-
习
题
六
解
答
1
、在区间［
0
，
1
］上用欧拉法求解下列的初值问题，取步长
h=0.1
。
?
y
?
?
?
10(
y
?
1)
2
?
y
?
?
sin
x
?
e
?
x
(1)
?
(2)
?
?
y
(0)
?
2
?
y
(0)
?
0
解：取
h=0.1
，本初值问题
的欧拉公式具体形式为
y
n
?
1
?
y
n
?
(
y
< br>n
?
1)
2
(
n
?
0,1,
< br>2,
L
)
由初值
y
0
=y(0)=2
出发计算，所得数值结果如下：
x
0
=0
，
y
0
=2
；
x
1
=0.1
，
y
1
?
y
0
?
(
y
0
?
1)
2
?
2
?
1
?
1
x
2
=0.2
，
y
2<
/p>
?
y
1
?
(
y
1
?
1)
2
?
1
?
0
?
1
< br>
指出：
可以看出，实际上求
出的所有数值解都是
1
。
2
、用欧拉法和改进的欧拉法
(
< br>预测－校正法
)
求解初值问题，取步长
< br>h=0.1
。
?
y
?
?
x
< br>2
?
2
y
(0
?
x
?
0.5)
?
?
y
(0)
?
1
?
y
n+
1
?
y
n
?
hf
(
x
n
,
y
n
)
?
解：由预测校正公式
?
，
h
?
y
n
+
1
?
y
n<
/p>
?
[
f
(
x
n
,
y
n
)
?
f
(
x
n
?
1
,
y
n
?
1
)]
?
2
取
h=0.1
，本初值问题的预测－校
正公式的具体形式为
2
?
y
?
y
?
0.1
?
(
x
?
2
y
n
)
n+
1
n
?
n
?
2
2
?
?
y
n+
1
?
y
n
?
0.05[(
x
n
?
2
y
n
)
?
(
x
n
?
1
?
2
y
n
< br>?
1
)]
由初值
y
0
=y(0)=1
出发计算
，所得数值结果如下：
x
0
=0
，
y
0
=1
；
x
1
=0.1
，
2
y
1
?
y
0
?
0.1(
x
0
?
2
< br>y
0
)
?
0.8,
2
y
1
?
y
0
?
0.05[(
x
0
?
< br>2
y
0
)
?
(
x
1
2
?
2
y
1
)]
?
1
?
0.05[(0
?
2)
?
(0.1
2
?
2
?
0.8]
< br>?
0.82
3
、试导出解一阶常
微分方程初值问题
?
y
?
?
f
(
< br>x
,
y
)
?
?
y
(
x
0
)
?
y
0
的隐式欧拉格式
(
x
0
?
a
?
x
?
b
)
y
n
?
1
?
y
n
?
hf
(
x
n
?
1
,
y
n
?
1
)(
n
?
0
,1,
2,
L
)
1
并估计其局部截断误差。
解：在区间
[x
n
,x
n
+1
]
上对常微分方程
y
/
(x)=f(x,y)
两端同时积分，得
y
n
?
1
?
y
n
?
?
x
n
?
1
x
n
f
(
x
,
y
(
x
))
dx
由右矩形公式得
?
x
n
?
1
x
n
f
(
x
,
y
< br>(
x
))
dx
< br>?
hf
(
x
n
?
1
,
y
n
?
1
)<
/p>
所以有差分格式
y
n
?
1
?
y
n
?
hf
(
x
n
?
1
,
y
n
?
1
)(
n
?
0,1,
2,
L
)
这是所谓隐式欧拉公式。
对于隐式欧拉法
y
n
?
1
?
y
n
?
hf
(
x<
/p>
n
?
1
,
y
n
?
1
)(
n
?
0,1,
2,
L
)
假定
y
n
＝
y(x
n
)
，上式右边的
y
n
＋
1
＝
y(x
n
＋
1
)
，则
y
n
?
1
?
y
n
?
hf
(
x
n
< br>?
1
,
y
n
?
1
)
?
y
(
x
n
)
?
hf
(
x
n
?
1
,
y
(
x
n
?
1
))
< br>?
y
(
x
n
)
?
hy
?
(
x
n
?<
/p>
1
)
将
y
／
(x
n
＋
1
)
按泰勒公式展开，上式为
y
n
?
