-
一、名词解释（共
10
分，每小题
5
分）
《弹性力学》试题
参考答案（
答题时间：
100
分钟
）
一、填空题（
每小题
4
分
）
1
．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：
平衡微分方程
，
应力边界条件
。
2
．一组可能的应力分量应满足：
平衡微分方程
，相容方程（变形协调条件）
。
3
．等截面直杆扭转问题中，
2
于杆截面内的扭矩
M
。
4
．平面问题的应力函数解法中，
Airy
应力函数
?
在边界上值的物理意义为
< br>边界上某一点（基
准点）到任一点外力的矩
。
5
．弹性
力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：
??
D
?
dxdy
?
M
的物理意义是
杆端截面上剪应力对转轴的矩等
?
ij
,
j
?
X
i
?
0
，
?
ij
?
1
(
u
i
,
j
?<
/p>
u
j
,
i
)
。
2
二、简述题
（每小题
6
分
）
1
．试简述力学中的圣维南原理，
并说明它在弹性力学分析中的作用。
圣维南原理：
如果物体的
一小部分边界
上的面力变换为分布不同
但
静力等效
的面力
（主矢与主
矩相同）
，则
近处的应力
分布将有
显著的改变
，但
远处的应力
所受
影响可以忽略不计
。
作用：
（
1
）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。
<
/p>
（
2
）将次要的位移边界条件转化为应力
边界条件处理。
2
．图示两楔形体，
试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数
?
的分离变量形式。
题二（
2
）图
?
?
(
x
,
y
)
?
ax
2
?
bxy
?
cy
2
?
?
(
x
,
y
)
?
ax
3
?
bx
2
< br>y
?
cxy
2
< br>?
dy
3
（
a
）
?
（
b
）
?
2
3
?
(
r
,
?
)
?
r
f
(
?
)
?
(
r
,
?
)
?
r
f
(
?
)
?
?
3
．图示
矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力
P
，板的几何尺寸如
图，材料的弹性模量
E
、
泊松比
已知。试求薄板面积的改变量
?
S
。
页脚内容
24
一、名词解释（共
10
分，每小题
5
分）
题二（
3
）图
设当各边界受均布压力
q
时，两力作用
点的相对位移为
?
l
。由
?
?
1
(
< br>1
?
?
)
q
得，
E
q
a
2
?
b<
/p>
2
?
l
?
?
a
?
b
?
(
1
?
?
)
E
2
2
设板在力
P
< br>作用下的面积改变为
?
S
，由功
的互等定理有：
q
?
?
S
?
P
?
?
l
将
?
l
代入得：
?
S
?
1
?
?
P
a
2
?
b
2
E
显然，
?
S
与板的形状无关，仅与
E
、
?
、
l
有关。
4
．图示曲杆，在
r
?
b
边界上作用有均布
拉应力
q
，在自由端作用有水平集中力
P
。试写出其边
界条件（除固定端外）
。
题二（
4
）图
（
1
）
?
r
（
2
）
?
r
（
3
）
r
?
b
< br>?
q
,
?
r
?
?
0
,
?
r
?
r
?
b
?
0
；
?
0
< br>b
a
r
?
a
r
?
a
?
b
a
?
?
dr
?
?
P
cos
?
?
?
r
?
dr
?
P<
/p>
sin
?
?
?
?
rdr
?
?
P
cos
?
a
b
a
?
b
2
5
．试简述拉甫（
Love
）位移函数法、伽辽金（<
/p>
Galerkin
）位移函数法求解空间弹性力学问题的
基本思想，并指出各自的适用性
Love
、
Galerkin
位移函数法求解空间弹
性力学问题的基本思想：
（
1
）变求多个位移函数
u
(
x
,
y
),
v
(
x
,
y
),
w
(
x<
/p>
,
y
)
或
u
r
(
r
,
?
),
u
?
(
r
,
< br>?
