-
第十七章
关联三角形巧合点的性质及应用
三角
形的巧合点在这里是指三角形的外心、内心、重心、垂心、旁心，三角形的巧合点各
<
/p>
自具有不同的有趣性质，我们已在前面各章做了介绍．这里介绍关联这些巧合点中的某些<
/p>
点或全体点的一些性质及应用的实例．
【基础知识】
在前面有关章节中，也
曾涉及两心或多心的有关结论，为了方便，有几条也重新罗列出来．
< br>性质
1
三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边
的距离的两倍．
性质
2
三角形的外心是外心在各边上射影三角形的垂心．
性质
3
三角形的内心和任一顶点的连线与三角形外接圆相交，这
个交点与外心的连线是这一顶点所对
的边的中垂线．
性质
4
三角形的内心和任一顶点的连线，平分外
心、垂心和这一顶点的连线所成的角．
性质
< br>5
三角形的外心与垂心的连线的中点是九点圆的圆心．
∶
2
，
性质
6
三角形的外心
O
，重心
G
，九点圆圆心
V
，垂心
H
，这四心共线
，且
OG
∶
GH
?
1
GV
∶
VH
?
1
∶
3
．
性质
7<
/p>
三角形内心与旁心构成一垂心组；三角形内心与旁心的九点圆是外接圆；三角形的外接圆平
分
内心与旁心的每一条连线段．
性质
8
设
△
ABC
的外心为
O
，
内心为
I
，
则
I
为旁心
△
I
A
I
B
I
C<
/p>
的垂心，
I
关于
O
的对称点
O
?
是
△
I
A
I
B
I
C
的外心
，
△
I
A
I<
/p>
B
I
C
的欧拉线
与直线
OI
重合．
< br>性质
9
三角形的面积是其旁心三角形面积与内切圆切点三
角形面积的等比中项．
性质
10
三角形的旁心三角形与内切圆切点三角形的欧拉线重合．
性质
11
设
H
，
G
，
I
分别为三边两两互不相等的三角形的垂心、重心、内心，则
?
HIG
?
90
?
．
事实上，不妨设
BC<
/p>
?
AC
?
AB<
/p>
，过
G
作直线
l
∥
BC
，这时易证射线
AI
必处于
?
HAG
内部，点
I
在直
线
l
上方，在
CH
下
方．于是
I
在以
GH
< br>为直径的圆内，从而
?
HIG
是
钝角或平角．
性质
12
锐角
△
ABC
中，外心
O
到三边距离之和记为
d
< br>外
，重心
G
到三边距离之和记为
d
重
，垂心
H
到
三边距离之和记为
d
垂
，则
1
?
< br>d
垂
?
2
?
d
外
?
3
?
d
重
．
事实上，如图
17-1
< br>，设
△
ABC
的外接圆半径为<
/p>
1
，三个内角记为
A
，
B
，
C
，易知
d
外
?
OO
1
?
O
O
2
?
OO
3
=
cosA
?
cosB
?
cosC
，则
2
d
外
=
< br>2
?
cosA
?
cosB
?
cosC
?
．
因
AH
1
?
sin
B
?
AB
?
2sin
B
?
sin
C
．同理得
AH
2
，
AH
3
．
<
/p>
A
H
3
G
3
O
3
G
O
B
O
1
G
1
H
1
图
17-
1
H
H
2
G
2
O
2
C
于是
3
d
重
=
3
GG
1
?
3
GG
2
?
3
GG
3
?
AH
1
?
BH
2
?
CH
3
?
2(sin
B
?
sin
C
?
sin
C
?
sin
A
?
sin
A
?
sin
B
)
．
设
AH
的延长线
交
△
ABC
的外接圆于
H
?
，则
< br>BH
?
BH
?
< br>?
2sin
?
BAH
?
?
2cos
B
，
HH
1
?
BH
?
cos
?
BHH
1
?
BH
?
cos
C
?
2cos
B
?
cos
C
同理可得
HH
2
，
HH
3
，从而
d
垂
?
