-
第
3
章
矩阵特征值与特征向量地计算
一些工
程技术问题需要用数值方法求得矩阵地全部或部分特征值及相关地特征向量
3.1
特征值地估计
较粗估计；
(A>
空
||A|
|
欲将复平面上地特征值一个个用圆盘围起来
3.1.1
盖氏图
n
定义
3.1-1
< br>设
A = [a
j
]
n>n
,
称由不等式
Z
-
內
a
ij
所确定地复区域为
A
地第
i
心
记为
G
i
,i = 1,2,
…
,n.
b5E2RGbCAP
n
vG
j
={z: z
—
a^
兰瓦
a
ij
}
>
j
』
j-i
n
定理
3.1-1
< br>若■为
A
地特征值
,
则
―二
J
G
i
i
=
1
证明：设
Ax =
Z
x (x
式
0>,
若
k
使得
x
k
二
max
n
因为
.
二
a
kj
x
j
X
X
i
k
j
吕
n
=(-
a
kk
)X
k
=
a
kj
x
j
j
式
j
n
a&X
j
n
X
j
n
=■
'
- akk
=
瓦
kj
j
1
J
x
<
br>注：定理称 <
br>k
a
kj
j
j
二
a
kj
|
Xk
j#
n
式
k
=Gk
- -
■
Gi
i
母
「
1
0.1
0.2
0.3
例
1
估计方阵
A
0.5
3
0.1
1
0.2
特征值地范围
1
0.3
-1
0.5
02
-0.3
—
0.1
_ 4
解
:
一
G
i
=
{z
：
z~1<
0.6}; G
2
= {z
：
|z
—
3|
乞
0.8};
盖氏图，
G
3
=
{z
：
Z +
1
伍
1.8}; G
4
= {z
：
z +
4<
0.6}.
A
地
n
个特征值全落在
n
个盖氏圆上，但未说明每个圆盘内
都有一个特征值
3.1.2
盖氏圆地连通部分
称相交盖氏圆之并构成地连通部分为连通部分
孤立地盖氏圆本身也为一个连通部分
.
.
定理
3.1-2
若由
A
地
个盖氏圆组成地连通部分，含且仅含
A
地
k
个特征值
.
证明：令
D = diag(a
ii
,a
i2
,
…
,a
nn
>,M =
A-D,
记
an
a
22
+
l
a
A(
E
)
= D
+
eM
=
'
0
a
12
a
21
0
…
+ s
?1
a
n2
…
a
1 n
a
2n
(0
兰
E
兰
1)
nn
丿
0
」
则显然有
A(1> = AA(O> = D,
易知
A(
；
>
地特征多项式地系数是
■1
( >,
'2
(
>,…，’
n
(
>
为
地连续函数
pEanqFDPw
n
n
地多项式，从而
A(
>
地特征值
A(4
地盖氏圆为：
GiG)
={z: z
—
a
』
兰瓦
I
遇
1=
吃
|a
j
}
U
G
i
,
(0
兰
E
兰
1
)
K-i
j
比
因为
A(0> = D
地
n
个特征值
an,a
12<
/p>
…
-,a
nn
，
恰为
A
地盖氏圆圆心，当
由
0
增大到
1
时
/
i
(
>
画
出一
条
以
'i
(0> = a
ii
为始点，’
i
(1> =
'i
为终点地连续曲线，且始终不会越过
G
i
；
DXDiTa9E3d
不失一般性
，设
A
开头地
k
个圆盘是连通地，其并集为
S,
它与后
n*
个圆盘严格分离，显
然
,A( >
地前
k
个盖氏圆盘与后
n~k
个圆盘严
格分离
.
RTCrpUDGiT
当；
=0
时
,A(0> = D
地前
k
个特征值刚好落在前
k
个圆盘
G,
…
,G
k
中，而另
n*
个特征值则在
k
n
区域
S
之外，从
0
变到
1
时，
G
j
(
；
)
与
G
j
(
；
)
始终分离<
/p>
<
严格)?连续曲线始终在
S
中，所
i
i =k -1
以
S
中有且仅有
A
地
k
个特征值
.
