(完整版)全等三角形经典题型——辅助线问题

2021年2月14日发(作者：blaupunkt)

全等三角形问题中常见的辅助线的作法

(

含答案

)

总论：全等三角形问题最主要的 是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等

【三角形辅助线做法】

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.

等腰三角形“三线合一”法：

遇到等腰三角形，可作底边上 的高，利用“三线

合一”的性质解题

2.

倍长中线：

倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全 等三角形

3.

角平分线在三种添辅助线

4.

垂直平分线联结线段两端

5.

用“截长法”或“补短法”

：

< p>

遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，

6.

图形补全法：

有一个角为

60

度或

120

度的把 该角添线后构成等边三角形

7.

角度 数为

30

、

60

度的作垂线法：

遇到三角形中的一个角为

30

度或

60

度，可

以从角一边上 一点向角的另一边作垂线，目的是构成

30-60-90

的特殊 直角三角形，然后计

算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个 角。从而为证明全等

三角形创造边、角之间的相等条件。

8.

计算数值法：

遇到等腰直角三角形，正 方形时，或

30-60-90

的特殊直角三角形，或

< p>
40-60-80

的特殊直角三角形

,

< p>
常计算边的长度与角的度数，

这样可以得到在数值上相等的二

条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形， 构造二条边之间的相等，二

个角之间的相等。

1)

遇到等腰三角形，可作底边上的 高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是

全等变换中的“对折”法

构造全等三角形

．

2)

遇到三角形的中线，倍长中线， 使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，

利用的思维模式是全等变换中的“旋转”

法

构造全等三角形

．

3)

遇到角平分线在三种添辅助线的 方法，

（

1

）

可以自角平分线上的某一点向角的两

边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“ 对折”

，所考知识点常常是角平

分线的性质定理或逆定理．

（

2

）可以在角平分线上的一点作该角平分 线的垂线与角的

两边相交，形成一对全等三角形。

（

< p>
3

）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度

的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角

形。

4)

过图 形上某一点作特定的平分线，

构造全等三角形，

利用的思维模式 是全等变换

中的“平移”或“翻转折叠”

5)

截长法与补短法，

具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，

或是

将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这

种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

6)

已知某线段的垂直平分线，

那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点

作连线，出一对 全等三角形。

特殊方法：

在求有关三 角形的定值一类的问题时，

常把某点到原三角形各顶点的线段连

接起来，利用三角形面积的知识解答．

一、倍长中线（线段）造全等

例

1

、已知，如图△

ABC

< br>中，

AB=5

，

AC=3

，则中线

AD

的取值范围是

< br>_________.

解：延长

AD

< br>至

E

使

AE

＝

2AD

，连

BE

，由三角形性质知

AB-BE <2AD

故

AD

的 取值范围是

1

A

B

D

C

< p>
例

2

、如图，△

ABC< /p>

中，

E

、

F

分别在

AB

、

AC

上，

DE

⊥

D F

，

D

是中点，试比较

BE+CF

与

EF

的

大小

.

解：

(

倍长中线

,

等腰三角形“三线合一”法

)

延长

FD

至

G

使

FG

＝

2EF

，连

BG

，

EG,

显然

BG

＝

FC

，

在 △

EFG

中，注意到

DE

⊥

DF

，由等腰三角形的三线合一知

EG

＝

EF

在△

BEG

中，由三角形性质知

EG

A

E

F

B

D

C

故：

EF

例

3

、如图，△

ABC

中，

BD=DC=AC

，

E

是

DC

的中点，求证：

AD

平分∠

BAE.

A

B

D

E

C< /p>

解：延长

AE

至

G

使

AG

＝

2AE

，连

< br>BG

，

DG,

显然

< p>
DG

＝

AC

，

< p>

∠

GDC=

∠

ACD

由于

DC=AC

，故

∠

ADC=

∠

DAC

在△

ADB

与△

ADG

中，

BD

＝

AC=DG

< br>，

AD

＝

AD

< br>，

∠

ADB=

∠

ADC+

∠

ACD=

∠

ADC+

∠

GDC

＝∠

ADG

故△

ADB

≌△

ADG

，故有∠

BAD=

∠

DAG

， 即

AD

平分∠

BAE

应用：

1

、以

的两 边

AB

、

AC

为腰分别向外作等腰

Rt

?

