-
八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球
< br>类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
图
1
图
2
!
2
图
4
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式
< br>（
2R
）
2
=
a
2
? b
2
?
c
2
，即
2R
^-
a
b
2
c
2
，求出
R
4
，体积为
16
，
则这个球的表面积是（
D
.
32
二
例
1
（
<
/p>
1
）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为
A.
16
：
B
.
20
二
C
.
24
二
（
2
）若三棱锥的三个侧面两垂直，
且侧棱长均为
.3
，则其外接球的表面积是
解：（
1
）
V
=
a
2
h
*6
,
a
=
2
,
4R
2
=
a
2
a
2
h
2
=
4
4 16
=
24
,
S
=
24
二，选
C
；
（
2
）
4R
2
=3 3 3
=
9,
S
F
R
2
=
9
；
（
3
）
在正三棱锥
S-ABC
中，
M
、
N
分别是棱
SC
、
BC
的中点，且
AM _ MN
,
若侧棱
SA=2
?
..
3
,
则
正三棱锥
S-ABC
外
接球的表面积是
_
__________
。
36
：
解：引理：正三棱锥的对棱互垂直
。证明如下：
如图（
3
）
-1
，取
AB, BC
的中点
D,E
，连接
AE,C
D
,
AE,CD
交于
H
，连接
SH
，则
H
是底面正三角
形<
/p>
ABC
的中心，
SH
_
平面
ABC
,
SH_AB
,
AC
二
BC
,
AD
二
BD
,
CD _
AB
,
AB
_
平面
SCD
,
-AB _
SC
，同理：
BC _ SA
,
AC _ SB
,
即正三棱锥的对棱互
垂直
,
本题图如图
< br>(
3
)
-2
,
AM _ MN
,
SB//MN
,
C
AM _SB
,
AC_SB
,
SB_
平面
SAC
,
SB_SA
,
SB_SC
,
SB_SA
,
BC _
SA
,
-SA
—
平面
SBC
,
SA
—
SC
,
⑶题
-1
故三棱锥
S -
ABC
的三棱条侧棱两两互相垂直，
-(2R)
2
=(2
*3)
2
(2
一
3)
2
(2.3)
2
=36
，即
4R
2
=
36
,
-
正三棱锥
S-ABC
外接球的表面积是
36
二
C
.
页脚
⑶题
-2
(4
)
在四面体
S-ABC
中，
SA_
平面
ABC
,
Z
BAC
=
120 ,SA
=
AC
=
2, AB
=
1,
则该四面体的外接
球的表面积为
(
D
)
A.11
二
B.7
二
C.
10
3
(5
)
如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为
40
D.
—
3
6
、
4
、
3
，那么它的外接球的表面积是
_
________
1
的等腰直角三角形和边长为
1
的正方形，则该几
(6
)
已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为
何体外接球的体积为
解析：
(
4
)
在
ABC
中，
BC =
AC
2
AB-2AB BC cos120
=7
，
BC
「
7
，
ABC
的外接球直径为
，选
D
(5
)
三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为
a,b, c
(
a,b,cE
R
+
)
，则
2 2 2 2 2
ab
=
12
bc
=8
，
abc = 24
，
a=3
，
b=4
，
c=2
，
(2
R
)
=
a b c =29
，
s =
4
二
R = 29
二，
ac =
6
2
<
/p>
2
2
2
=3
,
R
2
(
6
)
(2R)
二
a
■ b
c
.3
4
3
4
3V3
—
H
-
-----
J
T
V
R
二
3
3
8
2
.3
3
—
?
R
二——
4
2
，
类型二、垂面模型
(
一条直线垂直于一个平
面
)
1
.
题
设：如图
5
,
PA_
平面
ABC
解题步骤：
第一步：将」
ABC
画在小圆面上，
A
为小圆直径的一个端点，作小圆的直
径
AD
，连
接
PD
，贝
U
PD
必过球心
O
;
第二步：
O
1
为
ABC
的外心，所以
OO
1
_
平面
A
BC
，算出小圆
Q
的半
径
O
1
D
二
r
(
三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得
sin A sin B
+
=2r
),
OO
1
JpA
；
sin C
2
第三步：利用勾股定理
求三棱锥的外接球半径：①
(2R)
二
PA (2r)=
2 2 2
2R
= . PA
2
(2r)
2
；
.
页脚
②
R
2
二
r
2
OO
1
2
二
R
?
r
2
00
：
2<
/p>
.
题设：如图
6
,
7, 8
,
P
的射影是
ABC
的外心二
三棱锥
P -
ABC
的三条侧棱相等
二
三棱锥
P
- ABC
的底面
ABC
在圆锥的底上，顶点
P
点也是圆锥的顶点
第一步：确定球心
0
的位置，取
ABC
的外心
0
1
< br>，则
P,0
。三点共线
;
第二步：先算出小圆
0
1
的半径
A0^r
，再算出棱锥的高
P0^h
(
也是圆锥的高
)
第三步：勾股定理：
0A
2
=0
i
A
2
9
I
0
2
=
R
2
=(h-R)
2
r
2
，解出
R
方法二：小圆直径参与构造大圆。
例
2
一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为
()C
16
兀
A.