)
为求一些特殊函数，如调
和
函数、重调和函数。
（
2
）变求多个函数为求单个函数（特殊函数）
。
<
/p>
适用性：
Love
位移函数法适用于求解
轴对称的空间问题；
Galerkin
位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。
三、计算题
页脚内容
24
一、名词解释（共
10
分，每小题
5
分）
1
．图
示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为
d
的集中力作
用，单位宽度上集中力的
值为
P
，设间
距
d
很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。
（提示：取应力函数为
?
< br>?
A
sin
2
< br>?
?
B
?
）
（
13
分）
题三（
1
）图
解：
?
d
很小
，
?
M
?
Pd
，可近似视为半平面体边界受一集中力偶
M
的情形。
将应力函数
?
(
r
,
?
)
代入，可求得应力分量：
?
?
1
?
2
?
?
2
?
1
4
?
?
?
2
A
sin
2
?
；
?
?
?
2
?
0
；
?
r
?
r
?
r
r
2
?
?
2
r
?
r
?
?
?
?
1
< br>?
r
?
?
?
?
?
1
?
?
2
(
2
A
cos
2
?
?
B
)
?
r
?
r
?
?
?
r
< br>
边界条件：
（
1
）
?
?
?
?
0
r
< br>?
0
?
0
,
?
r
?
?
?
0
r
?
0
?
0<
/p>
；
?
?<
/p>
?
?
?
r
?
0
?
0
,
?
r
?
?
?
?
r
?
0
?
< br>0
代入应力分量式，有
1
(
2
A
?
B
)
?
0
或
2
A
?
B
?
0
（
1
）
r
2
（
2
）取一半径为
r
的半
圆为脱离体，边界上受有：
?
r
,
?
r
?
，和
M
=
Pd
由该脱离体的平衡，得
?
将
?
r
?
代入并积分，有
?
2
2
?
?
?
r
?
r
2
d
?
?
M
?
0
?
A
sin
2
?
?
B
?
2
?<
/p>
?
2
?
2
2
?
?
1
(
2
A
cos
2
?
?
B
)
r
2
d
?
?
M
?
0
r
2
?<
/p>
M
?
0
得
B
?
?
M
?
0
（
2
）
联立式（
1
）
、<
/p>
（
2
）求得：
B
?
?
M
?
?
Pd
，
A
?
Pd
?
?
2
?
代入应力分量式，得
页脚内容
24
一、名词解释（共
10
分，每小题
5
分）
2
2<
/p>
Pd
sin
?
。
2
Pd
si
n
2
?
?
?<
/p>
0
；
；
?
r
?
?
?
?
r
??
?
?
2
2
?
?
r
r
结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理
，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远
处可适用。
2
．图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力
?
x
由材料力学公式给出，试由平衡微分
方程求出
?
xy
,
?
y
，并检验该应力分量能否满足应力表示
的相容方程。
（
12
分）
题三（
2
）图
解：
（
1
）求
横截面上正应力
?
x
任意截面的弯矩为
M
?
?
q
0
3
h
3
6
l
x
，截面惯性矩为
I
?
12<
/p>
，由材料力学计算公式有
?
My
0
x
?
I
?
?
2
< br>q
lh
3
x
3
y
（
2
）由平衡微分方程求
< br>?
xy
、
?
y
?
?
?
?
x
?
?<
/p>
平衡微分方程：
?
?
?
x
?<
/p>
xy
?
y
?
X
?
0
(2)
?
?
?
yx
?
?
y
?
?
?
x
?
?
y
?
Y
?
0
(3)
其中，
X
?
0
,
Y
?
0
。将式（
1
）代入式（
2
）
，有
?
?
xy
?
y<
/p>
?
6
q
0
2
lh
3
x
y
积分上式，得
<
/p>
?
3
q
0
xy
?
lh
3
x
2
y
2
?
f
1
(
x
)
利用边界条件：
?
xy
y
?
?
h
?
0
，有
2
3
q
0
4
lh
< br>3
x
2
h
2
?
f
1
(
x
)
?
0
即
f
3
q
0
2
2
1
(
x
)
?
?
4
lh
3
x
h
页脚内容
24
1
）
（
一、名词解释（共
10
分，每小题
5
分）
?
xy
?
