
E
AD
?
?
CFE
，
AE
?
EF
，
?
AED
?
?
FEC
B
A
D
E
F
C
A
D
∴
?
AD
E
?
?
FCE
∴
AD
?
FC
∴
BC
?<
/p>
AD
?
AE
形的性质解决。
三、平移变换
E
B
C
点评：
此题的解法比较新颖，
把梯形的问题转化成等边三角形的问题，
然后利用全等三角
例
1 AD
为△<
/p>
ABC
的角平分线，直线
MN
⊥
AD
于
A.E
为
MN
上一点，△
AB
C
周长记为
P
A
，
△
EBC
周长记为
P
B
.
求证
< br>P
B
＞
P
A
.
解：
（镜面反射法）延长
BA
至
F
，使
AF
＝
AC
，连
FE
AD
为
△
ABC
的角平分线
,
MN
⊥
AD
知∠
FAE
＝∠
CAE
故有
△
FA
E
≌△
CAE
（
SAS
）
故
EF
＝
CE
在△
BEF
中有：
BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC
从而<
/p>
P
B
=BE+CE+BC>BF+BC=
BA+AC+BC=
P
A
例
2
如图
，在△
ABC
的边上取两点
D
、
E
，且
BD=CE<
/p>
，求证：
AB+AC>AD+AE.
证
明：取
BC
中点
M,
< br>连
AM
并延长至
N,
使
MN=AM,
连
BN,
DN.
∵
BD=CE,
∴
DM=EM,
∴△
DMN
≌△
EMA(SAS),
∴
DN=AE,
同理
BN=CA.
延长
ND
交
AB
于
P,
则
BN+BP>PN,DP+PA>AD,
相加得
BN+BP+DP+PA>PN+AD,
各减去
DP,
得
BN+AB
>DN+AD,
∴
AB+AC>AD+AE
< br>。
四、借助角平分线造全等
1
、如图，已知在△
ABC
中，∠
B=60
°，△
ABC
的角平
分线
AD,CE
相交于点
O
，求证：
OE=OD
，
D
C+AE =AC
证明
?
(
角平分线在三种添辅助线
,
计算数值法
)
∠
B=60
度
,
则∠
BAC+<
/p>
∠
BCA=120
度
;
AD,CE
均为角平分线
,
则∠
OAC+
∠
OCA=60
度
=
∠
AOE=
∠
COD;
∠
AOC=120
度
.
在
AC
上截取线段
AF=AE,<
/p>
连接
OF.
B
又
AO=AO;
∠
OAE=
∠
OAF
.
则⊿
OAE
≌
ΔOAF(SAS),
OE=OF;AE=AF;
< br>∠
AOF=
∠
AOE=60
度
.
A
E
O
D
C
则∠
COF=
∠
AOC-
∠
AOF=60
度
=
∠
COD;
又
CO=CO;
∠
OCD=
∠<
/p>
OCF.
故⊿
OCD
< br>≌
ΔOCF(SAS),
OD=OF;CD=CF.
OE=OD
DC+AE=CF+AF=AC.
2
、如图，△
ABC
中，
AD
平分∠
BAC
，
DG
⊥
BC
且平分<
/p>
BC
，
DE
⊥<
/p>
AB
于
E
，
DF
⊥
AC
于
F.
（
1
）说
明
BE=CF
的理由；
（
2
）如果
AB=
a
，
AC=
b
，求
AE
、
BE
的长
.
解：
(
垂直平
分线联结线段两端
)
连接
BD
，
DC
DG
垂直平分
BC
，故
BD
＝
DC
由于
AD
平分∠
BAC
，
DE
⊥
AB
于
E
，
DF
⊥
AC
于
F
，故有
ED
＝
DF
故
RT
△
DBE
≌
RT
△
DFC
（
HL
）
故有
BE
＝
CF
。
AB+AC
＝
2AE
AE
＝（
a+b
）
/2
BE=(a-b)/2
应用：
1
、
如图①，
OP
是∠
MON
的平分线，请你利用该图形画一对以
OP
所在直线为
对称轴的全
等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（
1
）
< br>如图②，
在△
ABC
中，
∠
ACB
是直角，
∠
B
=60
°，
AD
、
CE
分别是∠
< br>BAC
、
∠
BCA
的平分线，
AD
、
CE
相交于点
F
。请你判断并写出
FE
与
FD
之间的数量关系
；
（
2
）如
图③，在△
ABC
中，如果∠
ACB<
/p>
不是直角，而
(1)
中的其它条件不变，
请问，你
在
(1)
中所得结论是否仍然
成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
B
B
M
E
E
D
F
F
D
P
O
C
A
A
N
C
图①
图③
图②
<
/p>
解：
（
1
）
FE
与
FD
之间的
数量关系为
FE
?