3
二
B
.
2
二
C.
D
.
以上都不对
3
解：选
C
,
( .3
-R)
2
1
二
R
2
,
3-2 3R R
2
1
二
R
2
,
4-2-3R =
0
,
.
页脚
类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）
P
P
O
O
A
B
C
A
C
A
B
C
图
9-2
图
9-3
图
9-4
1
题设：如图
9-1
，平面
PAC
_
平面
ABC
，且
AB _ BC
（即
AC
为小圆的直径）
第一步：易知球心
0
必是
PAC
的外心，即
< br>PAC
的外接圆是大圆，先求出小圆的直径
第二步：在
APAC
中，可根据正弦定理
—
b
AC=2r
；
2R
，求出
R
sin A sin B sin C
c
2
.
如图
9-2
< br>，平面
PAC
_
平面
ABC
，且
AB _ BC
< br>（即
AC
为小圆的直径）
OC
2
=O
i
C
2
O
i
O
=
R
=
r
2
0
i
0
2
=
AC =
2 .
R
2
-OQ
2
2
2
3
?如图
9-3
，平面
PAC
_
平面
ABC
，且
A
B _ BC
（即
AC
为小圆的直径
），且
P
的射影是
ABC
的外
心二
三
棱锥
P -
ABC
的三条侧棱相等
锥的顶点
解题步骤：
第一步：确定球心
O
的位置，取
ABC
的外心
O
1
< br>，则
PQ,
。
^!
三点共线；
第二步：先算出小圆
O
1
的半径
AO^r
，再算出
棱锥的高
PO^h
（也是圆锥的高）
；
第三步：勾股定理：
OA
2
=O
i
A
2
，
Oi
O
2
=
R
2
=
（<
/p>
h-R
）
2
r
2
，解出
R
4
?如图
9-3
，平面
PAC
_
平面
ABC
，且
AB _
BC
（即
AC
为小圆的直径），且<
/p>
PA _
AC
，贝
U
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①
②
R
2
=
r
2
OOj =
R
Y
r
2
OO,
例
3
（
i
）正四棱锥的顶点都在同一球面上，
若该棱锥的高为
i
，底面边长为
2 .
3
，则该球的表面积为
。
（
2
）正四棱锥
S
-ABCD
的底面边长和各侧棱长都为
三棱
P -
ABC
的底面
ABC
在圆锥的底上，顶点
P
点也是圆
（
2R
）
2
=
PA
2
?
（
2r
）
2
：
=
2R
ff
PA
2
?
（
2r
）
2
；
2
，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
_
解：（
i
< br>）由正弦定理或找球心都可得
2R
=
7
,
S
=4
「：
R
2
=49
「：
,
4
兀
（
2
）方法一：找球心的位置，易知
r
=1
,
h=1
,
h=r
,
故球心在正方形的中心
ABCD
处，
R =1, V
=
—
3
方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是
-
SAC
的外接圆，此处特殊，
Rt SAC
的斜边是球半径，
4
兀
2R
=2
,
R =1
,
V =
.
页脚
（
3
）在三
棱锥
P -
ABC
中，
PA = PB = PC = . 3
,
侧棱
PA
与底面
ABC
所成的角为
60
',
则该三棱锥外
接球的体积为（
A
.
二
B.
JI
C. 4
D.
解：选
D,
圆锥
A,B,C
在以
r
2
-
的圆上
,
R=1
O
的求面上
< br>，
UABC
是边长为
1
的正三角形
，
SC
为球
0
的直
A
Di
<
/p>
（
4
）已知三棱锥
S-ABC
的所有顶点都在球
径
,
且
SC
= 2
，则此棱锥的体积为（
A.
Al
6
2
解
:
。。
小宀亡）
2
，，
V Jsh =
-
3
1
.3 2
一
6
3
4
3
、
2
6
类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、
圆
柱的外接
题设：如图
10-1
，图
10-2
，图
10-3,
直三棱柱内接于球（同时直
棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以
是任意三角
形）
第一步：确定球心
0
的位置，
0
1
是
ABC
的外心，则
00<
/p>
—
平面
ABC
；
第二步：算出小圆
0
1
的半径
A0
i
= r
,
00
1
1
1
亠
AA
1
h
（
AA-^ =
h
也是圆柱的咼）；
2
2
2
V
2
第三步：勾股定理：
0A
2
=0
小
2
+01
。
2
二
R
2
=
（
?
）
2+r
2
二
R = Jr
2
+
』）
2
，解出
R
例
4
（
1
）
一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上
，
9
且该六棱柱的体积为
，底面周长为<
/p>
3
，则这个球的体积为
_______________________
8
1
解：设正六边形边长为
a
，正六棱柱的咼为
h
，底面外接圆的关径为
r
，则
a
二一
,
2
底面积为
S
=
6
出（丄）
2
=
口
,
4
2
8
V
柱
二
h
,
■ h
,
8
8
R
2
=
（
3
）
2
（丄）
2
2
2
=
1
,
R
=
1
，球的
体积为
V
=
4
…
3
?
页脚
-
-
-
-
-
-
-
-
-
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