3
q
0
2
2
1
< br>2
x
(
y
?
h
)
（
4
）
3
lh
4
将式（<
/p>
4
）代入式（
3
）
，有
6
q
0
2
1
lh<
/p>
3
x
(
y
?
4
h
2
)
?
?
?
y
?
y
?
0
或
?
?
y
?
< br>y
?
?
6
q
0
lh
3
x
(
y
2
?<
/p>
1
4
h
2
)
积分得
?
y
?
?
6
q
0
lh
3
x
(
y
< br>3
3
?
1
4
h
2
y
)
?
f
2
(
x
)
利用边界条件：
?
< br>y
y
?
?
h
?
?
q
0
l
x
，
?
y
2
y
?
?
h
?
0
2
得：
?
?
?
6
q
0
h
3
1
h
3
)
?<
/p>
lh
3
x
(
?
24
?
8
?
f
2
(
x
)
?
?
q
0
l
x
?
?
?
6
q
0
lh
(
h
3
3
x
24
?
1
8
h
3
)
?
f
2
(
x
)
?
0
由第二式，得
f
q
0
2
(
x
)
?
?<
/p>
2
l
x
将其代入第一式，得
?
q
0
2
l
< br>x
?
q
0
2
l
x
?
?
q
0
l
x
自然成立。
将
f
2
(
< br>x
)
代入
?
y
的表达式，有
?
6
q
3
y
< br>?
?
0
y
lh
?
1
h
2
y
)
?
q<
/p>
0
3
x
(
3
4
2
l
x
所求应力分量的结果：
?
My
?
?
2
q
0
3
x
< br>?
I
lh
3
x
y
?
3
q
0
xy
?
lh
3
x
2<
/p>
(
y
2
?
1
2
4
h
)
（
6
）
?
6
q
y
?
?
0
y
3
1
2
q
< br>lh
3
x
(
3
?
4
h
y
)
?
0
2<
/p>
l
x
校核梁端部的边界条件：
（
1
）梁左端的边界（
x
= 0
）
：
页脚内容
24
（
5
）
一、名词解释（共
10
分，每小题
5
分）
?
h
2
?
h
2
?
x
x
?
0
dy
?
0
，
?
?
x
y
h
2
?
h<
/p>
2
x
?
0
dy
?
0
代入后可见：自然满足。
（
2
）梁右端的边界（
x
=
l
）
：
?
?
?
h
2
?
h
2
?
x
x
?
l
dy
?
?
h
2
?
h
2
h
2
?
h
2
2
q
0<
/p>
x
3
?
y
dy
?
0
lh
3
x
?
l
3
q
0
x
2
2
h
2
q
0
l
(
y
?
)
dy
?
3
4
2
lh
x
?
l
2
q
x
?
0
3
y
< br>2
lh
3
h
2
?
h
2
?
xy
x
?
l
dy
?
?
h<
/p>
2
?
h
2
?
x
x
?
l
ydy
?
?
h
2
?
h
2
2
q
l
dy
?
?
0
3
y
3
3
l
h
x
?
l
3<
/p>
h
2
?
h
2
q
0
l
2
?
?
?
M
6
可见，所有边界条件均满足。
检验应力分量
?
x
,
?
xy
,
?
y
是否满足应力相容方程：
常体力下的应力相容方程为
2
2
?
?
?
(
?
x
?
?
y
)
?
(
2
?
2
)(
?
x
?
?
y
)
?
0
?
x
?
y
2
将应力分量
?
x
,
?
xy
,
?
y
式（
6
）代入应力相容方程，有
< br>?
2
(
?
?
?
)
?
?
12
q
0
xy
，
?
2
(
?
?
?
)
?
?
12
q
0
xy
y
y
?
y
2
< br>x
lh
3
?
x
2
x
lh
3
2
2
24
q
?
?
?
(<
/p>
?
x
?
?
y
)
?
(
2
?
2
)(
?
x
?
?
< br>y
)
?
?
3
0
xy
?