HH
1
?
HH
2
?
HH
3
?
2(cos
B
?
cos
C
?
cos
C
?
cos
A
?
cos
< br>A
?
cos
B
< br>)
，
于
是
由
cos
B
?
cos
C
?
cos
< br>C
?
cos
A
< br>?
cos
A
?
< br>cos
B
?
sin
B
?
sin
C
?
sin
C
?
sin
A
?
sin
A
?
sin
B
?
cos
?
B
?
C
?
?
cos
?
C
?
A
?
?
< br>cos
?
A
?
< br>B
?
?
?
?
cos
A
?
cos
B
?
cos
< br>C
?
，即证．
性质
13
设
△
ABC
的外接圆、内切圆半径分别为
R
，
r
，外心为
O
，内心为
I
，垂心为
H
，重心为
G
，
顶点
A
所对的边的旁切圆的圆心为
I
A
，半径为
r
A
（其余类推）
，
BC
?
a
，
CA
?
b
，
AB
?
c
，则
（<
/p>
1
）
OI
2
?
R
2
?
2
Rr
；
1
5
2
（
2
）
IG
2
< br>?
?
a
?
b
?
c
?
?
?
a
2
?
b
2
?
c
2
?
?
4
Rr
6
18
?
r
2
?
< br>1
?
6
?
ab
?
bc
?
ca
?
?
5
?
a
2
?
b<
/p>
2
?
c
2
?
?
；
?
36
?
1
2
a
?
b
< br>2
?
c
2
?
；
?
9
4
2
a
?
b
2
?
c
2
?
；
?
9
（
3
< br>）
OG
2
?
R
2
?
（
4
）
HG
2
?
4
R
2
?
（
a
2
?
b
2
?
c
2
）
（
5
< br>）
OH
2
?
9
R
2
?
；
a
3
?<
/p>
b
3
?
c
3
?
abc
（
6
）
IH
?
4
R
?
?
2
r
2
?
< br>4
R
2
cos
< br>A
?
cos
B
< br>?
cos
C
；
< br>
a
?
b
?
c
2
2
2
2
2
（
7
）
II
A
，
II
B
，
II
C
；
?
4
R
（
r
A
?
r
）
?
4
R
（
r
B
?
r
）<
/p>
?
4
R
（
r
C
?
r
）
2
2
2
（
8
）
I
A
I
B
?
4
R
?
r
A<
/p>
?
r
B
?
，
I
B
I
C
?
4
R
?
r
B
?
r
C
?
，
I
A
I
C
?<
/p>
4
R
?
r
A
?
r
C
?
；
2
2
2
（
9
）
DI
A
?
R
2
?
2
R
r
A
，
OI
B
?
R
2
?
2
Rr
B
，
OI
C
?
R
2
?
2
Rr
C
．
性质
14
有关字母同性质
8
所设
，设
R
*
为
△
I
A
I
B
I
C
的外接圆半径，
O
*
为其外心，则
（
1
）
R
*
?
2
R
；
（
2
）
IO
*
?
2
IO<
/p>
．
性质
15<
/p>
有关字母同性质
13
所设，令
p
?
（
1
）
OA
?
OB
?
OC
?
R
< br>；
（
2
）
HA
?
2
R
cos
A
，
HB
?
2
R
c
os
B
，
HC
?
2
R
cos
C
；
（
3<
/p>
）
IA
?
4
R
sin
B
C
r
p
?
a
?
sin
?
?
，…等三式；
2
2<
/p>
sin
A
cos
A
2
2
r
B<
/p>
C
P
?
cos<
/p>
?
A
?
，…等三
式；
2
2
s
in
A
cos
A
2
2
1
?
a
?
b
?
c
?
，则有心径公式
2
（
4
）
I
A
A
?
4
R
?
cos
1
2
b
2
?
2
c
2
?
a
2
，…等三式．
2
性质
16
设
P
为
△
ABC
平面内的点，
AP
，
BP
，
CP
所在直线分别交
△
ABC
的外接圆于
A<
/p>
?