ABD

和等

?

ABC

腰< /p>

Rt

?

ACE

，

?

BAD

?

?

CAE

?

90

?

,

连接

DE

，

M

、

N

分别 是

BC

、

DE

的中点．探究：

AM

与

DE

< p>
的位置关系

及数量关系．

（

1

）如图①

当

?

ABC

为 直角三角形时，

AM

与

DE

< p>
的位置关系是

，

线段

AM

与

DE

的数量关系是

< br>

；

（

2

）

将图①中的等腰

Rt

?

ABD

绕点

< br>A

沿逆时针方向旋转

?

(0<< /p>

?

<90)

后，

如图②所示，

（

1

）

< br>问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

?

解：< /p>

（

1

）

ED

?

2

AM

，

AM

?

ED

；

证明：延长

AM

到

G

，使

MG

?

AM

，连

BG

，则

ABGC

是平行四边形

∴

AC

?

BG

，

?

ABG

?

?

BAC

?

180

?

又∵

?

DAE

?

?

BAC< /p>

?

180

?

< /p>

∴

?

ABG

?< /p>

?

DAE

再证 ：

?

DAE

?

?

ABG

∴

DE

?

2

AM

，

?

BAG

?

?

EDA

延长

MN

交

DE

于

H

∵

?

BAG

?

?

DAH

?

90

?

∴

?

HDA

?

?

DAH

?

90

?

∴

AM

?

ED

（

2

）结论仍然成立．

证明：如图，延长

CA

至

F

，使

AC

?

FA

，

F

A

交

DE

于 点

P

，并连接

BF

∵

DA

?

BA

，

EA

?

AF

∴

?

BAF

?

90

?

?

?

DAF

?

?

EAD

∵在

?

FAB

和

?

EAD

中

?

FA

?

AE

?

?

?

BAF

?

?

EAD

?

BA

?

DA

?

B

M

C

G

D

F

P

A

N

E

B

A

D

N

H

E

M

C

∴

?

FA B

?

?

EAD

（

SAS

）

∴

BF

?

DE

，

?

F

?

?< /p>

AEN

∴

?< /p>

FPD

?

?

F< /p>

?

?

APE

?< /p>

?

AEN

?

90

?

∴

FB< /p>

?

DE

又∵< /p>

CA

?

AF

，< /p>

CM

?

MB

< /p>

∴

AM

//

FB

，且

AM

?

∴

AM

?

DE

，

AM

?

二、截长补短

< br>

1

、如图，

?

ABC

中，

AB=2AC

，< /p>

AD

平分

?

BA C

，且

AD=BD

，求证：

< p>
CD

⊥

AC

解：

（截长法）在

AB

上取中点

< br>F

，连

FD

△

ADB

是等腰三角形，

F

是底

AB

中点，由三线合一知

< p>
DF

⊥

AB

，故∠

AFD

＝

90

°

△

ADF

≌△< /p>

ADC

（

SAS

）

1

FB

2

1

DE

2

∠

ACD

＝∠

AFD

＝

90

°即：

CD

⊥

A

2

、如图，

< br>AD

∥

BC

，

< br>EA,EB

分别平分∠

DAB,

∠

CBA

，

CD

过点

E

，求证

;AB

＝

AD+BC

解：

（截长法 ）在

AB

上取点

F

，使

AF

＝

AD

< br>，连

FE

△

ADE

< p>
≌△

AFE

（

SAS

）

A

D

E

B

C

∠

ADE

＝∠

AFE

，

∠

ADE+

∠

BCE

＝

180

°

∠

AFE +

∠

BFE

＝

180

°

故∠

ECB

＝∠

EFB

△

FBE

≌△

CBE

（

AAS

）

故有

BF

＝

BC

从而

;AB

＝

AD+BC

A

B

Q

P

C

0

3

、如图，已知在△

ABC

内，

?