0
?
x
?<
/p>
y
lh
2
显然，
应力分量
?
x
,
?
xy
,
?
y
不满足应力相容方程，因而式（
6
）
并不是该该问题的正确解。
3
．一端
固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为
l
，抗弯刚度
EI
为常数，梁端支承弹簧的刚度系
数为
k
。梁受有均匀分布载荷
q
作用，如图所示。试：
（
1
）构造两种形式（多项式、三角函数）的梁挠度试函数
w
(
x
)
；
（
2
）用最小势能原理或<
/p>
Ritz
法求其多项式形式的挠度近似解（取
1
项待定系数）
。
（
13
分）
题二（
3
）图
页脚内容
24
一、名词解释（共
10
分，每小题
5
分）
解：两种形式的梁挠度试函数可取为
w
(
x
)
?<
/p>
x
2
(
A
1
?
A
2
x
?
A
3
x
2
?
?
?
)
——
多项式函数形式
w
< br>(
x
)
?
?
A
m
(
1
?
cos
m
?
1
n
2
m
?
x
)
——
三角函数形式
l
此时有：
w
(
x
)
?<
/p>
x
2
(
A
1
?
A
2
x
?
A
3
x
2
?
?
?
)
x
?
0
?
0
x<
/p>
?
0
w
?
(
x
)
?
2
x
(
A
1
?
A
2
x
?
A
3
x
2
?
?
?<
/p>
)
?
x
2
(
A
2
?
A
3
x
?
?
?
)
?
0
w
(
x
)
?
?
A<
/p>
m
(
1
?
cos
m
?
1
n
n
2
m
?
x
)
?
0
l
x
?
0
?
0
x
?
0
w
?
(
x
)
?
?
A
m
m
?
1
l
< br>2
m
?
x
sin
2
m
?
l
即满足梁的端部边界条件。
梁的总势能为
l
1
l
?
d
2
w
?
1
2<
/p>
?
?
?
Π
?
?
EI
?
dx
?
qw
(
x
)
dx
?
k
w
(
l
)
2
?
?
0
2
0
?
2
?
dx
?
2
取：
w
(<
/p>
x
)
?
A
1
x
，有
2
d
2
w
2
w
(
l
< br>)
?
A
l
?
2
A
，
1
1
2
dx<
/p>
代入总势能计算式，有
l
1
l
1
2
< br>2
2
2
EI
(
2
A
)
dx
?
qx
A
dx
?
k
(
A
l
1
1
1
)
?
?
0
0
2
2
Π
?
2
?
< br>2
EIlA
1
?
qA
1
3
1
< br>2
4
l
?
kA
1
l
3
2
由
?
Π<
/p>
?
0
，有
q
3
4
4
EIlA
?
kA
l
?
l
?
0
1
1
3
q
0
l
3
< br>
A
1
?
4
3
(
4
E
Il
?
kl
)
代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为
q
0
l
3
2
< br>
w
(
x
)
?
x
4
3
(
4
EIl
?
kl
)
4
．已
知受力物体内某一点的应力分量为：
?
x
?
0
，
?
y
?
2
MPa
，
?
z
?
1
MPa
，
?
xy<
/p>
?
1
MPa
，<
/p>
页脚内容
24
一、名词解释（共
10
分，每小题
5<
/p>
分）
?
yz<
/p>
?
0
，
?
zx
?
2
MPa
，
试
求
经
过
该
点
的
平
面
x
?
< br>3
y
?
z
?
1
上
的
正
应
力
。
（
12
分）
解：由平面方程
x
< br>?
3
y
?
z
?
1
，得其法线方向单位矢量的方
向余弦为
l
?
1
1
?
3
?
1
2
2
2
?
1
11
，
m
?
3
1
?
3
?
1
2
2
2
?
3
11
，
n
?
1
1
?
3
?
1
2
2
2
?
1
11
?
0
1
2
?
?
l
?
?
1
?
?
，
?
L
?
?
?
m<
/p>
?
?
1
?
3
?
?
ij
?
?
1
2
0
?
?