5PCzVD7HxA
注：
1>
每个孤立圆中恰有一个特征值
.
，故它们各有一个特征值，而
G
1<
/p>
,G
3
构成地
2>
例
1
中<
/p>
G
2
,G
4
为仅由一个盖氏圆构成地连通部分
连通部分应含有两个特征值
.
jLBHrnAlLg
3>
因为例
1
中
A
为实方阵，所以若■为
A
地特征值
,
则’也是
A
地特征值<
/p>
,
所以
G
2
,G
4
中各有
一个
实特征值
.
XHAQX74J0X
3.1.3
盖氏圆与相似变换
由于特征值是相似不变量，所以代数上常用相似变换将矩阵化简以得到特征向量
相似变换将盖氏圆地半径变小，以得到更好地估计
.
LDAYtRyKfE
原理：取对角阵作相似变换阵：
P
= diag(b
i
,b
2
,
…
,b
n
＞其中
b
i
＞
0,i
=
1,2,…
,n
Zzz6ZB2Ltk
，这里也可用
1 1
1
则
B=P
」
AP
二
diag(,
，…，
)Adiag(bpb
2
,
…，
b
n
)
与
A
有相同特征值
< br>
b
1
b
2
b
n
而
B
地第
i<
/p>
个盖氏圆为
:
勺
11
丄
b
2
a
a
12
■
??
am
'
a
21
a
22
…
+
a
2n
b
2
+
bn
fn1
a
n2
…
a
nn
」
I
」
f
a
11
a
21 :-
b
b
2
b
1
b
2
a
i
2
J
3
a
b
n
a
1n
22
a
b
1
b
n
24
；
b
2
a
n2 :-
b
n
a
n1 -
—
<
b
n
a
nn
适当选取
b
1
,b
2
,
…
,b
n
就有可能使
B
地某些盖氏圆地半径比
1
＞欲缩小
G
i
,
可取
b
i
最大
.
2
＞
欲缩小除
G
i
外地圆，可取
6
最小
.
A
地相应盖氏圆地半径小
『
0.9
0.01
0.12
、
例
2,
估计
A
=
0.01
0.8
0.13
地特征值范围
001
0.02
0.4
< br>解：
A
地三个盖氏圆分别为：
丿
G
1
= {z
：
| z-0.9|_
0.13} G
2
=
{z
：
| z-0.8|_ 0.14};
G
3
=
{z
：
| z-0.4|_ 0.03}
3
G
3
,<
/p>
较好
.
为了更好地估计另外两个特征值可取
b
3
最小：
1
取
b
= b
2
= 1,b
3
= 0.1
即
P =
Z
1
1
0.1>
*0.9
0.01
0.012
，则
B = P AP =
0.01
0.8
0.013
010
0.2
0.4
」
所以
G
1
'
= {z
：
| Z
—
0.9|
乞
0.022};
G
2
' =
{z
：
|
z
—
0.8
亞
0.023}
G
3
' =
{z
：
|
z
—
0.4
臣
0.3}
dvzfvkwMi1
三个盖
氏圆分离
,
故有
，
1
：
=
Gl',
< br>，
2
：
=
G2
；，
3
：
=
G3.
3.2
幂法与反幂法
幕法是求方阵地最大特征值及对应特征向量地一种迭代法
3.2.1
幕法
设
A
n
有
n
个线性相关地特征向量
V
i
,V
2
,
…
,V
n
,
对应地特征值
，
1
,
，
2
，…，
，
n
,
满足
1.