BAC< /p>

?

60

，

?

C

?

40

，

P

，

Q

分

< p>
0

别在

BC

，

< p>
CA

上，并且

AP

，

BQ

分别是

?

BA C

，

?

ABC

的角平分线。求证：

BQ+AQ=AB+BP

解：

（补短法

,

计算数值法）延长

AB

至

D

，使

BD

＝

BP

，连

DP

在等腰△

BPD

中，可得∠

BDP

＝

40

°

< p>
从而∠

BDP

＝

40

°＝∠

ACP

△

ADP

≌△

ACP

< br>（

ASA

）

故

AD

＝

AC

又∠

QBC

＝

40

°＝∠

QCB

故

BQ

＝

QC

BD

＝

BP

从而

BQ+AQ=AB+BP

4

、如图，在四边形

ABCD

中，

BC

＞

BA,AD

＝

CD

，

BD

平分

?

ABC

，< /p>

求证：

?< /p>

A

?

?

C

?

180

0

解：

（补短法）延长

BA

至

F

，使

BF

＝

BC

，连

FD

△

BDF

≌△

BDC

（

SAS

）

故∠

DFB

＝∠

DCB

，

FD

＝

DC

又

AD

＝

CD

故在等腰△

BFD

中

< br>

∠

DFB

＝∠

DAF

故有∠

BAD+

∠< /p>

BCD

＝

180

°

5

、如 图在△

ABC

中，

AB

＞

AC

，∠

1

＝∠

2

，

P

< br>为

AD

上任意一点，求证

;AB -AC

＞

PB-PC

A

A

D

B

C

< br>1

P

2

B

D

C

解：

（补短法）延长

AC

至

F

，使

AF

＝

AB

< p>
，连

PD

△

ABP

≌△

AFP

（

SA S

）

故

BP

＝

PF

由三角形性质知

PB

－

PC

＝

PF

－

PC < CF

＝

AF

－

AC

＝

AB

－

AC

应用：

分析：

此题连接

AC

< br>，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等

边三角形的性质 通过证明三角形全等解决它们的问题。

解：有

BC

?

AD

?

AE

连接

AC

，过

E

作

EF

//

BC

并

AC

< p>
于

F

点

则可证

?

AEF

为等边三角形

即

AE

?< /p>

EF

，

?

AEF

?

?

AFE

?

60

?

∴< /p>

?

CFE

?

12 0

?

又∵

A D

//

BC

，

?

B

?

60

?

∴

?

BAD

?

120

?

又∵

?

DEC

?

60

?

∴

?

AED

?

?

FEC

在

?

ADE

与

?

F CE

中

?

E AD

?

?

CFE

，

AE

?

EF

，

?

AED

?

?

FEC

B

A

D

E

F

C

A

D

∴

?

AD E

?

?

FCE

∴

AD

?

FC

∴

BC

?< /p>

AD

?

AE

形的性质解决。

三、平移变换

E

B

C

点评：

此题的解法比较新颖，

把梯形的问题转化成等边三角形的问题，

然后利用全等三角

例

1 AD

为△< /p>

ABC

的角平分线，直线

MN

< p>
⊥

AD

于

A.E

为

MN

上一点，△

AB C

周长记为

P

A

，

△

EBC

周长记为

P

B

.

求证

< br>P

B

＞

P

A

.

解：

（镜面反射法）延长

BA

至

F

，使

AF

＝

AC

，连

FE

AD

为 △

ABC

的角平分线

, MN

⊥

AD

知∠

FAE

＝∠

CAE

故有

△

FA E

≌△

CAE

（

SAS

）

故

EF

＝

CE

在△

BEF

中有：

BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC

从而< /p>

P

B

=BE+CE+BC>BF+BC= BA+AC+BC=

P

A

例

2

如图 ，在△

ABC

的边上取两点

D

、

E

，且

BD=CE< /p>

，求证：

AB+AC>AD+AE.

