弹性力学发展史及实际中的解题方法

2021年2月13日发(作者：做好准备)

弹性力学

弹性力学简介

elasticity

弹性力 学是固体力学的重要分支，

它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产

生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学

科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。

弹性体是变形体的一种，它的特征 为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一

限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝 对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残

余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理 。

弹性力学的发展简史

人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，

< p>
比如古代弓箭就是利用物体弹性

的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原 理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，

是从

17

< p>
世纪开始的。

弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规

律。英国的胡克和法国的马略特于

1680

年分别独 立地提出了弹性体的变形和所受外力

成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于

1687

年确立了力学三定律。

同时，数学的发展，使得建立弹性 力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性

力学进入第二个时期。在这个阶段除实验 外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理

一些简单构件的力学问题。这些理论在后来 都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完

全错误的。

在

17< /p>

世纪末第二个时期开始时，人们主要研究梁的理论。到

19

世纪

20

年代法国

的 纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。

柯西在

182 2

～

1828

年间发表的一

< p>
系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学

的几何方程、运动

(

平衡

)

方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定

了 弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。

第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。

这一时期的主要标志是弹性力

学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方 面建立了许多重要的定理或原理，并提出了

许多有效的计算方法。

1855

～

1858

年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲的 论文，可以说是第三

个时期的开始。在他的论文中，理论结果和实验结果密切吻合，为弹 性力学的正确性提

供了有力的证据；

1881

< br>年德国的赫兹解出了两弹性体局部接触时弹性体内的应力分布；

1898

年德国的基尔施在计算圆孔附近的应力分布时，发现了应力集中。这些成就解释

< br>了过去无法解释的实验现象，在提高机械、结构等零件的设计水平方面起了重要作用，

使弹性力学得到工程界的重视。

在这个时期，弹性力学的一般理论也有很大的发展。一方面建 立了各种关于能量的

定理

(

原理

)

。另一方面发展了许多有效的近似计算、数值计算和其他计算方法， 如著名

的瑞利

——

里兹法，为直接求解 泛函极值问题开辟了道路，推动了力学、物理、工程中

近似计算的蓬勃发展。

< p>

从

20

世纪

20

年代起，

弹性力学在发展经典理论的同时，

广泛地探讨了许多复杂的

< p>
问题，出现了许多边缘分支：各向异性和非均匀体的理论，非线性板壳理论和非线性弹

性力学，考虑温度影响的热弹性力学，研究固体同气体和液体相互作用的气动弹性力学

和水弹性理论以及粘弹性理论等。磁弹性和微结构弹性理论也开始建立起来。此外，还

< br>建立了弹性力学广义变分原理。这些新领域的发展，丰富了弹性力学的内容，促进了有

关工程技术的发展。

弹性力学的基本内容

弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力

-

应变关系和运动

(

或平衡

)

规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性 力学中许多定理、公式和结论等，

都可以从三大基本规律推导出来。

连续变形规律是指弹性力学 在考虑物体的变形时，

只考虑经过连续变形后仍为连续

的物体， 如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的情况。这里主要使用数学中

的几何方程 和位移边界条件等方面的知识。

求解一个弹性力学问题，就是设法确定弹性体中各点的位移、应变和应力共

15

个

函数。从理论上讲，只有

15

个函数全部确定后，问题才算解决。但在各种实际问题中，

起主要作用的常常只是其中的几个函数，有时甚至只是物体的某些部位的某几个函数。

所以常常用实验和数学相结合的方法，就可求解。

数学弹性力学的典型问题主要有一般性理论、柱体扭转和弯曲 、平面问题、变截面

轴扭转，回转体轴对称变形等方面。

在近代，经典的弹性理论得到了新 的发展。例如，把切应力的成对性发展为极性物

质弹性力学；把协调方程

(

保证物体变形后连续，各应变分量必须满足的关系

)

发展为非

协调弹性力学；推广胡克定律，除机械运动本身外，还 考虑其他运动形式和各种材科的

物理方程称为本构方程。对于弹性体的某一点的本构方程 ，除考虑该点本身外还要考虑

弹性体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。< /p>

一．弹性力学的基本规律规律假设

弹 性力学的研究对象是完全弹性体。

弹性力学所依据的基本规律有三个：

< br>变

形连续规律、应力

-

应变关系 和运动

(

或平衡

)

规律，它们有时被称为弹性力学三

大基本规律。

井下工程是复杂多变的，

随着工程的进展，

巷道 的应力情况也在不断的变化，

我们研究的不是一个静止的物体，

我们要研究的是一个动态的、

不断变化的围岩

条件。要研究岩体 的弹性问题

,

必须要给它一个前提

,< /p>

也就是对它的假设

,

基本假

设是弹性力学讨论问题的基础。没有基本假设任何问题也进行不了

.

下面简要介

绍弹性力学的几个基本假设：

1.

连续性假设

：假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质

所充满，各个质点之间不存在 任何空袭。

2.

< br>均匀性假设：

假

设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成 的。因此

物体各个部分的物理性质都是相同的，

不随坐标位置的 变化而改变。

因此，物体的弹性性质处处是相同的。

3.

各向同性假设：

假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，

这就是说物体的弹性常熟将 不随坐标方向的改变而变化。

4.

完全弹性假设

：对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一 对

应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全

弹性材料。

5.

小变形假设：

假设在外力或者其他外界因素

（如温度 等）

的影响下，

物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小 量。

6.

无初始应力的假设：

假设物体处于自然状态，即在外界因素（如外

力或温度变化等）作用之前，物体内部没有应力。根据这一假设，

弹性力学求解的应力 仅仅是

外力或温度改变而产生的。

二．下面介绍一下弹性力学基本的解决问题的方法：