，
B
?
，
C
?
，
则
（
5
）
GA
?
（
< br>1
）若
P
为
△
ABC
的外心，对锐角三角形，有
S
△
ABC
?
S
△
A
?
B
C
?
S
△
AB
?
C
?
S
△
ABC
?
；
对非锐角三角形（不妨设
?
A
≥
90
?
，下同）
，有
S
△
ABC
?
S
△
A
?
BC
?
S
△
AB
?
C
?
S
△
ABC
?
；
（
2
）若
P
为
△
ABC
的垂心，有同（
1
）的结论；
（
3
）
若
P
为
△
ABC
的重心，<
/p>
有
S
△
ABC<
/p>
≤
S
△
A
?
BC
?
S
△
AB
?
C
?
S
△
ABC
?
，
当且仅当
△
ABC
为正三角形时等号取
得；
（
4
）若
< br>P
为
△
ABC
< br>的内心，有同（
3
）的结论．
性质
17
在
△
ABC
中，内心到外心的距离等于重心到外心的距离的充要条件
是
a
2
?
b<
/p>
2
?
c
2
?
18
Rr
．
性质
18
三角形的
内心与外心之距离等于内心到垂心之距离的充要条件是有一个角为
60
< br>?
．
性质
19
三角形的内心、外心、垂心与两顶点五点共圆的充要条件是另一顶点的内角为<
/p>
60
?
．
性质
20
设
P
是
△
ABC
的巧合
点，
连
AP
交
BC
于
D
，
过
P
的直线分别与
AB
< br>，
AC
所在直线交于
E
，
F
，
则
AD
AB
CD
AC
BD
．
?
?
?
?
AP
AE
BC
AF
BC
特别地，当
P
分别为外心
O
，内心
I
，垂心
< br>H
，重心
G
，角
A
内的旁心
I
A
时，有
（
1
）
（
2
）
< br>（
3
）
（
4
）
（
5
）
AB
AC
?
s
in
2
B
?
?
sin
2
C
?
sin
2
A
?
sin
2
B
?
sin
2
C
；
AE
AF
A
B
AC
?
sin
B
?
?
sin
C
?
sin
A
?
sin
B
?
sin
C
；
AE
AF
AB
AC
< br>?
tan
B
?
< br>?
tan
C
?
< br>tan
A
?
tan
B
?
tan
C
；
AE
AF
AB
AC
?
?
3
；
AE
AF
AB
AC
?
sin
B
?
?
sin
C
?
?
sin
A
?
sin
B
?
sin
C
．
AE
AF
事实上，由
S
?
S
△
AFD
AD<
/p>
AD
?
DP
S<
/p>
△
AEF
?
S<
/p>
△
DEF
?
?<
/p>
?
△
AED
AE
?
AF
AP
A
P
S
△
AEF
?
S
△
ABC
AB
?
AC
AE
AF
?
S
△
ABD
?
?
S
△
ACD
AC
BD
AB
CD
AB
AC
?
，
?
?
?
?
AE
AF
AF
BC
AE
< br>BC
?
?
S
△
ABC
AB
AC
及
AD
AB
?
AC
?
BC
AD
sin
2
A
?
sin
2
B
?
sin
2
C
AD
AB
?
CA
?
BC
AD
AD
?
tan
A
?
，
，
，
等式，
?
?
?
AI
A
AB
?
AC
AO
sin
2
B
?
sin
2
C
AI
AB
?
AC
AH
BC
即可推得．
性质
21
设
P
是
△
ABC
的
巧合点，
直线
AD
，
< br>BP
，
CP
分别与边
BC
，
CA
，
AB
或其延长线交于
D
，
E
，
PD
PE
PF
?
?
?<
/p>
1
．
AP
BP
CP
事实上，当
P
为
△
ABC
所在平面内任一点上式均成立．引入三角形有向面积，运用面积比即证．
【典型例题与基本方法】
例
1
凸四边形
ABCD
的
对角线交于点
M
，点
P
，
Q
分别是
△
AMD
和
△
CMB
的重心，
R
，
S
分别是
F
，则对于有向线段的比，有
△
DMC
和
△
MAB
的垂心．求证：
PQ
?