1
?
y
(
x
n
< br>)
?
hy
?
(
x
n
?
1
)
?
y<
/p>
(
x
n
)
?
hy
?
(
x
n
?
h
)
?
y
(
< br>x
n
)
?
h
[
y
?
(
x
n
)
?
hy
?
?
(
x
n
)
?
L
]
将
y(x
n
＋
1
)
按泰勒公式展开，得
y
(<
/p>
x
n
?
1
)
?
y
(
x
n
?
h
)
h
2
h
3
?
?
?
?
??
?
y
(
x
n
)
?
hy
(
x
n
)
?
y
(
x
n
)
?
y
(
x
n
)
?
L
2!
3!
两式相减，得
h
2
h
3
< br>y
(
x
n
?
1
)
?
y
n
?
1
?
[
y
(
x
n
)
?
hy
?
(
x
n
)
?
y
?
?
(
x
n
)
?
y
?
??
(
x
n
)
?
L
]
?
y
(
x
n
)
?
h
[
< br>y
?
(
x
n
)
?
hy
?
?
(
x
n<
/p>
)
?
L
]
2!
3!
h
2
?
?
y
?
?
(
x
n
)
?
O
(
h
3
)
2!
即
h
2
y
(
x
n
?
1
)
?
y
n
?
1
?
?
y
?
?
< br>(
x
n
)
?
O
(
h
3
)
2!
所以，
y
(
x
n
?<
/p>
1
)
?
y
n
?
1
?
O
(
h
2
)
指出：
可以用多种方法导出，其中差
商法、数值积分方法是简单的方法。
用导出。
4
、验证改进的欧拉公式对任何不超过二次的多项式
y
?
ax
2
?
bx
?
c
准确成立，并说明理由。
2
解：因为
y
?
ax
2
?
bx
?
c
所
以
y
?
?
2<
/p>
ax
?
b
@
y
?
?
ex
?
f
。
记
f
(
x
)
?
ex
?
< br>f
，设
x
i
?
ih
,
i
?
0,1,
2,
L
< br>
改进的欧拉公式为
h
?
y
?
y
?
(
f
(
x
i
,
y
i
)
?
f
(
x
i
?
1<
/p>
,
y
i
?
1
))
i
?
i
?
1
2
?
h
?
?
< br>y
?
((
ex
< br>i
?
f
)
?
(
ex
i
?
1
?
f
))
(
i
?
0,1,
2,
L
)
?
i
2
?
?<
/p>
y
0
?
c
?
?
将上式对
i
从
0
到
n
－
1
求和并利用初值条件得
h
y
n
?
?
((
ex
i
?
f
)
?<
/p>
(
ex
i
?
1
?
f
))
?
c
i
?
0
2
eh
n
?
1
eh
n
?
1
?
?
(
x
i
?
x
i
?
1
)<
/p>
?
nfh
?
c<
/p>
?
?
(
ih
?
(
i
?
1)
h
)
?
nfh
?
c
2
i
?
0
2
i
?
0
eh
< br>2
?
2
eh
2
n
?
1
n
?
1
(
i<
/p>
?
i
?
1)
?
nfh
?
c
?
(
?
i
?
?
(
i
?
1))
?
nfh
?
c
?
2
i
?
0
i
< br>?
0
i
?
0
2
2
n
?
1
eh
eh
1
?
(2
?<
/p>
i
?
n
)
?
nfh
?
c
?
(2
?
n
(
n
?
1)
?
n
)
?
nfh
?
c
2
2
2
i
?
0
n
?
1
n
?
1
e
(<
/p>
nh
)
2
1
?
?
fnh
?
c
?
e
(
nh
)
2
?
fnh
?
c
2
2
1
?
ex
n
2
?
fx
n
?
c
?
ax
n
2
?
bx
n
?
c
2
所以，改进的欧拉法对任何不超过二次的多项式
y
?
ax
2
?
bx
?
c
准确成立。
补充题（一）
1
、用欧拉公式求解初值问题
0.9
?
?
y
(0
?
x
?
1)
?
y
?
?
1
?
2
x
?
?
?
y
(0)
?
1
当
x
取步长为
< br>h=0.02
，
用欧拉公式解初值问题
< br>0,0.02,0.04,
…
,0.10
时的解。
2
、取步长为
h=0.2
，用欧拉公式解初值问题
3
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