基本思想
n
因为｛
V
i
,V
2
，…
,V
n
｝为
C
地一组基，所以任给
X
(0>
工
0, <
/p>
X
(0)
=
送<
/p>
a
i
v
i
线性表示
iT
所以有
n
n
A
k
x<
/p>
(0)
二
A<
/p>
k
(
、
ay)<
/p>
八
a
i
A
k
V
i
i
1
i
A
n
n
(3.2-2>
、
-
k
Y
；
k
【
a
i
V
i
、
(
」
)
k
a
i
V
i
]
=
a
i 'i
V
k
i=2
g
i
1
若
aiH
0,
则因
—
<
1
知，当
k
充分大时
A
(k
>
< br>x
(0
>
a
i
V
l
= cv
i
属
阳
地特征向量
rqyn14ZNXI
另一方面，记
max(x> = X
i
,
其中
|x
i
| = ||
刈：；则当
k
充分大时
,
max(A
k
x
(0)
)
max(
/a
i
V
i
)
■
/max(a
i
V
i
)
k4 (0)
刁
'
1
max(A x ) max(
-
1
Qy)
■
1
max(a
< br>1
v
1
)
若
a
i
=
0,
则因舍入误差地影响，会有某次迭代向量在
v
i
方向上地分量不为
0,
迭代下去可求得
■1
及对应特征向量
地近似值
.
EmxvxOtOco
2.
规范化
在实际计算中，若
|'
i
|> 1
则「
1
怯
1
|
心，若「
1
| < 1
则
|]a
i
|
》
0
都将
停机
.
SixE2yXPq5
须采用“规范化”地方法
x
(
k
)
y
x
max
(x
(
k
(k)
)
)
,k
=
0,1,2
，…(3.2
-4>
=Ay
(k)
x
(0)
lim y
(k)
=
—
V
i
—
特征向量
定理
3.2-1
任给初始向量
x
(0)
=
0
有，
max(V
i
)
(3.2-5>
lim max(
x
(k)
)
1
特征值
.k
j-:
证明
:
(k)
(k
①
x
y
(k)_
_ Ay max(
x
(k)
)
max(Ay
(k
⑴)
(k 1)
A
―
(k
」
)
、
A
k
x
⑼
max(x )
…
max( A
k
x
(0)
)
max
A
(
x^
/(2)
、
)
max(x )
(3.2
⑵
n
Q
:.
.
i k
max*
■i
r
k
…
[a
i
v
i
' a
i
a
人
( ) V
》
,
2
皿
+Z
_i
i
k
]
i
^
)
V
：
]
n
[aiw
'
、
a
i
(
L)
k
vJ
k
j
：
:
i ?
人
ay
max^am
「
T
-
n
i
+
迟
a
：
(
丄
)
max(a
1
v
1
)
max(vj
入
k
vJ
.
i =2
'1
而
/
(k)
z A
(k
」
)
max( x ) =
max( Ay )
k
v
i
、
max(AvJ
max(
v
1
)
max(v
1
)
max(
■
v
1
)
1
max(v
1
)
注：若
A
地特征值不满足条件
(3
21>,
幕法收敛性地分析较复杂，但若
阳
=
扎
2
=…=
< br>打
且
底
-
I >
打
|
则定理结论仍成立
.
6ewMyirQFL
此时不同初始向量地迭代向量序列一般趋向于
'
1
地不同特征向量
.
3.
算法
求
maxa(x>
地流程，设数组
x(n>
数向量
x
地
n
个分量
数组
x
=[n]
k =
1
for(i = 2 to n, i++>
若
x[i]| > |x[k]|
T k = i
max = x[k]
幕法流程
:
输入数组
x0, eps, A
x1 = x0
y = x1/maxa(x1>
x0 = Ay
|maxa(x1> -maxa(xO>|
< eps
输出
y,
maxa(xO>
+i
|
曰
內
0
4
6
、
例
1,
用幕法求
A= 3
9
15
地最大模特征值及对应特征向量
宀
16
36
』
见
P312
function y = maxa(x>
k=
1
。
n=length(x>
。
for i=2: n
if
(abs(x(i>?abs(x(k?,k=i 。
end
。
end
。
y=x(k>
。
A=[2,4,6
。
3,9,15
。
4,16,36]
。
x0=[1
。
1
。
1]
。
y=xO/maxa(xO>
x1=A*y
while(abs(maxa(x1>-maxa(x0>>>>0.001
x0=x1
。
y=xO/maxa(xO>
x
仁
A*y
end
。
y
maxa(x1>
322
加速方法
(k)
幕法地迭代公式
:
max(x
(k)
)
x
(k 1)
=Ay
(k)
1
当
k
M
:
时
y
>
(k)
,max(x
>
J
/.1
,
其中
p
1
|
>
|'
n
|
(k>
注：幕法地收敛速度取决于比值
|
'
2
|
/ |
'
1
|,
< br>考虑收敛加速
1.