RS
．
（
2003
年国家队训练题）
证明如图
17-2
，
作
?
A
M
D
X
与
?
CMBY
，
连
MX
，
MY
；
SA
，
SB
，
SX
，
SY
；
RC
，
RD
，
RX
，
BY
．
1
1
由重心的性质，
知<
/p>
P
在
MX
上且<
/p>
MP
=
MX
，<
/p>
Q
在
MY
上且<
/p>
MQ
?
MY
，<
/p>
所以
PQ
∥
XY
或
P
，
Q
，
X
，
3
3
Y
四点共线．
X
A
S
P
R
D
Q
B
C
Y
图
17-
2
又因为
R
是
△
CDM
的垂心，
故
DR
?
CM
，
结合
DX
∥
CM
，
可知
DR
?
DX
．
同理
CR
?
CY
，
AS
?
AX
，
BS
?
BY
．所以
（
SX
2
?<
/p>
RY
2
）
-
（
RX
2
?
SY
2
）
=
（
AS
2
?
AX
2
?
CR
2
?
CY
2
）
-
（
DR
2
?
DX
2
< br>?
SB
2
?
BY
2
）
=
（
AS
2
?
BM
2
?
B
S
2
?
AM
z
）
?
（
CR<
/p>
2
?
DM
2
?
DR
2
-
CM
2
）
?
0
．
于是
SX
2
?
RY
2
?
RX
2
?
SY
2
，故
RS
?
XY
，
RS
?
PQ
．
例
2
如图
17-3
，在非等边
△
PQR
中，
X
，
Y<
/p>
，
Z
分别是
QR
，
RP
，
PQ
的中点，
△
PQR
的垂心是
H
，
外心是
M
，
△
XYZ
的外心是
O
，则
△
XYZ
的垂心也是
M
，
并且
O
为
M
H
的中点．
P
H
Z
G
M
Q<
/p>
X
图
17-
3<
/p>
O
Y
R
证明连
PX
，
QY<
/p>
，
RZ
交于点
G
，则
G
为
△<
/p>
PQR
与
△
XY
Z
之重心．
GX
?
QG
∶
GY
?
RG
∶
G
Z
?
2
∶
1
，所以
△
PQR
与
△
XYZ
是以
G
为似位中心，且位似比为
2
因为
PG
∶
1
∶<
/p>
的位似形．
因为
MP
?
MQ
，所以
< br>MZ
?
PQ
，因此
MZ
?
XY
．
同理
MY
?
XZ
，所以
M
为
△
XYZ
的垂心．
由位似性质知
MG
?
2
GO
且
G
在线段
MO
上，
HG
< br>?
2
GM
且
G
在线段
M
H
上，所以
O
为
M
< br>H
的中点．
1
例
3
如图
17-4
，四边形
ABCD
内接于
?
O
，对角线
AC
?
BD
，
OE
?
AB
于
E
．求证：
OE
?
CD
．
2
证明作
CF
?
AB
于
F
，
CF
交
< br>BD
于
H
，则
< br>H
为
△
ABC
< br>的垂心．
连
CE
交
OH
于
G
，因
O
为
△
ABC
的
1
．
< br>外心，则
G
为
△
ABC
的重心，且
GH
∶
OG
?
2
∶
D
C
O
A
E
G
F
H
B
图
17-
4
1
．
由
OE
∥
CF
，有
CH
∶
OE
< br>?
GH
∶
OG
< br>?
2
∶
1
1
．即
OE
=
CD
．
又
?
ACD
=
?
ABD
=
?
ACF
，则
CD
?
CH
< br>，从而
CD
∶
OE
?
2
∶
2
< br>【解题思维策略分析】
1
．注意巧合点各自性质的联用
?
ACB
?
30<
/p>
?