FD
（
2
）答：
（
1
）中的结论
FE
?
FD
仍然成立。
<
/p>
(
第
23
题图<
/p>
)
A
E
B
G
C
F
D
证法一：
如图
1
，在
AC
上截取
A
G
?
AE
，连结
FG
∵
?
1
?
?
2
，
AF
为公共边，
∴
?
AEF
?
?
AGF
∴
?
AFE
?
?
AFG
，
FE
?
< br>FG
∵
?
B
?
60
?
，
AD
、
CE
分别是
?
BAC
< br>、
?
BCA
的平分线
∴
?
2
?
?
3
?
60
?
∴
?
AFE
?
?
CFD
?
?
AFG
< br>?
60
?
∴
?
CFG
?
60
?
∵
?
3
?
?
4
及
FC
为公共边
∴
?
CFG
?
?
CFD
∴
FG
?
FD
∴
FE
?
FD
证法二：
如图
< br>2
，过点
F
分别作
FG
?
AB
于点
G
，
FH
?
BC
于点
H
∵
?
B
?
60
?
，
AD
、
CE
分别是
?
BAC
、
?
BCA
的平分线
∴可得
?<
/p>
2
?
?
3
?
60
?
，
F
是
?
ABC
的内心
∴
?
GEF
?
60
?
?
?
1
，
FH
?
FG
又∵
?
HDF
?
?
B
?
?
1
∴
?
< br>GEF
?
?
HDF
∴可证
?
EGF
?
?
DHF
∴
FE
?
FD
五、旋转
例
1
正方形
ABCD
中，
E
为
BC
上的一点，
F
为
CD
上的一点，
BE+DF=EF
< br>，求∠
EAF
的度数
.
A
E
1
2
图
2
G
F
4
3
C
D
H
B
A
E
F
1
2
G
图
1
3
C
4
D
B
证明：将三角形
ADF
绕点
A
顺时针旋转
90
度，至三角形
< br>A
ABG
则
GE=GB+BE=DF+BE=EF
又
AE=AE
，
AF=AG
，
所以三角形
AE
F
全等于
AEG
B
< br>所以∠
EAF=
∠
GAE=
∠
BAE+
∠
GA
B=
∠
BAE+
∠
DAF
又∠
EAF+
∠
BAE+
∠
DAF=90
所以∠
EAF=45
度
D
F
E
C
例
2 D
为等腰
Rt
?
AB
C
斜边
AB
的中点，
< br>DM
⊥
DN,DM,DN
分别交
BC,CA
于点
E,F
。
(1)
当
?
MDN
绕点
D
转动时，求证
DE=DF
。
(2)
若
AB=2
，求四边形
DECF
的面积。
<
/p>
解：
(
计算数值法
)
（
1
）连接
DC
，
D
为等腰
Rt
?
ABC
斜边
AB
的中点，故有
CD
⊥
AB
，
CD
＝
DA
CD
平分
∠
BCA
＝
9
0
°，∠
E
CD
＝∠
DCA
＝
45
°
由于
DM
⊥
DN
，有∠
EDN
＝
9
0
°
< br>
由于
CD
⊥
AB
，有∠
CD
A
＝
9
0
°
从而∠
CDE
＝∠
FD
A
＝
故有△
CDE
≌△
ADF
（
ASA
）
故有
DE=DF
（
< br>2
）
S
△
ABC
=2,
S
四
DECF
= S
△
ACD
=1
例
3
如图，
?
ABC
是边长为
3
的等边三角形，
?
BD
C
是等腰三角形，且
?
BDC
?
120
0
，
以
D
为顶点做一个
60
0
角，
使其两边分别交
AB
于点
M
，
交
AC
于点
N
，
连接
MN
，
则
?
AMN
的周长为
；
解：
(
图形
补全法
,
“截长法”或“补短法”
,
计算数值法
) AC
的延长线与
BD
的延长线交
于点
F
，在线段
CF
上取点
E
，使
CE
＝
BM
∵△
ABC
为等边三角
形，△
BCD
为等腰三角形，且∠
BD
C=120°
，
∴∠
MBD=
∠
MBC+
∠
DBC=60°
+30°
=90°
，
∠
DCE=180°
-
∠
ACD=180°
-
∠
ABD=90°
，
又∵
BM=CE
，
BD=CD
，
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