特征值地<
/p>
Aitken
加速法
(1
＞思想：由定理
3.2.1
地证明知
max(x
(
k
)
)
二
max(Ay
(
k
'
)
)
C
n
—
.
_
?，尸
扎
.
max JA[a
1
v^
a
'
仝
,
扎
( '' )
k_L
V
i
]
n
;
max[a
1
V
1
a
'
(
—
^
1
V'
X
]
'
2
丸
1
n
max^M
、
a
'
(
-) V
'
]
—
打
1
n
-~~
max[a
1
V
1
…
二
a
'
(
、
)
v ]
2 '1
n
n
maxlaw
、
a
'
(
'
)
k
y
] - maxIaM ' a
'
(
'
)
k
J
V
'
]
/ (k)
、
i i
' =2
?
L
1
'
Z
2
人
max(x
)
「
，
r =
■
1
n
max[a
1
V
1
、
a
'
(-
^
匕
]
2
'
1
n
>
:-
、
max
[
瓦
a
(
匕
)
-
1)V
'
]
2 k d
'
=
2
'
2
'
1
=
'1
(
—
)
n '
1
max[a
x
1
V
1
a
'
(
'
)
kJ
V
]
2
'
1
-
n
-
-
、
max[a
2
(
'
-
讥
+
瓦
at<
/p>
'
)2(
'
-1)
V
]
°
,
上
2<
/p>
、
k 4
扎
1
' =2
n
上
i
2
扎
= '1
(
—
)
maxl^w
1
亠二
a
/
—^’V
'
]
2
'
1
：
'1
（
丄<
/p>
）
k
°M > 0（
当
k
充分大时
）
< br>
'1
max(x
(k
^
)
)
_
為
max
(x
(k
北
)
_
纸
入
2
)
max(x
(k
O)max(x
(k)
)
_
、
解之得
/
(kd2)
、
/
(k)
、
「
/ (^1) 2
、
?
max(x )-max(x
)-[max(x )]
1
max(x
(k 2)
)
_2max(x
(k 1)
)
max(x
(k)
)
-
maX(X )
___
,
(kd2)
(3.2.7
「
(
k
七
)
、
[max(x
) -max(x
< br>(
f
)]
2
A
(k 2)
(k 1)
>
max(x )
—
2max(x
)max(x
(k)
)-
(k 1)
使用
'1
(k+2
>
作为
-1
地近似值地算法称为
A'tken
加速法
.