，
?
ABC<
/p>
?
50
?
，
?
MAC
?
40<
/p>
?
，
?
MCB<
/p>
?
20
?
．
例
4
如图
17-5
，
在
△
ABC
中，
求
M
为形
内一点，
?
M
B
C
的度数．
（
《数学通报》
1999
< br>年
9
期
1208
号问题）
D
A
E
M
B
图
< br>17-
5
C
< br>解在
CM
的延长线上取一点
E<
/p>
，使
?
EBC
?
60
?
，在
B
E
延长线上取一点
D
，使
?
DCB
?
40
?
，连
DA
，
DM
，
DC
，
EA
．易知
CA
?
DB
，
BA
?
DC
，即
A
为
△
BCD
的垂心，可知
?
ADB
?
30
?
．
?
BDC
=
80
?
，
在
△
CDE
中，
易知
?
ECD
< br>=
20
?
，
可知
?
DEC
?
< br>80
?
=
?
EDC
．
又
EC
< br>?
DC
，
且
AC
为
?
DCE
< br>的
平
分
线
，
即
AC
为
DE
的
中
垂
线
，
从
而
A
D
?
A
E
，
?
AED
?
30
?
，
?
AEM
=
50
?
．
又
?
AME
?
?
MAC
?
?
MCA
=
50
?
，
故
A
M
?
A
?
E
，
A
即
A
为
△
DEM
的
外
心
，
于
是
1
?
MD
E
?
?
MAE
?
40
?
．
2
由
?
BDC
=
80
?
，<
/p>
可
知
DM
平
分
?
B
D
C
．
又
CM
平
分
?
B
C
D
，
知
M
为
△
BCD
的
内
心
，
故
1
?
MBC
?
?
DBC
?
30
?
．
2
例
5
如图
17
-6
，
△
ABC
中，
?
C
=
30
?
，
O
是
外心，
I
是内心，边
AC
上的点
D
与边
BC
上的点
E
使得
（
1988
年中国奥林匹克集训题）
AD
?
BE
?
AB
．求证
：
OI
?
DE
，
OI
?
DE
．
A
D<
/p>
O
E
K
C
I
B
图
17-
6
证明作
?
DAO
的平分线交
BC
于
K
，连
AI
，
BI
，
DI
，
EI
，
AO
，易证
△
AID
≌△
AIB
≌△
EIB
，
1
?
AID
?
?
AIB
=
?
EIB
，而
?
AIB
?
90
?
?
?
C
?
105
?
，则
?
DIE
?
360
?<
/p>
?
105
?
?<
/p>
3
?
45
?
．
2
1
1
1
又
?
AKB
?
30
?
?
?
DAO
?
30
?
?
?
?
BAC
?
?
BAO
?
?
?
BAC
?
?
BAI
?
?
BEI
，知
AK
∥
IE
．
2
2
2
又由
AO
?
AB
?
AD
，可证
DO
?
AK
，于是
DO
?
IE
．同理
EO
?
ID
．故
O
是
△
DIE
的垂心，从而
IO
?
DE
．由
?
DIE
?
?
IDO
及垂心性质（
△
IDE
与
△
IOD
的外接圆是等圆）
，可证
OI<
/p>
?
DE
．
2
．注意巧合点关联性质的运用
?
例
6
如图
17-7
，
△
ABC
是一个直角三角形，
?
C
?
，
?
B
< br>?
?
A
．
O
是
△
ABC
的外心，
I
是其内心．
求
2
BC
CA
AB
证：
?
BIO
是一个直
角当且仅当
．
?
?
3
4
5
C
I
O
A
图<
/p>
17-
7
B
<
/p>
（
1994
年中国奥林匹克集训题）
性质
13,15
?
r
2
2
2<
/p>
2
?
?
R
2
?
2
Rr
?
?
R
2
证明因
?
BIO
=
IO
?
BI
?
BI
?
IO
=
BO
?
B
2
sin
2
2
?
r
?