证 明：取

BC

中点

M,

< br>连

AM

并延长至

N,

< p>
使

MN=AM,

连

BN, DN.

∵

BD=CE,

∴

DM=EM,

∴△

DMN

≌△

EMA(SAS),

∴

DN=AE,

同理

BN=CA.

延长

ND

交

AB

于

P,

则

BN+BP>PN,DP+PA>AD,

相加得

BN+BP+DP+PA>PN+AD,

各减去

DP,

得

BN+AB >DN+AD,

∴

AB+AC>AD+AE

< br>。

四、借助角平分线造全等

1

、如图，已知在△

ABC

中，∠

B=60

°，△

ABC

的角平 分线

AD,CE

相交于点

O

< p>
，求证：

OE=OD

，

D C+AE =AC

证明

?

< p>
(

角平分线在三种添辅助线

,

计算数值法

)

∠

B=60

度

,

则∠

BAC+< /p>

∠

BCA=120

度

;

AD,CE

均为角平分线

,

则∠

OAC+

∠

OCA=60

度

=

∠

AOE=

∠

COD;

∠

AOC=120

度

.

在

AC

上截取线段

AF=AE,< /p>

连接

OF.

B

又

AO=AO;

∠

OAE=

< p>
∠

OAF

.

则⊿

OAE

≌

ΔOAF(SAS),

OE=OF;AE=AF;

< br>∠

AOF=

∠

AOE=60

度

.

A

E

O

D

C

< p>
则∠

COF=

∠

AOC-

∠

AOF=60

度

=

∠

COD;

又

CO=CO;

∠

OCD=

∠< /p>

OCF.

故⊿

OCD

< br>≌

ΔOCF(SAS),

OD=OF;CD=CF.

OE=OD

DC+AE=CF+AF=AC.

2

、如图，△

ABC

中，

AD

平分∠

BAC

，

DG

⊥

BC

且平分< /p>

BC

，

DE

⊥< /p>

AB

于

E

，

DF

⊥

AC

于

F.

（

1

）说 明

BE=CF

的理由；

（

2

）如果

AB=

a

，

AC=

b

，求

AE

、

BE

的长

.

解：

(

垂直平 分线联结线段两端

)

连接

BD

，

DC

DG

垂直平分

BC

，故

BD

＝

DC

由于

AD

平分∠

BAC

，

DE

< p>
⊥

AB

于

E

，

DF

⊥

AC

于

F

，故有

ED

＝

DF

故

RT

△

DBE

≌

RT

△

DFC

（

HL

）

故有

BE

＝

CF

。

AB+AC

＝

2AE

AE

＝（

a+b

）

< p>
/2

BE=(a-b)/2

应用：

1

、 如图①，

OP

是∠

MON

的平分线，请你利用该图形画一对以

OP

所在直线为 对称轴的全

等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（

1

）

< br>如图②，

在△

ABC

中，

∠

ACB

是直角，

∠

B

=60

°，

AD

、

CE

分别是∠

< br>BAC

、

∠

BCA

的平分线，

AD

、

CE

相交于点

F

。请你判断并写出

FE

与

FD

之间的数量关系 ；

（

2

）如 图③，在△

ABC

中，如果∠

ACB< /p>

不是直角，而

(1)

中的其它条件不变， 请问，你

在

(1)

中所得结论是否仍然 成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

B

B

M

E

E

D

F

F

D

P

O

C

A

A

N

C

图①

图③

图②

< /p>

解：

（

1

）

FE

与

FD

之间的 数量关系为

FE

?

FD

（

2

）答：

（

1

）中的结论

FE

?

FD

仍然成立。

< /p>

(

第

23

题图< /p>

)

A

E

B

G

C

F

D

证法一：

如图

1

，在

AC

上截取

A G

?

AE

，连结

FG

∵

?

1

?

?

2

，

AF

为公共边，

∴

?

AEF

?

?

AGF

∴

?

