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贝塞尔函数
（
Bessel
< br>functions
）是数学上的一类
特殊函数
的总称。一般贝塞尔函数是
下列
常微分方程
（一般称为
贝塞尔方程
）的标准解函数
y
(
x
)
：
这类方程的解是
无法用
初等函数
系统地表示的。
贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数
α
变化而变化
（相应地，
α
被称为其
对应贝塞
尔函数的阶数）。实际应用中最常见的情形为
α
是
整数
n
，对应解称
为
n
阶贝塞尔函数
。
尽管在上述微分方程中，
α
本身的正负号不改变方程的形式
，
但实际应用中仍习惯针对
α
和
?
α
定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带
来好处，比如消除了函数在
α
=0
点的不光滑
性）。
历史
贝塞尔函数的几个正整数阶特例
早在
18
世纪
中叶就由
瑞士数学家丹尼尔·伯努利
在研究悬
链振动时提出了，
当时引起了数学界的兴趣。
丹尼尔
的叔叔
雅各布·伯努利
，
欧拉
、
拉格朗
日
等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重
要贡献。
1817
年
，
德国
数学家
贝塞尔
在研究
开
普勒
提出的三体
引力
系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架，
后人以他的名字来命名了这种函数
[1]
[2]
。
现实背景和应用范围
贝塞尔方程是在
柱坐标
或
球坐标
下使用
分离变量法
求解
拉普拉斯方程
和
亥姆霍兹方程
时得
< br>到的（在圆柱域问题中得到的是整阶形式
α
=
n
；
在球形域问题中得到的是半奇数阶形式
α
=
n
+
?）
，
因此贝塞尔函数在
波动问题
以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，
最典型的问题有：
●
在圆柱形
波导
中的
电磁波
传播问题；
圆柱体中的
热传导
问题；
●
●
圆形（或环形）
薄膜
的
振动
模态
分析问题；
在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。譬如在
信号处理
中的
调频合成
（
FM syn
thesis
）
或
凯泽窗
（
Kaiser
window
）的定义中，都要用到贝塞尔函数。
定义
贝塞尔方程是一个二阶常微分
方程，
必然存在两个
线性无关
的解。<
/p>
针对各种具体情
况，人们提出了表示这些解的不同形式。下面分别
介绍这些不同类型的贝塞尔函数。
第一类贝塞尔函数
图
2
0
阶、
1
阶和
2
阶第
一类贝塞尔函数（贝塞尔
J
函数）曲线
（
在下文中，第一类贝塞尔函数有时会简称为“
J
函数”，敬请读者留意。
）
第一类
α
阶贝塞尔函数
J
α
(
x
)
是贝塞尔方程当
α
为整数或
α
非负时的解，须满足在
x
=
0
时
有限。
这样选取和处理
J
α<
/p>
的原因见本主题下面的
性质介绍
；另一种
定义方法是通过它在
x
=
0
点的
泰勒级数
展开（或者更一般地通过
幂级数
展开，这适用于
α
为非整数）：
上式中
Γ
(
z
)
为
Γ
函数
（它可视为
阶乘
函数向非整型
自变量
的推广）。第一类贝塞尔函数的
形状大致与按<
/p>
速率衰减的
正弦
或
余弦
函数类似
（参见本页下面对它们渐进形式的介
绍）
，
但它们的零点并不是周期性的，
另外随着
x
的增加，
零点
的间隔会越来越接近周期性。
图
2
所示
为
0
阶、
1
阶
和
2
阶第一类贝塞尔函数
J
α
(
x
)
的曲线（
α
=
0,1,2
）。
如果
α
不为整数，则
J
α
(
x
)
和
J
?