< br>?
?
?
?
11
?
n
?
?
1
?
?
?<
/p>
2
0
1
?
?
?
?
?
?
?
N
?
0
1
2
?
?
1
?
1
T
?
?
3
?<
/p>
1
?
1
3
1
?
?
?
?
L
?
?
?
??
L
< br>?
?
1
2
0
?
?
?
?
11
11
?
?
?
?
2
0
1
?
?
?
1
?
?
1
?
?
?
1
< br>29
?
?
5
7
3
?
?
3
?
?
?
2<
/p>
.
64
MPa
11
11
?
1
?
?
?
《弹性力学》课程考试试卷
学号：
姓名：
工程领域：
建筑与土木工程
题
一
号
得
分
考试时间：
120
分钟
考试方式：开卷
任课教师：杨静
日期
：
2007
年
4
月
28
日
总
二
三
四
五
分
一、简述题（
40
< br>分）
1.
< br>试叙述弹性力学两类平面问题的几何、受力、应力、应变特征，并指出两类平面问题
中弹性常数间的转换关系。
2.
弹性力学问题按应力和位移求解，分别应满足什么方程？
3.
写出直角坐标下弹性力学平面问题的基本方程和边界条件？
4.
写出弹性力学按应力求解空间问题的相容方程。
5.
求解弹性力学问题时，为什么需要利用圣维南原理？
页脚内容
24
一、名词解释（共
10
分，每小题
5
分）
6.
试叙述位移变分方程和最小势能原理，并指出他们与弹性力学基本方程的等价性
?
7.
试判断下列应变场是否为可能的应变场？（需写出判断过程）
?
x
?
C
(
x
2
?
y
2
)
，
?
y
?
Cy
2
，
?
xy
< br>?
2
Cxy
。
< br>
8.
试写出应力边界条件：
（
1
）
（
a
）图用极坐标形式写出；
P
（
2
）
（
b<
/p>
）图用直角坐标形式写出。
?
O
q
x
h
x
O
?
?
r
x
2
y
p
h
3
h
?
y
y
（
a
）图
（
b
）图
二、计算题（
15
< br>分）
已知受力物体中某点的应力分量为：
?
x
?
0
< br>，
?
y
?
2
a
，
?
z
?
a
，
?
xy
?
a
，
?
yz
?
0
，
?
zx
?
2
a
。
试求作用在过此点的平面
x
?
3
y
?
z
?<
/p>
1
上的沿坐标轴方向的应力分量，
以及该
平面上
的正应力和切应力。
三、计算题（
< br>15
分）
图示矩形截面悬臂梁
，长为
l
，高为
h
，在左端面受力
P
作用。不计体力，试求梁的应力分量。<
/p>
（试取应力函数
?
?
Axy
?
Bxy
）
P
O
h
x
四、计算题（
15
分）
y
l
页脚内容
24
图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为
d
的集中
力作用，单位宽度上集中力的
值为
P
，
设间距
d
很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。<
/p>
（试取应力函数
?
?
A
sin
2
?
?
B
?
）
一、名词解释（共
10
分，每小题
5
分）
五、计算题（
15
< br>分）
如图所示的悬臂梁，其跨度为
l
。抗弯刚度为
EI
，在自由端受
集中力
P
作用。试用最小势
能原理求最
大挠度。
（设梁的挠度曲线
w
?
A
(
1
?
cos
?
x
2
l
)
）
P
《弹性力学》试题（
答题时间：
120
分钟
）
班级
姓名
学号
题
号
得
分
一、填
空题（
每小题
4
分
）
1
．用最小势能原理求解时所
假设的位移试函数应满足：
。
2
．弹性多连体问题的应力分量应满足
，
，
，
。
三
（
（
（
（
总
分
一
二
3
．拉甫（
Love
）位移函数法适用
空间问题；伽辽金（
Gal
erkin
）位移函数法适用于
空间问题。
4
．圣维南原理的基本要点有
，
，
。
5
．有限差分法的基本思想为：
，
。
二、简述题
（每小题
5
分）
< br>1
．试比较两类平面问题的特点，并给出由平面应力到平面应变问题的转换关系。
2
．试就下列公式说明下列问题：
<
/p>
（
1
）单连体问题的应力分量与材料的弹
性常数无关；
（
2
< br>）多连体弹性力学问题中应力分量与弹性常数无关的条件。
页脚内容
24
一、名词解释（共
10
分，每小题
5
分）
?