AFE

?

?

AFG

，

FE

?

< br>FG

∵

?

B

?

60

?

，

AD

、

CE

分别是

?

BAC

< br>、

?

BCA

的平分线

< p>

∴

?

2

?

?

3

?

60

?

∴

?

AFE

?

?

CFD

?

?

AFG

< br>?

60

?

∴

?

CFG

?

60

?

∵

?

3

?

?

4

及

FC

为公共边

∴

?

CFG

?

?

CFD

∴

FG

?

FD

∴

FE

?

FD

证法二：

如图

< br>2

，过点

F

分别作

FG

?

AB

于点

< p>
G

，

FH

?

BC

于点

H

< p>
∵

?

B

?

60

?

，

AD

、

CE

分别是

?

BAC

、

?

BCA

的平分线

∴可得

?< /p>

2

?

?

3

?

60

?

，

F

是

?

ABC

的内心

∴

?

GEF

?

60

?

?

?

1

，

< p>
FH

?

FG

< p>
又∵

?

HDF

?

?

B

?

?

1

∴

?

< br>GEF

?

?

HDF

∴可证

?

EGF

?

?

DHF

∴

FE

?

< p>
FD

五、旋转

例

1

正方形

ABCD

中，

E

为

BC

上的一点，

F

为

CD

上的一点，

BE+DF=EF

< br>，求∠

EAF

的度数

.

A

E

1

2

图

2

G

F

4

3

C

D

H

B

A

E

F

1

2

G

图

1

3

C

4

D

B

证明：将三角形

ADF

绕点

A

顺时针旋转

90

度，至三角形

< br>A

ABG

则

GE=GB+BE=DF+BE=EF

又

AE=AE

，

AF=AG

，

所以三角形

AE F

全等于

AEG

B

< br>所以∠

EAF=

∠

GAE=

∠

BAE+

∠

GA B=

∠

BAE+

∠

DAF

又∠

EAF+

∠

BAE+

∠

DAF=90

所以∠

EAF=45

度

D

F

E

C

例

2 D

为等腰

Rt

?

AB C

斜边

AB

的中点，

< br>DM

⊥

DN,DM,DN

分别交

BC,CA

于点

E,F

。

(1)

当

?

MDN

绕点

D

转动时，求证

DE=DF

。

(2)

若

AB=2

，求四边形

DECF

的面积。

< /p>

解：

(

计算数值法

)

（

1

）连接

DC

，

D

为等腰

Rt

?

ABC

斜边

AB

的中点，故有

CD

⊥

AB

，

CD

＝

DA

CD

平分

∠

BCA

＝

9

0

°，∠

E

CD

＝∠

DCA

＝

45

°

由于

DM

⊥

DN

，有∠

EDN

＝

9

0

°

< br>

由于

CD

⊥

AB

，有∠

CD

A

< p>
＝

9

0

°

从而∠

CDE

＝∠

FD

A

＝

< p>
故有△

CDE

≌△

ADF

（

ASA

）

故有

DE=DF

（

< br>2

）

S

△

ABC

=2, S

四

DECF

= S

△

ACD

=1

例

3

如图，

?

ABC

是边长为

< p>
3

的等边三角形，

?

BD C

是等腰三角形，且

?

BDC

?

120

0

，

以

D

为顶点做一个

60

0

角，

使其两边分别交

AB

于点

M

，

交

AC

于点

N

，

连接

MN

，

则

?

AMN

的周长为

；

解：

(

图形 补全法

,

“截长法”或“补短法”

,

计算数值法

) AC

的延长线与

BD

的延长线交

于点

F

，在线段

CF

上取点

E

，使

CE

＝

BM

∵△

ABC

为等边三角 形，△

BCD

为等腰三角形，且∠

BD C=120°

，

∴∠

MBD=

∠

MBC+

∠

DBC=60°

+30°

=90°

< p>
，

∠

DCE=180°

-

∠

ACD=180°

-

∠

ABD=90°

，

又∵

BM=CE

，

BD=CD

，