< br>α
(
x
)
线性无关，可以构成微分方程的一个
解系
。反之若
α
是整数，那么上面两个函数之间满足如下关系：
于是两函数之间已不满足线性无关条件。
为寻找在此情况下微分方程与
J
α
(
x
)
线性无关的另
< br>一解，需要定义
第二类贝塞尔函数
，定义过程将在后面的
小节中给出。
贝塞尔积分
α
为整数时贝塞尔函数的另一种定义方法由下面的积分给出：
（
α
为任意实数时的表达式见
参考文献
[2]
第
360
页）
这个积分式就是贝塞尔当年提出的定义，
而且他还从该定义中推出了函数的
一些性质。
另一
种积分表达式为：
和超几何级数的关系
贝塞尔函数可以用
超几何级数
表示成下面的形式：<
/p>
第二类贝塞尔函数（诺依曼函数）
图
3
0
阶、
1
阶和
2
阶第
二类贝塞尔函数（贝塞尔
Y
函数）曲线图
（
在下文中，第二类贝塞尔函数有时会简称为“
Y
函数”，敬
请读者留意。
）
第二类贝塞尔函数<
/p>
也许比第一类更为常用。
这种函数通常
用
Y
α
(
x<
/p>
)
表示，它们是贝塞尔方
程的另一类解。
x
= 0
点是第二类贝塞尔函数的（无穷）奇点。
Y
α
(
x
)
又被称为
诺依曼函数
（
Neumann function
），有时也记作
N
α
(
x
)<
/p>
。它和
J
α
(<
/p>
x
)
存在如
下关
系：
若
α
为整数（此时上式是
0/0
型
未定式
）则取右端的
极限
值。
从前面对
J
< br>α
(
x
)
的定义可以知道，
若
α
不为整数时，
定义
Y
α
是多
余的
（因为贝塞尔方程的两
个线性无关解都已经用
J
函数表示出来了）。另一方面，若
α
为整数，
Y
α
便可以和
J
α
构成
贝塞尔方
程的一个解系。与
J
函数类似，
Y
函数正负整数阶之间也存在如下关系：
J
α
(
x
)
和
Y
α
(
x
)
均为沿负实半轴
割开的
复平面
内关于
x
的
全纯函数
。当
α
为整数时，复平面
内不存在贝塞尔函数的
支点
，
所以
J
和
Y
均为
x
的<
/p>
整函数
。
若将
x
固定，
则贝塞尔函数是
α
的整函数。图
3
所示为<
/p>
0
阶、
1
阶和<
/p>
2
阶第二类贝塞尔函数
Y
α
(
x
)
的曲线（
α
=
0,1,2
）：
汉开尔函数
贝塞尔方程的另外一对重
要的线性无关解称为
汉开尔
函数
（
Hankel functions
）
H<
/p>
α
(
x
)
和
H
α
(2)
(
x
)
，分别定义为
：
(1)
其中
i
为<
/p>
虚数
单位
。以上的线性组合也成为
第三类贝塞尔函数
；它们描述了二维
波
动方程
的内行柱面波解和外行柱面波解（
行
与在
行动
中同音）。
利用前面推出的关系可将汉开尔函数表示成：
若
α
为整数，则须对等号右边取极限值。另外，无论
α
< br>是不是整数，下面的关系都成立：
虚宗量的贝塞尔函数（修正贝塞尔函数）
贝塞尔函数当宗量
x
为
复数
时同样成立，并且当
x
为纯
虚数
时
能得到一类重要情形——它
们被称为第一类和第二类
虚宗量的贝
塞尔函数
，或
修正贝塞尔函数
（有时还
称为
双曲型贝
塞尔函数
），定义为：<
/p>
以上形式保证了当宗量
x
为
实数
时，函数值亦为实数。这两个函数构成了下
列
修正贝塞尔
方程
（与一般贝塞尔方程
的差别仅在两个正负号）的一个相互线性无关的解系：
修正贝塞尔函数与一般贝塞尔函数的差别在于：
一般贝塞尔函数随实
宗量是振荡型的，
而修
正贝塞尔函数
I
α
和
K
α
则分别是
指数增长
和
指数衰减
型的。和第一类贝塞尔函数
J
α
一样，
函数
I
α
当
α
>
0
时在
x
=0
点等于
0
，
当
α
=0
时在
x
=0
点趋于有限值。
类似地，
K
α
在
x
=0
点
发散（趋于无穷）。
图
4-1
第
一类修正贝塞尔函数
I
α
(
x
)
对实自变
图
4-2
第二类修正贝塞尔函数
K
α
(
x
)
对实自
量的曲线（
α
= 0,1,2
）
变量的曲线（
α
=
0,1,2
）
复数宗量的贝塞尔函数之零值
：
J
α
(
x
)
=
0
的解在
α
≥
-1
的情况下
都是实数；阶数
-2>
α
>-1
的情况下，除了实数之外还有且仅有一对共轭的纯虚数解（
G.N
Watson
参考文献
[5]
）。<
/p>
球贝塞尔函数
图
5-1
第一类球贝塞尔函数
j
n
(
x
)
曲线（
n
= 0,1,2
）
图
5-2
第
二类球贝塞尔函数
y
n
(
x
)
曲线（
n
= 0,1,2
）
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