2
R
?
sin
2
?
cos
B
A
C
B
A
B
C
?
2sin
?
< br>sin
?
sin
（其中用到
r
?
4
R
sin
?
sin
?
sin
）
2
2
2
2
2
2
2
①
1
B
?
A
?
C
?
?
2sin
．
2
2
1
1
1
B
?
A
?
C
?
< br>?
cos
?
A
< br>?
C
?
?
2sin
?
A
?
C
?
?
2sin
< br>?
2sin
B
，
2
2
2
2
则①
?
sin
< br>A
?
sin
C
< br>?
2sin
B
?
a
?
c
?
2
b
．
注意到
2sin
当
?
c
?
②
?
时，令
a
?
b
?
d
，
c
?
b
?
d
，代入
a
2
?
b
2
?
c
2
< br>，化简得
b
?
4
d
，从而
2
③
从③也可推得②，故命题获证．
例<
/p>
7
如图
17-8
，
一个锐角
△
ABC
< br>，
?
BAC
?
< br>60
?
，
三点
< br>H
，
O
，
I
分别是
△
ABC
< br>的垂心、
外心和内心．
如
果
BH
=
OI
，求<
/p>
?
ABC
和
?<
/p>
ACB
．
（
199
4
年保加利亚竞赛题）
A
a
?
3
d
，
c
?
5
d
．
H
B
I
O
C<
/p>
图
17-
8
<
/p>
解因
H
为
△
ABC
的垂心，连
AH
，
CH
，则知
?
< br>BCH
?
?
BAH
?
90
?
?
?
ABC
，
故
?
B
?
90
?
?
?
BCH
．
①
由
?
BAC
?
60
?
及
BH
?
OI
，
知
H
，
I
，
O
三点两两不重合，
且由性质
13
，
14
知
IO
?
IH
=
BH
，
B
，
H
，
?
?
H
I
?
?
IO
?
，故有
?
BCH
=
?
HCI
=
?
ICO
?
1
?
BCO
．
I
，
O
，
C
五点共圆，从而有
BH
3
在
△
OBC
中，
?
BOC
?
2
?
BAC
?
120
?
，而
OB
?
OC
，于是
?
BCO
?
30
?
，从
而
?
BCH
?
10
?
，故由①式
知，
?
ABC
?
80
?
．
此时，
?
ACB
?
180
?
?
?
A
?
?
ABC
?
40
?
．
O
是外心，
例
8
如图
17-9
，
锐角
△
ABC
中，
已知<
/p>
?
C
?
?
B
?
?
A
，
求证：
H
是垂心，
I
是内心．
I
在<
/p>
△
BOH
的内部．
（第
39
届
IMO
中国国家队选拔考试题）
A
E
O
Q
I
D
H
C
图
17-
9
B
证明设
?
B
的平分线交
OH
于
P
，则
BP
也是
?
OBH
的平分线．设
?
A
的平分线交
OH
于
Q
，则
AQ
也
AH
HQ
BH
HP
?
是
?
OAH
的平分线，从而有
，
．
?
AO
O
Q
BO
OP
C
?
B
C
作
CH
?
AB
于
E<
/p>
．
由
?
B
?
?
A
，
得
A
，
AE
?
BE
，
故
A
H
?
H
B
O
?
B
O
．
而
A
，<
/p>
于是
HQ
HP
?
．
故
OQ
OP
Q
在
O
，
P
之间，
AQ
与<
/p>
BP
的交点
I
必
在
△
BOH
内．
例
9
设
O
是锐角
△
ABC
的外心，
分别以
△
ABC
三边的中点为圆心作过点
O
的圆，
这三个圆两两相交于
异于
O
的
交点，分别为
K
、
L
< br>、
M
．求证：点
O
是
△
KLM
的内心．
证法
1
如图
17-10
，设
A
?
、
B
?
、
C
?
分别为边
BC
、
CA
、
AB
的中点，由于
OA
?
< br>?
BC
，
B
?
C
∥
BC
，所
以
OA
?
?
B
?
C
?
．