?<
/p>
(
z
)
?
?
1
?
(
z
)
?
4
Re
?
1
?
< br>(
z
)
?
?
x
?
?
y
?
2
?
1
?
?
?
(
z
)
?
?
1
?
(
< br>z
)
?
?
?
?
y
?
?
x
?
2
i
?
xy
?
2
?
z
?
1
?
?
1
?
?
m
?
?
(
z
)
?
?
?
(
< br>X
k
?
i
Y
k
)
ln(
z
?
z
k
)
?
?
1
?
(
z
)
?
?
1
8
?
k
?
1
< br>?
m
3
?
?
?
?
1
(
z
)
?
?
(
X
k
?
i
Y
k
)
ln(
z
?
z
k
)
?
?
< br>1
?
(
z
)
?
?
8
?
k
?
1
?
式中：
?
1
(
z
),
?
1
(
z
)
均为解析函数
；
?
1
?
(<
/p>
z
),
?
1
?
(
z
)
均为单值解析函数。
3
．试列写图示半无限平面问题的边界条件。
?
?
?
?
题二（
3
）图
4
．图示弹性薄板，作用一对拉力
P<
/p>
。试由功的互等定理证明：薄板的面积改变量
?
< br>S
与板的形状
无关，仅与材料的弹性模量
E
、泊松比
、两力
P
作用点间的距离
l
有关。
题二（
4
）图
5
．下面给出平面问题（单连通域）
的一组应变分量，试判断它们是否可能。
?
< br>x
?
C
(
x
2
?
y
2
),
?
y
?<
/p>
Cy
2
,
?
xy
?
2
Cxy<
/p>
。
6
．等截面直杆扭转问题的应力函数解法中，应力函数
?
(
x
,
y
)
应满足：
?
< br>2
?
?
?
2
GK
式中：
G
为剪切弹性模量；
K
为杆件单位长度扭转角。试说明该方程的物理意义。
三、计算题
1
．
图示无
限大薄板，在夹角为
90
°的凹口边界上作用有均匀分布剪应力
q
。已知其应
力函数为：
?
?
r
< br>2
(
A
cos
< br>2
?
?
B
)
页脚内容
24
一、名词解释（共
10
分，每小题
5
分）
不计体力，试求其应力分量。
（
13
分）
?
题三（
1
）图
2
．图示矩形截面杆，长为
l
，截面高为
h
，宽为单位
1
，受偏心拉力
N
，偏心距为
e
，不计杆的
体
力
。
试
用
应
力
函
数
?
?
Ay
?
By
（
12
分）
3
2
求
杆
的
应
力
分
< br>量
，
并
与
材
料
力
学
结
果
比
较
。
题三（
2
）图
3
．图示简支梁，其跨度为
l
，抗弯刚度
EI
为常
数，受有线性分布载荷
q
作用。试求：
（
1
）用三角函数形式和多项式写出梁
挠度（
w
）近似函数的表达式；
（
2
）在上述梁挠度（
w
）近似函数中任选一种，用最小势能原理或
Ritz
法求梁挠度（
w
）
的近似解（取
2
项待定系数）
。
（
13
分）
题三（
3
）图
4
．图示微小四面体
OABC
，
OA
=
OB
=
OC
，
D
为
AB
的中点。设
O
点的应变张量为：
?
0
.
005
0
?
?
0
.
01
?
?
ij
?
?
?
< br>0
.
005
0
< br>.
02
0
.
01
?
?
?
0
.
01
?
0
.
03
?
?
0
?
试求
D<
/p>
点处单位矢量
v
、
t
方向的线应变。
（
12
分）
页脚内容
24
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