(2>
A'tken
加速法
*
设｛
X
k
｝线性收敛到<
/p>
X ,
即存在
c,|c| <
1,
满足
x
k+1
—
=
(c
—
k
>(x
< br>k
—
>,
其中
< br>
k
md =
0
令
x =
X
k
X
k
.2
-
兀
1
则
lim
x
_X
*
= 0
X
k 2
_2X
k 1
X
k
k
—
X
k
_x
(326>
算法
:
x
(0)
>
max(x
(0)
) >
y
(0)
>
x
⑴
)max(x
⑴)》
y
⑴
-
x
(k 2)
> max(x
(k 2)
) >
y
(k 2)
(kH2)
(kd2)
2
[max(x
)
—
max(x
)]
计算
(k 2)
二
max(x
(k 2)
)-
max(x
(k*)
) _2max(
x
(
k
*)
)
+max(x
(
k
)
< br>)
流程图
输入
x0
计算
max(xO>,yO = xO/max(xO>
计算
x
仁
Ay0,max(x1>,y1= x1/max(x1>
x2 = A y1,
却
=&0
计算
max(x2>
y2=
x2/max(x2>
X0=max(x2>-[max(x2>-max(x1>F2/[max(x2>-
2max(x1>+max(x0>] xO =
x1,x1 = x2
| 1 - 0| > eps
输出
0
例
2
用幕法求方阵
A
地最大模特征值，并用
Aitkem
加速法
广
-
4
14
0
、
A=
-5 13 0
I-
1
0
2
」
解：见
I
x0=[1<
/p>
。
1
。
1]
。
y0=x0/maxa(x0>
x1=A*y0
。
y
仁
x1/maxa(x1>
x2=A*y1
。
y2=x2/maxa(x2>
l0=maxa(x2>-(maxa(x2>-
maxa(x1?A2/(maxa(x2>
-2*maxa(x1
>+maxa(x0>>
kavU42VRUs
while (abs(l1-l0>>>0.01
x0=x
1
。
x1=x2
。
仁
10
。
x2=A*y2
maxk=maxa(x2>
y2=x2/maxk
I0=maxa(x2>-(maxa
(x2>-maxa(x1>>
A
2/(maxa(x2>-2
*maxa(x1>+maxa(x0>>
y6v3ALoS89
end
。
2.
原点平移法
思想：由矩阵论知
若■为
A
地特征值则
■
-a<
/p>
为
A-aI
地特征值，且特征向量相同<
/p>
右
'
1
—
为
A
—<
/p>
al
地最大模特征值
.<
■
k
—
a
是
A
~aI
地次最大模特征值）
，则对
1
A-aI
计算
'1-3
及对应地特征向量比对
A
计
算收敛得快，此即为原点平移法
.
M2ub6vSTnP
(k)
计算
’1
方及特征向量地迭代公式
max(x
(k)
)
X
(
k 1)
=
(A_aI)y
(
k)
(k
特征向量：
y
(k)
V
,max(x
>>
—
H
-a, : a + max(x
>
>
(k
—；、
广
-
3
例<
/p>
3
设
A=
注：
a
地选取较为困难
0
、
-3
,
x
(0)
=°，求最大模特征值及特征向量
4
1
1°
解：
幂法：
A=[-
3,1,°。
1,-3,-3
o
°,
-3,4]<
/p>
。
X° = [°
o
°
o
1]
o
k=1
o
y=x°/maxa(x°> x1=A*y
while(abs(maxa(x1>-
maxa(x°>>>>°.°
°1 x°=x1
o
y=xO/maxa(xO>
k=k+1 x
仁
A*y
end
。
y
maxa(x1>
原点平移法：
A=[-3,1,0
o
1,-3,-3
o
0,-3,4]
o
x0=[0
o
0
o
1]
o
k=1
o
y=xO/maxa(xO>
x1=(A+4*eye(3?*y while(abs(maxa(x1>
-
maxa(x°>>>>°.°°1 x0=x1
。
y=xO/maxa(xO>
k=k+1
x
仁(A+4*eye(3?*y
end
o
y
maxa(x1>-4
3.
对称矩阵地
Rayleigh
商加速法
定义设
A
对称<
/p>
X °,则称
R(x)=
T~
x x
为
x
关于
<
/p>
A
地
Rayleigh
< br>商
X
A
X
T
思想：
A
对称<
/p>
=
特征值
’1
,
2
…，
-
n
均
为实数，且存在特征向量
V
1
,V<
/p>
2
,
…
,v
n
为标准正交基
-
-
-
-
-
-
-
-
-
上一篇：幼儿园免责协议书
下一篇：合同文本通用示范条款